专题4.1 一元二次方程的计算六大类型（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题4.1 一元二次方程的计算六大类型 【苏科版】 【类型1 利用直接开平方法解方程20题】 1 【类型2 利用配方法解方程20题】 10 【类型3 利用公式法解方程20题】 22 【类型4 利用因式分解法解方程20题】 30 【类型5 利用合适的方法解方程20题】 38 【类型6 利用换元法解方程20题】 53 【类型1 利用直接开平方法解方程20题】 1．利用直接开平方法解方程：（x﹣2）2﹣16＝0． 【分析】先移项得到（x﹣2）2＝16，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（x﹣2）2＝16， x﹣2＝±4， 解得x1＝6，x2＝﹣2． 2．利用直接开平方法解方程：（x+2）2﹣25＝0 【分析】这个式子先移项，变成（x+2）2＝25，从而把问题转化为求25的平方根． 【解答】解：（x+2）2﹣25＝0， （x+2）2＝25， x+2＝±5， ∴x1＝3，x2＝﹣7． 3．利用直接开平方法解方程：（4x﹣1）2＝25 【分析】利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【解答】解：开方得：4x﹣1＝5或4x﹣1＝﹣5， 解得：x1，x2＝﹣1． 4．利用直接开平方法解方程：4（x+1）2＝9 【分析】首先两边同时除以4得（x+1）2，再两边直接开平方即可． 【解答】解：两边同时除以4得：（x+1）2， 两边直接开平方得：x+1， 则：x+1，x+1， 解得：x1，x2＝﹣2． 5．用直接开平方法解方程：（2y﹣1）2 【分析】先变形，使其成为x2＝a的形式，再应用直接开平方法解答即可． 【解答】解：（2y﹣1）2 变形得，（2y﹣1）2 所以2y﹣1， 所以y 所以，． 6．利用直接开平方法解方程：． 【分析】先变形，使其成为x2＝a的形式，再应用直接开平方法解答即可． 【解答】解：变形得：（3x﹣1）2， 两边直接开平方得：3x﹣1或3x﹣1， 解得：x1，x2． 7．利用直接开平方法解方程：2（x+1）20． 【分析】方程变形后利用平方根的定义开方，即可求出解． 【解答】解：方程变形得：（x+1）2， 开方得：x+1或x+1， 解得：x1，x2． 8．利用直接开平方法解方程：（m）2＝16． 【分析】利用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：（m）2＝16， 开方得：m±4， 解得：m1＝4，m2＝﹣4． 9．利用直接开平方法解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0． 【分析】直接开方，再解一元一次方程即可． 【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2， ∴2（x+1）＝±3（x﹣2）， ∴x1＝8，x2． 10．用直接开平方法解下列方程： （1）2（x﹣1）2＝18 （2）3（x+1）2﹣75＝0． 【分析】（1）先把方程变形为（x﹣1）2＝9，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程变形为（x+1）2＝25，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， 所以x1＝4，x2＝﹣2； （2）（x+1）2＝25， x+1＝±5， 所以x1＝4，x2＝﹣6． 11．用直接开平方法解下列方程： （1）2（x﹣5）2＝0； （2）3（x+2）2+12＝0． 【分析】（1）两边都除以2，再开平方即可得出答案； （2）先移项，再系数化为1即可判断根的情况． 【解答】解：（1）∵2（x﹣5）2＝0， ∴（x﹣5）2＝0， 则x﹣5＝0， 解得x1＝x2＝5； （2）∵3（x+2）2+12＝0， ∴3（x+2）2＝﹣12， 则（x+2）2＝﹣4＜0， ∴原方程无实数根． 12．用直接开平方法解下列方程： （1）x2﹣8＝0； （2）（x+3）（x﹣3）＝16． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣8＝0， x2＝24， ∴x＝±2， ∴x1＝2，x2＝﹣2； （2）（x+3）（x﹣3）＝16， x2＝25， ∴x＝±5， ∴x1＝5，x2＝﹣5． 13．用直接开平方法解下列方程： （1）x2﹣12＝0； （2）（4﹣2x）2﹣36＝0． 【分析】把方程化成x2＝p的形式，直接开平方得x＝±． 【解答】解：（1）x2﹣12＝0， 移项得x2＝12， 开方得x， 解得：x1＝2，x2； （2）（4﹣2x）2﹣36＝0， 移项得（4﹣2x）2＝36， 直接开方得：4﹣2x＝6或4﹣2x＝﹣6， 解得：x1＝﹣1，x2＝5． 14．用直接开平方法解下列方程： （1）（3x﹣2）2＝15； （2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2． 【分析】（1）根据等式的性质两边后开方即可； （2）直接开方即可． 【解答】解：（1）（3x﹣2）2＝15， （3x﹣2）2＝25， 3x﹣2＝±5， x1，x2＝﹣1； （2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2， 4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2， 2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1）， 2（2y﹣5）＝3（3y﹣1）或2（2y﹣5）＝﹣3（3y﹣1）， y1，y2＝﹣1； 15．用开平方法解下列关于x的方程： （1）（x﹣3）2＝a2； （2）（x﹣a）2＝a2+2ab+b2． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）（x﹣3）2＝a2， x﹣3＝±a， x﹣3＝a或x﹣3＝﹣a， x1＝3+a，x2＝3﹣a； （2）（x﹣a）2＝a2+2ab+b2， （x﹣a）2＝（a+b）2， x﹣a＝±（a+b）， x﹣a＝a+b，或x﹣a＝﹣a﹣b， x1＝2a+b，x2＝﹣b． 16．用直接开平方法解下列方程： （1）（x）（x）＝45； （2）x2﹣8x+16＝3． 【分析】（1）整理后，两边直接开平方即可得出答案； （2）写成完全平方式，再两边开方即可得出答案． 【解答】解：（1）整理得x2＝50， 解得x1＝5，x2＝﹣5； （2）∵x2﹣8x+16＝3， ∴（x﹣4）2＝3， 则x﹣4＝±， ∴x1＝4，x2＝4． 17．用直接开平方法解下列方程． （1）（2x+3）2＝（3x+2）2； （2）； （3）x2﹣2x+1﹣25（2x﹣1）2＝0． 【分析】（1）（2）（3）利用直接开平方法解出方程． 【解答】解：（1）（2x+3）2＝（3x+2）2， 则2x+3＝±（3x+2）， ∴2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣（3x+2）， ∴x1＝1，x2＝﹣1； （2）（x）2＝4， 则x＝±2， ∴x＝2或x＝﹣2， ∴x1，x2； （3）x2﹣2x+1﹣25（2x﹣1）2＝0， 则（x﹣1）2＝[5（2x﹣1）2]， ∴x﹣1＝±5（2x﹣1）， ∴x﹣1＝5（2x﹣1）或x﹣1＝﹣5（2x﹣1）， ∴x1，x2． 18．用直接开平方法解下列方程． （1）9x2﹣25＝0； （2）（4x﹣1）2﹣9＝0； （3）（3x﹣1）（3x+1）﹣1＝0； （4）（3﹣x）2﹣4＝0． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答 （4）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）9x2﹣25＝0， 9x2＝25， x2， x1，x2； （2）（4x﹣1）2﹣9＝0， （4x﹣1）2＝9， 4x﹣1＝±3， 4x﹣1＝3或4x﹣1＝﹣3， x1＝1，x2； （3）（3x﹣1）（3x+1）﹣1＝0， 9x2﹣1﹣1＝0， 9x2＝2， x2， x1，x2； （4）（3﹣x）2﹣4＝0， （3﹣x）2＝4， （3﹣x）2＝8， 3﹣x＝±2， 3﹣x＝2或3﹣x＝﹣2， x1＝3﹣2，x2＝3+2． 19．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣5＝0； （2）（x﹣1）（x+1）＝1； （3）（2x﹣1）2＝（1）2； （4）（x﹣1）2＝（2x+3）2． 