第一章有理数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材青岛版

第1章 有理数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 正数和负数 1.1 正数和负数的定义 像 ，，， 这样的数叫作正数。符号“”称为正号，读作“正”，如“”读作“正七十”。一般来说，“”可以省略。 像 ，，， 这样的数叫作负数。符号“”称为负号，读作“负”，如“”读作“负四十”。 示例：、、 是正数；、、 是负数。 注意：正数的正号“”通常省略不写；负数的负号“”不能省略。判断一个数是正数还是负数，只看它前面的符号。 1.2 0 的意义 0 既不是正数也不是负数。 0 可以表示“没有”，也可以表示一个确定的量。例如，℃ 是一个确定的温度。 示例： 是整数，既不是正数，也不是负数。 1.3 用正数、负数表示相反意义的量 零上的温度与零下的温度、收入的钱数与支出的钱数、向东的路程与向西的路程，它们都是具有相反意义的量。 为了表示具有相反意义的量，可以把其中一种意义的量规定为正，用符号“”表示；把与其意义相反的量规定为负，用符号“”表示。 示例：若规定收入为正，则收入 元记作 元，支出 元记作 元；若规定向东为正，则向东骑行 记作 ，向西骑行 记作 。 注意：表示相反意义的量时，“正”“负”的规定不是固定不变的；但一对相反意义的量必须用符号相反的两个数表示。 2. 有理数 2.1 整数与分数 正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。 正整数，如 ，，，，…，，…；零，；负整数，如 ，，，…，，…；正分数，如 ，，，，…；负分数，如 ，，，，…。 示例：、、、、 是整数；、、、、 是分数。 注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，百分数也是分数，因此小数、百分数都属于分数。 2.2 有理数的定义 整数和分数统称有理数。 示例：、、、、 都是有理数。 2.3 有理数的分类 有理数可以按是否为整数分类，如下表所示： 有理数 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 示例： 是正整数， 是整数， 是负整数； 是正分数， 是负分数。 注意：有理数还可以按符号分类：有理数分为正有理数、零和负有理数。 3. 数轴 3.1 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 示例：画一条水平的直线，取一点 表示数 作为原点，规定向右为正方向，选取适当的长度作为单位长度，即得到一条数轴。 3.2 数轴的三要素 数轴的三要素是原点、正方向和单位长度。画数轴的具体做法如下： ① 画一条直线（一般把它画成水平的），在这条直线上任意取一点表示数 ，这个点叫作原点； ② 规定自原点开始一侧的方向为正方向（习惯上取向右的方向为正方向），那么另一侧的方向就是负方向； ③ 选取适当的长度作为单位长度。 示例：按照取定的单位长度，在直线上从原点向正方向每隔一个单位长度取一个点，依次表示 ，，，…；从原点向负方向用类似的方法依次表示 ，，，…。 3.3 数轴与有理数的关系 建立了数轴，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来。 示例：、、、、 都可以用数轴上的点表示。 4. 相反数与绝对值 4.1 相反数的定义 像 与 ， 与 这样，只有符号不同的两个数叫作互为相反数，其中一个数叫作另一个数的相反数。例如， 与 互为相反数， 的相反数是 ， 的相反数是 。特别地，0 的相反数是 0。 示例： 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 。 4.2 相反数的表示 一般地， 的相反数是 ， 可以是正数、负数，也可以是 。例如，当 时， 的相反数是 ，即 ；当 时， 的相反数是 ，即 。 示例：，。 4.3 相反数在数轴上的位置 在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个点分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等。 示例：在数轴上，表示 与 的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 4.4 绝对值的定义 在数轴上，表示数 的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，记作 。 示例：数轴上表示 与 的点到原点的距离均为 个单位长度，所以 和 的绝对值都是 ，即 ，。显然，。 4.5 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 互为相反数的两个数的绝对值相等。 一个数的绝对值是正数或 0。 示例：，，；。 注意：绝对值等于某个正数 的数有两个，即 和 ；绝对值等于 的数只有 。 5. 有理数的大小 5.1 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大。 示例：在数轴上，，，，， 的对应点自左向右排列，所以它们按从小到大的顺序为 ，，，，。 5.2 正数、0、负数的大小关系 正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。 示例：；。 5.3 两个负数的大小比较 两个负数，绝对值大的反而小。 示例：比较 与 ：因为 ，，，所以 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 绝对值的非负性 任何数的绝对值都是非负数，即 。由此可得：绝对值等于它本身的数是非负数（正数或 ）；绝对值等于它的相反数的数是非正数（负数或 ）。 