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）根据直接开平方法解一元二次方程即可； （3）根据直接开平方法解一元二次方程即可； （4）根据直接开平方法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0， ∴（x﹣1）2＝10， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）（x﹣1）（x+1）＝1， ∴x2﹣1＝1， ∴x2＝2， ∴x1，x2； （3）（2x﹣1）2＝（1）2， ∴2x﹣1＝±（）， ∴x1，x2； （4）（x﹣1）2＝（2x+3）2， ∴x﹣1＝±（2x+3）， ∴x1＝﹣4，x2． 20．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2﹣100＝0； （2）（3x﹣1）2＝7； （3）（x﹣3）2＝8； （4）（3x）2﹣3＝0． 【分析】（1）先移项，然后直接开平方即可解答此方程； （2）直接开平方即可解答此方程； （3）先变形，然后直接开平方即可解答此方程； （4）先变形，然后直接开平方即可解答此方程． 【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣100＝0， （x﹣2）2＝100， ∴x﹣2＝±10， 解得x1＝12，x2＝﹣8； （2）（3x﹣1）2＝7， 3x﹣1＝±， 解得x1，x2； （3）（x﹣3）2＝8， （x﹣3）2＝16， x﹣3＝±4， 解得x1＝7，x2＝﹣1； （4）（3x）2﹣3＝0， （3x）2＝3， 3x±， 解得x1，x2． 【类型2 利用配方法解方程20题】 1．解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）． 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：x2﹣6x+2＝0 移项，得 x2﹣6x＝﹣2， 即x2﹣6x+9＝﹣2+9， ∴（x﹣3）2＝7， 解得x﹣3＝±， 即x＝3±． ∴x1＝3，x2＝3． 2．用配方法解方程：x2﹣2x﹣35＝0． 【分析】方程移项变形后，配方即可得到结果． 【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝35， 配方得：x2﹣2x+1＝36，即（x﹣1）2＝36， 开方得：x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6， 解得：x1＝7，x2＝﹣5． 3．用配方法解方程，2x2+5x﹣12＝0． 【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：2x2+5x﹣12＝0， 移项，得2x2+5x＝12， x2x＝6， 配方，得x2x6，即（x）2， 开方，得x±， 解得：x1，x2＝﹣4． 4．用配方法解方程：5x2﹣2x﹣3＝0． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【解答】解：∵5x2﹣2x﹣3＝0， ∴5x2﹣2x＝3， ∴x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2． 5．用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程． 【解答】解：把方程x2+2x0的常数项移到等号的右边，得 x2+2x， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2+2x+11 配方得（x+1）2， 开方得x+1＝±， 解得x＝±1． 6．用配方法解方程：2x2+8x﹣1＝0． 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：∵2x2+8x﹣1＝0， ∴x2+4x， ∴x2+4x+44， ∴（x+2）2， 解得x1，x2． 7．用配方法解方程：（x﹣3）（x+1）＝1． 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣3）（x+1）＝1， x2+x﹣3x﹣3＝1， x2﹣2x﹣3＝1， x2﹣2x＝1+3， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+1＝4+1， （x﹣1）2＝5， x﹣1＝±， x﹣1或x﹣1， x1＝1，x2＝1． 8．用配方法解方程：． 【分析】方程整理成x2+4x＝﹣1，然后利用配方法求解即可． 【解答】解：整理得x2x＝﹣1， 配方得x2x1，即（x）2， 开方得x±， ∴x1，x2． 9．用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0． 【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0， x2﹣4x＝2， x2﹣4x+8＝2+8， （x﹣2）2＝10， x﹣2±， 解得x1＝2，x2＝2． 10．用配方法解方程：3x2﹣4x+2＝0 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得． 【解答】解：∵3x2﹣4x＝﹣2， ∴x2x， 则x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x±． 11．用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式，右边化为常数．再利用直接开平方法即可求解． 【解答】解：∵x2+px+q＝0， x2+px＝﹣q， x2+pxq， （x）2， ∵p2﹣4q＞0， ∴x±， x． 12．用配方法解方程： （1）x2+7x； （2）3x2+6x+2＝11． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）x2+7x， ， ， ， ，； （2）3x2+6x+2＝11， 3x2+6x﹣9＝0， x2+2x﹣3＝0， x2+2x+1＝4， （x+1）2＝4， x+1＝±2， x1＝1，x2＝﹣3． 13．用配方法解下列关于x的方程： （1）x2+12x+25＝0． （2）2x2+4x﹣1998＝0． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）x2+12x+25＝0， x2+12x＝﹣25， x2+12x+36＝﹣25+36， （x+6）2＝11， x+6＝±， x+6或x+6， ，； （2）2x2+4x﹣1998＝0， x2+2x﹣999＝0， x2+2x＝999， x2+2x+1＝999+1， （x+1）2＝1000， x+1＝±10， x+1＝10或x+1＝﹣10， ，． 14．用配方法解方程： （1）（x+1）（2x﹣3）＝1； （2）5x2﹣15x﹣7＝0． 【分析】（1）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，最后开平方，即可得出答案； （2）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，最后开平方，即可得出答案． 【解答】解：（1）（x+1）（2x﹣3）＝1， 化简，得2x2﹣x＝4， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 开平方得，， 解得：． （2）5x2﹣15x﹣7＝0， 移项得：5x2﹣15x＝7， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：． 15．用配方法解下列方程： （1）2x2+4x﹣6＝0； （2）（x﹣2）2＝3x（x﹣2）． 【分析】（1）先移项，二次项系数化为1，再将方程两边同时加1，左边化为完全平方式，右边合并，最后求解即可； （2）先去括号，移项，二次项系数化为1，再将方程两边同时加，左边化为完全平方式，右边合并，最后求解即可． 【解答】解：（1）2x2+4x﹣6＝0， x2+2x＝3， x2+2x+1＝3+1， （x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x1＝1，x2＝﹣3； （2）（x﹣2）2＝3x（x﹣2）， x2﹣4x+4＝3x2﹣6x， x2﹣x＝2， ， ， ∴， ∴x1＝2，x2＝﹣1． 16．用配方法解方程： （1）ax2ax（a）＝0（a＞0）； （2）（m﹣5）2x2+2（m﹣5）x+1＝0． 【分析】（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可； （2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）移项得：ax2axa， x2x， 配方得：x2x+（）2（）2， （x）2， 开方得：x±， x1，x2； （2）（m﹣5）2x2+2（m﹣5）x+1＝0 （m﹣5）2x2+2（m﹣5）x＝﹣1 x2x 配方得：x2x+（）2（）2， （x）2， 当6﹣m≥0且m﹣5≠0时，x±， x1，x2； 当6﹣m＜0时，方程无解． 17．用配方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣7＝0； （2）； （3）（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣4x﹣6． 【分析】各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【解答】解：（1）方程变形得：x2x， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2＝﹣1； （2）方程变形得：y2y＝1， 配方得：y2y，即（y）2， 开方得：y±， 解得：y； （3）整理得：x2﹣4x＝5， 配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9， 开方得：x﹣2＝±3， 解得：x1＝5，x2＝﹣1． 18．用配方法解下列方程： （1）12x2+7x+1＝0； （2）0.8x2+x＝0.3； （3）3x2+1x； （4）（x+1）（x﹣3）＝2x+5． 【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出答案； （4）整理后移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）移项得：12x2+7x＝﹣1， x2x， 配方得：x2（）2（）2， （x）2， 开方得：x， x1，x2； （2）0.8x2+x＝0.3， x2x， 配方得：x2x+（）2（）2， （x）2， 开方得：x±， x1，x2； （3）3x2+1x， x2x， 配方得：x2x+（）2（）2， （x）2， 因为不论x为何值（x）2都不能是负数， 所以此方程无解； （4）（x+1）（x﹣3）＝2x+5， 整理得：x2﹣4x＝8， 配方得：x2﹣4x+4＝8+4， （x﹣2）2＝12， 开方得：x﹣2＝±2， x1＝2+2，x2＝2﹣2． 19．用配方法解下列一元二次方程： （1）2t2﹣7t﹣4＝0 （2）3﹣7x＝﹣2x2 （3）0.1x2+0.2x﹣1＝0 （4）6x2﹣4x+1＝0． 【分析】（1）移项，系数化成1，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，系数化成1，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项，系数化成1，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项，系数化成1，再配方，开方，即可得出答案． 【解答】解：（1）2t2﹣7t﹣4＝0， 2t2﹣7t＝4， t2t＝2， t2t+（）2＝2+（）2 （t）2， t±， t1＝4，t2； （2）3﹣7x＝﹣2x2， 2x2﹣7x＝﹣3， x2x， x2x+（）2（）2， （x）2， x±， x1＝2，x2； （3）0.1x2+0.2x﹣1＝0， 0.1x2+0.2x＝1， x2+2x＝10， x2+2x+1＝10+1， （x+1）2＝11， x+1， x1＝﹣1，x2＝﹣1； （4）6x2﹣4x+1＝0， 6x2﹣4x＝﹣1， x2x， x2x+（）2（）2， （x）2， 即此方程无解． 20．用配方法解下列关于x的方程： （1）2x2x﹣30＝0； （2）x2+2＝2x； （3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O）； （4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O）． 【分析】（1）先移项，再把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，变形成左边是完全平方，右边是常数的形式，即可求出x的值； （2）先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，变形成左边是完全平方，右边是常数的形式，即可求出x的值； （3）先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，变形成左边是完全平方，右边是常数的形式，即可求出x的值； （4）先移项，再把方程左边因式分解，得到两个一元一次方程，再进行计算即可． 【解答】解：（1）2x2x﹣30＝0， 2x2x＝30， x2x＝15， x2x15， （x）2； x±， x13，x2； （2）x2+2＝2x， x2﹣2x＝﹣2， x2﹣2x+3＝﹣2+3； （x）2＝1， x±1， x1＝1，x2＝﹣1； （3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O）， x2+px＝﹣q， x2+pxq， （x）2， ∵p2﹣4q≥O， ∴x±， ∴x1，x2； （4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O）， （mx）2﹣3mx﹣28＝0， （mx﹣7）（mx+4）＝0， mx＝7或mx＝﹣4， ∵m≠0， ∴x1，x2． 【类型3 利用公式法解方程20题】 1．按要求解方程：x2+3x+1＝0（公式法）． 【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤依次求解即可； 【解答】解：x2+3x+1＝0， 这里a＝1，b＝3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0， ∴， ∴，． 2．利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2． 【分析】先整理成一般式，再利用公式法求解即可． 【解答】解：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2， 整理得，x2﹣x﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣4）＝17， ∴x， ∴x1，x2 3．解方程：．（用公式法） 【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：， 这里a＝2，b＝﹣2，c＝1， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×1＝0， ∴x， ∴x1＝x2． 4．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【分析】整理成一般式，先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0， ∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0， ∴x， ∴x1，x2． 5．解方程：．（公式法） 【分析】先计算，再利用求根公式解方程即可． 【解答】解：， ∴， ∴， 解得：，． 6．用公式法解方程：4x2+2x﹣1＝0． 【分析】先根据一般式确定出二次项系数，一次项系数和常数项分别为a＝4，b＝2，c＝﹣1，再判断Δ＞的符号，再由进行求解即可． 【解答】解：∵4x2+2x﹣1＝0， ∴a＝4，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22﹣4×4×（﹣1）＝4+16＝20＞0， ∴， 解得． 7．用公式法解方程：x2﹣2x＝4x﹣5． 【分析】先整理成一般式，再利用求根公式求解即可． 【解答】解：整理成一般式，得：x2﹣6x+5＝0， ∴a＝1，b＝﹣6，c＝5， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16＞0， 则x， ∴x1＝5，x2＝1． 8．请你用公式法解方程：3x2﹣4x﹣1＝0． 【分析】利用公式法求解即可． 【解答】解：∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， 则x ∴x1，x2． 9．用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x＝x+1． 【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：方程化简为：5x2﹣4x﹣1＝0， 这里a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0， ∴x， ∴x1＝1，x2． 10．