1.2 绝对值相等的两个数 若 ，则 或 。特别地，若 且 ，则 与 互为相反数。 1.3 多重符号的化简 化简多重符号时数“”号的个数：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。即 ，，，。 1.4 几个特殊数 是最小的正整数， 是最大的负整数， 是绝对值最小的数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求一个数的绝对值的步骤 先判断这个数的符号：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值是 。如 ，。 2.2 比较有理数大小的步骤 ① 正数与 、负数与 、正数与负数，直接依据“正数大于 ，负数小于 ，正数大于负数”判断；② 两个正数，绝对值大的较大；③ 两个负数，绝对值大的反而小；④ 也可把各数表示在数轴上，右边的数较大。如比较 与 ：，，，故 。 2.3 用正负数表示相反意义的量的步骤 先确定哪一意义为正，则相反的意义为负，再带单位记出各数。如把“水位上升记为正”，则水位上升 记作 ，下降 记作 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 负号计数判号 一个数前有多个“”号时，数负号个数：偶正奇负 ， 数轴定序法 画数轴标出各数，从左到右依次增大，直接读出大小关系 绝对值法比负数 两个负数比较，先取绝对值，再“反着下结论” 求绝对值先定号 求 先看 的正负，再按“正本身、负相反、零是零”取值 ， 相反数变号速记 求一个数的相反数，只需改变它的符号 的相反数是 ， 的相反数是 4. 常见考试模型 4.1 数轴上的点移动模型 公式：点在数轴上从表示数 的位置向右移动 个单位长度，到达表示数 的位置；向左移动 个单位长度，到达表示数 的位置。 限定：向右移动用加法、向左移动用减法；连续移动时按顺序依次累加。 示例：从原点先向右移动 个单位长度，再向左移动 个单位长度，终点表示的数 。 4.2 绝对值非负性求值模型 公式：若 ，则由 ， 得 ，。 限定：几个非负数之和为 ，则它们都等于 。 示例：若 ，则 ，。 4.3 相反意义的量的应用模型 公式：以某一基准为 ，高于（增加、超过）基准的部分记为正，低于（减少、不足）基准的部分记为负。 限定：必须先明确“哪一意义为正”；正、负是相对基准而言的。 示例：以标准直径 为基准， 表示超出 ， 表示不足 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：比较两个负数大小时，误判成“绝对值大的反而大” 典例：比较 与 的大小。 错解：因为 ，，且 ，所以 。 正解：两个负数，绝对值大的反而小。因为 ，，，所以 。 原因：思维层面的惯性迁移错误。学生把正数“绝对值越大，数越大”的结论直接搬到负数上，忽略了负数比较时结论恰好相反。根源是没理解“绝对值”是“到原点的距离”：数轴上越靠左的数越小，两个负数中绝对值大的那个离原点更远、更靠左，反而更小。凡两个负数比较，先比绝对值，再“反着下结论”。 易错点 2：误认为“一个数的绝对值是正数”，漏掉 0 典例：判断“有理数的绝对值都是正数”这一说法是否正确，并说明理由。 错解：正确。因为绝对值是“到原点的距离”，距离总是正的，所以绝对值都是正数。 正解：不正确。 的绝对值是 ，而 不是正数。一个数的绝对值是非负数（正数或 ），不是“都是正数”。例如 。 原因：概念理解错误，把“距离”想当然地等同于“正数”。实际上“距离”可以等于 （点就在原点上），绝对值 中的“”不能写成“”。学生记忆“绝对值是距离”时漏掉了“ 的绝对值是 ”这一特例。凡涉及“绝对值的符号”，都要先想 。 易错点 3：把 一律当作负数，忽略 的符号 典例：判断“ 一定是负数”这一说法是否正确，并说明理由。 错解：正确。因为 前面有“”号，所以 是负数。 正解：不正确。 表示 的相反数，它的符号取决于 ：当 是正数时， 是负数；当 是负数时， 是正数；当 时，。例如 时，，是正数。 原因：符号处理失误，把 中的“”当作“负数的标志”，没意识到 是“ 的相反数”，其正负由 决定。根源是小学里“”号总是紧跟具体数字（如 ），学生未建立“ 表示相反数、 可为任何数”的意识。判断含字母的符号题，先分类讨论字母的取值。 易错点 4：化简多重符号时符号出错 典例：化简：。 错解：（凭感觉去号，误判结果为正）。 正解：由内向外化简：先算 ，再算 ，所以 。也可以数“”号的个数：共有 个负号，负号个数为奇数，结果为负，即 。 原因：符号处理失误，化简多重符号时漏数或错数负号个数，或者未按“由内向外”的顺序逐层化简。根源是没掌握“负号个数决定符号：偶正奇负”这一规则，凭感觉去号。化简多重符号，先数负号个数，或由内向外逐层计算，两种方法都要落实到每一步。 易错点 5：有理数分类时把小数、百分数排除在分数之外 典例：把下列各数分别填在相应的括号里：，，，，，。哪些是整数？哪些是分数？ 错解：整数：，，；分数：（把 、 漏掉了）。 正解：整数：，，；分数：，，。因为 ，，有限小数和百分数都可以化为分数，所以它们都是分数。 原因：概念理解错误，学生受“分数就是分子分母上下的数”的表象影响，只把 形式当作分数，忘了“有限小数、无限循环小数、百分数都能化为分数，属于分数”。根源是没抓住“分数”的本质（能写成 ， 的形式）。判断一个数是不是分数，看它能否化为 的形式。 易错点 6：求“绝对值等于某数的数”时漏掉负数 典例：绝对值等于 的数是什么？ 错解：绝对值等于 的数是 。 正解：到原点的距离为 的点有两个，即表示 的点 和表示 的点 ，所以绝对值等于 的数是 和 。 原因：条件遗漏类错误。学生只想到“ 到原点的距离是 ”，忽略了数轴上原点两侧各有一个点到原点的距离为 。根源是绝对值定义（“到原点的距离”）里的“距离”是双向的，而学生只取了正向。凡“绝对值等于正数”都要成对写 和 ；只有绝对值等于 才是唯一解。 学科网（北京）股份有限公司 $