用公式法解方程：x2﹣2x+7＝2x+10． 【分析】用求根公式计算可得． 【解答】解：整理得x2﹣4x﹣3＝0， ∵a＝1、b＝﹣4、c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝16﹣4×1×（﹣3）＝28＞0， ∴x2±， ∴x1＝2，x2＝2． 11．用公式法解方程：3y2+1＝2y． 【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：方程整理得：3y2﹣2y+1＝0， 这里a＝3，b＝﹣2，c＝1， ∵△＝12﹣12＝0， ∴y， 解得：y1＝y2． 12．用公式法解关于x的一元二次方程：2x2+ax﹣a2＝0． 【分析】先根据根的判别式求出△，再代入公式求出即可． 【解答】解：2x2+ax﹣a2＝0， △＝a2﹣4×2×（﹣a2）＝9a2， x， x1a，x2＝﹣a． 13．用公式法解关于x方程：a2x2﹣4abx+3b2＝0（ab＞0）． 【分析】先求出根的判别式，再代入公式，即可求出答案． 【解答】解：a2x2﹣4abx+3b2＝0， △＝（﹣4ab）2﹣4a2•3b2＝4a2b2， x， x1，x2． 14．用公式法解下列方程： （1）x2﹣4x+10＝0； （2）2x2+2x＝1． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣4x+10＝0， 这里a＝1，b＝﹣4，c＝10， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×10＝48﹣40＝8＞0， ∴x2， ∴x1＝2，x2＝2； （2）2x2+2x＝1， 整理得：2x2+2x﹣1＝0， 这里a＝2，b＝2，c＝﹣1， ∵Δ＝22﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12＞0， ∴x， ∴x1，x2． 15．用公式法解方程： ①4x2﹣4x+1＝0 ②x2x﹣3＝0． 【分析】找出各方程中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：（1）这里a＝4，b＝﹣4，c＝1， ∵△＝32﹣16＝16， ∴x； （2）这里a＝1，b，c＝﹣3， ∵△＝2+12＝14， ∴x． 16．用公式法解下列方程： （1）； （2）2x（x﹣3）＝﹣6x+5； （3）3y2+5（2y+3）＝0． 【分析】（1）先移项，求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． （2）整理后，求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． （3）整理后，求出b2﹣4ac的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）移项得：x2﹣2x+3＝0， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3＝0， x， x1＝x2． （2）2x2﹣6x＝﹣6x+5， 2x2﹣5＝0， b2﹣4ac＝02﹣4×2×（﹣5）＝40， x， x1，x2． （3）3y2+10y+15＝0， b2﹣4ac＝102﹣4×3×15＝﹣80＜0， 即此方程无解． 17．用公式法解下列方程： （1）x（x+8）＝16； （2）x2﹣4x＝4； （3）2x2﹣2x+1＝0． 【分析】先把方程化成标准形式ax2+bx+c＝0，再求出a，b，c的值，判断出△的符号，再代入求根公式，进行计算即可． 【解答】解：（1）x（x+8）＝16， x2+8x﹣16＝0， a＝1，b＝8，c＝﹣16， b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣16）＝128＞0， x， x1＝﹣4+4，x2＝﹣4﹣4； （2）x2﹣4x＝4， x2﹣4x﹣40； a，b＝﹣4，c＝﹣4， b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4（﹣4）＝48＞0， x±， x1，x2； （3）2x2﹣2x+1＝0， a＝2，b＝﹣2，c＝1， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×1＝0， x1＝x2． 18．用公式法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）3x2﹣10x﹣8＝0； （3）y（2y+7）＝4； （4）（x+2）（2x﹣9）＝﹣6． 【分析】各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：（1）这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵△＝4+4＝8， ∴x1±； （2）这里a＝3，b＝﹣10，c＝﹣8， ∵△＝100+96＝196， ∴x， 解得：x1＝4，x2； （3）方程整理得：2y2+7y﹣4＝0， 这里a＝2，b＝7，c＝﹣4， ∵△＝49+32＝81， ∴x， 解得：x1，x2＝﹣4； （4）整理得：2x2﹣5x﹣12＝0， 这里a＝2，b＝﹣5，c＝﹣12， ∵△＝25+96＝124， ∴x． 19．用公式法解下列方程． （1）（x+1）（x+3）＝6x+4； （2）x2+2（1）x+20； （3）x2﹣（2m+1）x+m＝0． 【分析】（1）去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1＝0，然后把a＝1，b＝﹣2，＝﹣1代入求根公式计算即可； （2）把a＝1，b＝2（1），c＝2代入求根公式计算即可； （3）把a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m代入求根公式计算即可． 【解答】解：（1）去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8 ∴x1±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）∵a＝1，b＝2（1），c＝2， ∴b2﹣4ac＝[2（1）]2﹣4×1×216， ∴x（1）±2， ∴x13，x21； （3）∵a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m＝4m2+1， ∴x， ∴x1，x2． 20．用公式法解下列方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）5x+2＝3x2； （3）（x﹣2）（3x﹣5）＝1； （4）0.2x2+5x． 【分析】把原方程化为一元二次方程的一般形式，根据求根公式x求解即可． 【解答】解：（1）∵Δ＝16+8＝24＞0， ∴x， x1，x2； （2）3x2﹣5x﹣2＝0， ∵Δ＝25+24＝49＞0， ∴x， x1＝2，x2； （3）3x2﹣11x+9＝0， ∵Δ＝121﹣108＝13＞0， ∴x， x1，x2； （4）0.2x2x+5＝0， Δ4＜0， 方程没有实数根． 【类型4 利用因式分解法解方程20题】 1．用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝x2﹣9． 【分析】利用平方差公式分解因式，然后移项，利用因式分解法求解即可． 【解答】解：∵2（x﹣3）＝x2﹣9， ∴2（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3）， ∴2（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（2﹣x﹣3）＝0， ∴x﹣3＝0或2﹣x﹣3＝0， 解得 x1＝3，x2＝﹣1． 2．用因式分解法解方程：2（x﹣5）2＝x（x﹣5）． 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：2（x﹣5）2＝x（x﹣5）， 2（x﹣5）2﹣x（x﹣5）＝0， （x﹣5）[2（x﹣5）﹣x]＝0， （x﹣5）（2x﹣10﹣x）＝0， （x﹣5）（x﹣10）＝0， x﹣5＝0或x﹣10＝0， x1＝5，x2＝10． 3．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法） 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程整理得：2x2+3x﹣2＝0， 分解因式得：（2x﹣1）（x+2）＝0， 所以2x﹣1＝0或x+2＝0， 解得：x1，x2＝﹣2． 4．用因式分解法解方程：6﹣2y＝（y﹣3）2． 【分析】先把方程变形为（y﹣3）2+2（y﹣3）＝0，再利用因式分解法把方程转化为y﹣3＝0或y﹣3+2＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：6﹣2y＝（y﹣3）2， （y﹣3）2+2（y﹣3）＝0， （y﹣3）（y﹣3+2）＝0， y﹣3＝0或y﹣3+2＝0， 所以y1＝3，y2＝1． 5．用因式分解法解方程：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2． 【分析】方程变形后，利用平方差公式分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：方程变形得：（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0， 分解因式得：（2x﹣1+3﹣x）（2x﹣1﹣3+x）＝0， 开可得：2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝x﹣3， 解得：x1，x2＝﹣2． 6．用因式分解法解方程：（3x﹣5）（2x﹣1）＝﹣12x+7． 【分析】首先去括号，进而利用十字相乘法分解因式得出即可． 【解答】解：（3x﹣5）（2x﹣1）＝﹣12x+7 6x2﹣3x﹣10x+5＝﹣12x+7 6x2﹣x﹣2＝0， （2x+1）（3x﹣2）＝0， 解得：x1，x2． 7．用因式分解法解方程：3x（x）x． 【分析】先移项得到3x（x）+（x）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：3x（x）+（x）＝0， （x）（3x+1）＝0， x0或3x+1＝0， 所以x1，x2． 8．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）． 【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：∵2x（x+2）＝3（2+x）， ∴2x（x+2）﹣3（2+x）＝0， 则（x+2）（2x﹣3）＝0， ∴x+2＝0或2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1.5． 9．（2x+3）2＝4（2x+3）（因式分解法）． 【分析】移项，把2x+3看作一个整体，进行因式分解，然后求解． 【解答】解：（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0， （2x+3）（2x+3﹣4）＝0， 2x+3＝0或2x+3﹣4＝0， x或x． 10．用因式分解法解方程：（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 【分析】直接利用提取公因式法分解因式进而求出答案． 【解答】解：（x+1）2﹣3（x+1）＝0， （x+1）（x+1﹣3）＝0， x+1＝0或x+1﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝2． 11．因式分解法解一元二次方程．1． 【分析】首先移项，然后利用平方差公式使方程的左边进行因式分解，再进行去分母，最后解两个一元一次方程即可． 【解答】解：∵1， ∴， ∴， ∴， ∴﹣8（t﹣2）（2t+1）＝5（t﹣2）（2t+1）， ∴13（t﹣2）（2t+1）＝0， ∴t﹣2＝0或2t+1＝0， ∴t1＝2，t2． 12．用因式分解法解方程： （1）2x2+3x＝0； （2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）2x2+3x＝0， x（2x+3）＝0， ∴x＝0或2x+3＝0， ∴x1＝0，x2； （2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）， 2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（2﹣3x）＝0， 解得x1＝3，x2． 13．用因式分解法解一元二次方程： （1）（4x+1）（5x﹣7）＝0； （2）（2x+3）2＝4（2x+3）． 【分析】（1）方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）提公因式法因式分解，即可得到两个一元一次方程，解得即可． 【解答】解：（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0， ∴4x+1＝0或5x﹣7＝0， ∴，； （2）（2x+3）2＝4（2x+3）， （2x+3）2﹣4（2x+3）＝0， （2x+3）（2x+3﹣4）＝0， ∴2x+3＝0或2x﹣1＝0， ∴，． 14．用因式分解法解方程： （1）x2x＝0； （2）x（x﹣6）＝2（x﹣8）． 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）整理为一般式，利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）x2x＝0， x（x）＝0， 则x＝0或x0， 解得：x1＝0，x2； （2）方程整理成一般式为x2﹣8x+16＝0， 则（x﹣4）2＝0， ∴x﹣4＝0， 则x1＝x2＝4． 15．用因式分解法解下列方程： （1）9＝0； （2）（x﹣5）2＝2（x﹣5）﹣1． 【分析】（1）根据方程特点，选用直接开平方法解答； （2）将（x﹣5）看作整体，用因式分解法解答． 【解答】解：（1））（x+3）（x﹣3）＝0 解得x1＝6，x2＝﹣6． （2）移项得（x﹣5）2﹣2（x﹣5）+1＝0， （x﹣5﹣1）2＝0， 解得x1＝x2＝6． 16．用因式分解法解下列方程： （1）（1﹣2x）2＝x2； （2）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【解答】（1）解：移项，得（1﹣2x）2﹣x2＝0， 因式分解，得（1﹣2x+x）（1﹣2x﹣x）＝0， 得1﹣x＝0或1﹣3x＝0， 解得：x1＝1，x2； （2）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0， （y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0， （4y+1）（﹣2y+3）＝0， ∴4y+1＝0或﹣2y+3＝0， ∴y1，y2． 17．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程． （1）x2+x﹣k2x＝0 （2）x2﹣2mx+m2﹣n2＝0． 【分析】两方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：（1）分解因式得：x（x+1﹣k2）＝0， 解得：x1＝0，x2＝k2﹣1； （2）分解因式得：（x﹣m+n）（x﹣m﹣n）＝0， 解得：x1＝m﹣n，x2＝m+n． 18．用因式分解法解下列方程： （1）4x2﹣144x＝0 （2）2（5x﹣1）2＝3（1﹣5x） （3）2x+6＝（3+x）2 （4）（x﹣2）2﹣2x+4＝0． 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，这些题目都用了提公因式法，所以找到公因式是解题的关键．此题中的公因式分别为（1）4x，（2）5x﹣1，（3）x+3，（4）x﹣2． 【解答】解：（1）4x（x﹣36）＝0， 所以x1＝0，x2＝36． （2）移项得2（5x﹣1）2﹣3（1﹣5x）＝0， 提公因式得（1﹣5x）[2（1﹣5x）﹣3]＝0． 所以1﹣5x＝0，2﹣10x﹣3＝0． 则x1，x2． （3）2（x+3）﹣（3+x）2＝0， 提公因式得（x+3）（2﹣3﹣x）＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣1． （4）（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0． 提公因式得（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0， 所以x1＝2，x2＝4． 19．用因式分解法解下列方程： （1）（x+2）2＝3x+6； （2）（3x+2）2﹣4x2＝0； （3）5（2x﹣1）＝（1﹣2x）（x+3）； （4）2（x﹣3）2+（3x﹣x2）＝0． 【分析】（1）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根． （2）用平方差公式因式分解求出方程的根． （3）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根． （4）用提公因式法因式分解求出方程的根． 【解答】解：（1）原方程可变形为 （x+2）（x+2﹣3）＝0， （x+2）（x﹣1）＝0． x+2＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣2，x2＝1． （2）原方程可变形为 （3x+2﹣2x）（3x+2+2x）＝0， 即（x+2）（5x+2）＝0． x+2＝0或5x+2＝0． ∴x1＝﹣2，x2． （3）原方程可变形为 （2x﹣1）（5+x+3）＝0， 即（2x﹣1）（x+8）＝0 2x﹣1＝0或x+5＝0 ∴x1，x2＝﹣8． （4）原方程可变形为 2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（2x﹣6﹣x）＝0， （x﹣3）（x﹣6）＝0． x﹣3＝0或x﹣6＝0． ∴x1＝3，x2＝6． 20．用因式分解法解下列方程． （1）x2+2x+2＝0； （2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）； （3）2（x﹣3）2＝9﹣x2； （4）9（2x+3）2＝4（2x﹣5）2． 【分析】各方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：（1）分解因式得：（x）2＝0， 开方得：x0， 解得：x1＝x2； （2）方程变形得：3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0， 分解因式得：（3x﹣15+2）（x﹣5）＝0， 解得：x1，x2＝5； （3）方程变形得：2（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）＝0， 分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6+x+3）＝0， 解得：x1＝3，x2＝1； （4）变形得：9（2x+3）2﹣4（2x﹣5）2＝0， 分解因式得：[3（2x+3）+2（2x﹣5）][3（2x+3）﹣2（2x﹣5）]＝0， 解得：x1＝0.1，x2＝﹣9.5． 【类型5 利用合适的方法解方程20题】 1．用合适的方法解方程： （1）x2﹣5x+3＝﹣1； （2）（2x+1）（x﹣3）＝5x﹣15． 【分析】（1）先移项，再利用因式分解（十字相乘）法求解； （2）先移项，再利用因式分解（提公因式）法求解． 【解答】解：（1）x2﹣5x+3＝﹣1， 移项，得x2﹣5x+4＝0， ∴（x﹣1）（x﹣4）＝0． ∴x﹣1＝0，x﹣4＝0． ∴x1＝1，x2＝4． （2）（2x+1）（x﹣3）＝5x﹣15， 移项，得（2x+1）（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（2x+1﹣5）＝0，即（x﹣3）（2x﹣4）＝0． ∴x﹣3＝0或2x﹣4＝0． ∴x＝3或x＝2． ∴x1＝3，x2＝2． 2．请用合适的方法解方程： （1）x2﹣5x﹣14＝0； （2）（3﹣y）2+y2＝12． 【分析】（1）运用公式法解一元二次方程求解； （2）运用公式法解一元二次方程求解． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣14， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣14）＝81＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴x1＝7，x2＝﹣2； （2）整理得2y2﹣6y﹣3＝0， ∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣3）＝60＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 3．用合适的方法解方程： （1）x2﹣4x+4＝64； （2）x2＝|2x﹣1|+4． 【分析】（1）先运用完全平方公式，再直接开平方即可求解； （2）分情况化简绝对值，根据x的不同范围，分别进行求值，即可得出答案． 【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝64， ∴（x﹣2）2＝64，x﹣2＝±8， 解得x1＝10，x2＝﹣6； （2）x2＝|2x﹣1|+4， 当，原方程化为x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， 当时，，矛盾，舍去； 当，原方程化为x2+2x﹣5＝0， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，原方程的根是． 4．用合适的方法解以下方程． （1）3x2﹣4x﹣1＝0． （2）3x（x﹣3）＝2x﹣6． 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【解答】解：（1）方程3x2﹣4x﹣1＝0中的a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1， 则方程根的判别式为Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， 所以方程的解为， 即，． （2）3x（x﹣3）＝2x﹣6，3x（x﹣3）＝2（x﹣3）， 3x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（3x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或3x﹣2＝0， ∴x＝3或， 所以方程的解为x1＝3，． 5．用合适的方法解下列方程． （1）x2﹣4x﹣2＝0； （2）﹣2x2+x+3＝0． 【分析】（1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0， x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝2+4， ∴（x﹣2）2＝6， ∴，， ∴，； （2）﹣2x2+x+3＝0， 整理得：2x2﹣x﹣3＝0， （x+1）（2x﹣3）＝0， x+1＝0或2x﹣3＝0， x1＝﹣1，． 6．用合适的方法解下列方程 （1）4x2﹣8x﹣3＝0； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）． 【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：（1）4x2﹣8x﹣3＝0， x2﹣2x， x2﹣2x+11， （x﹣1）2， x﹣1＝±， 所以x1＝1，x2＝1； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）， （x﹣3）2+5（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+5）＝0， x﹣3＝0或x+2＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣2． 7．用合适的方法解方程： （1）x2+10x+16＝0； （2）2x2﹣2x+1＝0． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）x2+10x+16＝0， （x+2）（x+8）＝0， x+2＝0或x+8＝0， x1＝﹣2，x2＝﹣8； （2）2x2﹣2x+1＝0， （x﹣1）2＝0， x﹣1＝0， x1＝x2． 8．选用合适的方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x+2）2＝（2x+1）2． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+2+2x+1＝0或x+2﹣2x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝24＞0， x±， 所以x1，x2； （2）（x+2）2＝（2x+1）2， （x+2）2﹣（2x+1）2＝0， （x+2+2x+1）（x+2﹣2x﹣1）＝0， x+2+2x+1＝0或x+2﹣2x﹣1＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝1． 9．选择合适的方法解一元二次方程： （1）x2﹣（）x0 （2）（x+3）（x﹣1）＝5． 【分析】（1）分解因式得出（x）（x）＝0，推出方程x0，x0，求出方程的解即可； （2）整理后分解因式得出（x+4）（x﹣2）＝0，推出方程x+4＝0，x﹣2＝0，求出方程的解即可． 【解答】（1）解：x2﹣（）x0， 分解因式得：（x）（x）＝0， x0，x0， 解得：x1，x2． （2）解：整理得：x2+2x﹣8＝0， ∴（x+4）（x﹣2）＝0， ∴x+4＝0，x﹣2＝0， x2＝﹣4，x2＝2． 10．请选择合适的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0． （2）3x2﹣7x+2＝0． 【分析】（1）利用配方法法解方程得出答案； （2）直接利用因式分解法解方程得出答案． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）3x2﹣7x+2＝0， （3x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴3x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1，x2＝2． 11．请用合适的方法解方程 （1）x2﹣5x+6＝12 （2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0 【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝12， x2﹣5x﹣6＝0， （x﹣6）（x+1）＝0， x﹣6＝0，x+1＝0， x1＝6，x2＝﹣1； （2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0， （x+2﹣5）2＝0， x+2﹣5＝0， x＝3， 即x1＝x2＝3． 12．用合适的方法解下列方程： （1）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0； （2）5（x﹣3）2＝x2﹣9； （3）t2t0． 【分析】（1）先变形得到4（x﹣3）2＝25（x﹣2）2，然后利用直接开平方法解方程； （2）先变形得到5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法法解方程； （3）利用因式分解法法解方程． 【解答】解：（1）4（x﹣3）2＝25（x﹣2）2， 2（x﹣3）＝5（x﹣2）， 所以x1，x2； （2）5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0， （x﹣3）（5x﹣15﹣x﹣3）＝0， x﹣3＝0或5x﹣15﹣x﹣3＝0， 所以x1＝3，x2； （3）（t）2＝0， 所以t1＝t2． 13．用合适的方法解下列方程： （1）0.2（x）20； （2）2y2+4y﹣798＝0； （3）3z2﹣1＝4z； （4）（p﹣1）2﹣3（p﹣1）﹣10＝0． 【分析】（1）利用利用直接开平方法解方程； 2）利用配方法得到（y+1）2＝400，然后利用直接开平方法解方程； （3）利用公式法解方程； （4）把方程看作关于p﹣1的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）0.2（x）20； 0.2（x）20， （x）2， x， x13，x22； （2）2y2+4y﹣798＝0； y2+2y﹣399＝0， y2+2y+1＝400， （y+1）2＝400， y+1＝±20， y＝﹣1±20， y1＝19，y2＝﹣21； （3）3z2﹣1＝4z； 3z2﹣4z﹣1＝0， z， z1，z2； （4）（p﹣1）2﹣3（p﹣1）﹣10＝0， （p﹣1﹣5）（p﹣1+2）＝0， p﹣6＝0或p+1＝0， p1＝6，p2＝﹣1． 14．用合适的方法解方程： （1）（x﹣5）20； （2）x2+8x﹣20＝0； （3）（2y﹣5）2＝（3y+1）2； （4）（x﹣3）（2x﹣1）＝1． 【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）先移项，再利用因式分解法求解即可； （4）整理后利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣5）20， （x﹣5）2， x﹣5＝±， 所以x1，x2； （2）x2+8x﹣20＝0， （x+10）（x﹣2）＝0， x+10＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝﹣10，x2＝2； （3）（2y﹣5）2＝（3y+1）2， （2y﹣5）2﹣（3y+1）2＝0， （2y﹣5+3y+1）（2y﹣5﹣3y﹣1）＝0， 5y﹣4＝0或﹣y﹣6＝0， 所以y1，y2＝﹣6； （4）（x﹣3）（2x﹣1）＝1， 2x2﹣7x+2＝0， a＝2，b＝﹣7，c＝2， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×2＝33， ∴x， ∴x1，x2． 15．用合适的方法解下列方程： （1）x（x﹣3）＝5（x﹣3）； （2）3x2+10x+3＝0； （3）x2﹣2x﹣3＝0； （4）4（2x+3）2﹣64＝0． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：（1）x（x﹣3）＝5（x﹣3）， x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣5）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝3，x2＝5； （2）3x2+10x+3＝0， （3x+1）（x+3）＝0， ∴3x+1＝0或x+3＝0， ∴x1，x2＝﹣5； （3）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （4）4（2x+3）2﹣64＝0， （2x+3）2＝16， ∴2x+3＝±4， ∴x1，x2． 16．用合适的方法解方程： （1）x2﹣3x+1＝0； （2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （3）x2+4x﹣5＝0； （4）5（2x+4）2＝20． 【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可； （2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （3）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （4）利用直接开平方法求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0， 这里a＝1，b＝﹣3，c＝1， b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）， 3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0， （x﹣2）（3x+2）＝0， ∴x﹣2＝0或3x+2＝0， ∴x1＝2，x2； （3）x2+4x﹣5＝0， （x+5）（x﹣1）＝0， ∴x+5＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣5，x2＝1； （4）5（2x+4）2＝20， （2x+4）2＝4， ∴2x+4＝±2， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣3． 17．用合适的方法解方程： （1）（x﹣5）2＝16． （2）x2﹣2x﹣4＝0． （3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0． （4）2x2﹣7x+1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣5）2＝16， ∴x﹣5＝±4， ∴x1＝9，x2＝1； （2）x2﹣2x﹣4＝0， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5， ∴x﹣1＝±， ∴，； （3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0， （y﹣1）2﹣2y（y﹣1）＝0， （y﹣1）（y﹣1﹣2y）＝0， ∴y﹣1＝0或﹣1﹣y＝0， ∴y1＝1，y2＝﹣1； （4）2x2﹣7x+1＝0， 这里a＝2，b＝﹣7，c＝1， ∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41＞0， ∴x， ∴，． 18．用合适的方法解一元二次方程： （1）x2+8x＝9； （2）2x+6＝（x+3）2； （3）2x2﹣7x0； （4）x2﹣2x+2＝0． 【分析】（1）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答； （3）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答； （4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）x2+8x＝9， x2+8x﹣9＝0， （x+9）（x﹣1）＝0， x+9＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣9，x2＝1； （2）2x+6＝（x+3）2， 2（x+3）﹣（x+3）2＝0， （x+3）（2﹣x﹣3）＝0， （x+3）（﹣x﹣1）＝0， x+3＝0或﹣x﹣1＝0， x1＝﹣3，x2＝﹣1； （3）2x2﹣7x0， ∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（） ＝49+4 ＝53＞0， ∴x， ∴x1，x2； （4）x2﹣2x+2＝0， （x）2＝0， x0， x1＝x2． 19．用合适的方法解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）2x2﹣6x﹣3＝0； （3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）； （4）． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， ∴x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1； （2）2x2﹣6x﹣3＝0， ∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝36﹣4×2×（﹣3）＝60＞0， ∴x， ∴x1，x2； （3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）， （2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0， （2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0， ∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0， ∴x1，x2＝4； （4）， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝10， ∴b2﹣4ac＝48﹣4×1×10＝8＞0， ∴x2±， ∴x1＝2，x2＝2． 20．选择合适的方法解下列方程． （1）（2x﹣1）2﹣32＝0 （2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0 （3）x2﹣5x+6＝1 （4）4x（x﹣3）＝x2﹣9 【分析】（1）先把方程变形为（2x﹣1）2＝64，然后利用直接开平方法解方程； （2）把方程看作关于（x+2）的一元二次方程，然后利用因式分解法得到x+2﹣5）＝0，再解一次方程即可； （3）先把方程化为一般式，再在计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （4）先把方程变形为4x（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或4x﹣x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）（2x﹣1）2﹣32＝0， （2x﹣1）2＝64， 2x﹣1＝±8， 所以x1，x2； （2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0， （x+2﹣5）2＝0， x+2﹣5＝0， 所以x1＝x2＝3； （3）x2﹣5x+6＝1， x2﹣5x+5＝0， a＝1，b＝﹣5，c＝5， Δ＝（﹣5）2﹣4×1×5＝5＞0， x， 所以x1，x2； （4）4x（x﹣3）＝x2﹣9， 4x（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0， （x﹣3）（4x﹣x﹣3）＝0， x﹣3＝0或4x﹣x﹣3＝0， 所以x1＝3，x2＝1． 【类型6 利用换元法解方程20题】 1．阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝t，则（x2）2＝t2，原方程化为t2﹣t﹣6＝0①，解①得t1＝﹣2，t2＝3．当t1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当t2＝3时，x2＝3，解得；∴原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． （1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，新字母设为t，则t＝　 　，原方程化为 　 　，解得t＝　 　． （2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0的解． 【分析】（1）根据题意，可设t＝x2﹣x，于是原方程变形为t2﹣4t﹣12＝0，利用因式分解法求解即可． （2）根据t＝6，t＝﹣2，转化为方程x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意，可设t＝x2﹣x，于是原方程变形为t2﹣4t﹣12＝0， 解得t＝6，t＝﹣2， 故答案为：x2﹣x，t2﹣4t﹣12＝0；6或﹣2． （2）根据题意，得t＝6，t＝﹣2，方程转化为x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2， 故x2﹣x﹣6＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣2； 当x2﹣x+2＝0时，此时Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＜0，方程无解， 故原方程的解为x1＝3，x2＝﹣2． 2．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 【分析】（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用公式法求得x的值． 【解答】解：（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0， 整理，得（y+3）（y+1）＝0， 解得y1＝﹣3，y2＝﹣1． 当y＝﹣3时，即3x﹣5＝﹣3， 解得x1， 当y＝﹣1时，即3x﹣5＝﹣1， 解得x2． 综上所述，原方程的解为x1，x2； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴x＝±， 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为x1，x2． 3．阅读理解 解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法． 例如：解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0． 解：设x2﹣x＝y．原方程化为y2﹣8y+12＝0．∴（y﹣2）（y﹣6）＝0．∴y﹣2＝0或y﹣6＝0．∴y1＝2，y2＝6． 当y＝2时，即x2﹣x＝2．∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0．∴x1＝2，x2＝﹣1 当y＝6时，即x2﹣x＝6．∴（x﹣3）（x+2）＝0．∴x﹣3＝0或x+2＝0．∴x3＝3，x4＝﹣2．∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1，x3＝3，x4＝﹣2． 请你利用换元法解方程：（x2﹣7）2﹣（x2﹣7）﹣2＝0． 【分析】根据换元法，设x2﹣7＝y；再对原方程进行变形，求出y的值；最后将y的值代入x2﹣7中，求出方程的解． 【解答】解：设x2﹣7＝y． 原方程化为y2﹣y﹣2＝0， ∴（y﹣2）（y+1）＝0， ∴y﹣2＝0或y+1＝0， y1＝2，y2＝﹣1． 当y＝2时，即x2﹣7＝2． ∴x2＝9， ∴x1＝3，x2＝﹣3； 当y＝﹣1时，即x2﹣7＝﹣1． ∴x2＝6， ∴x1，x2． ∴原方程的解是x1＝3，x2＝﹣﹣3，x3，x4． 4．提出问题： 为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）． 当y1＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： 运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0． 【分析】设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，求出y的值，再代入x2﹣2＝y求出x即可． 【解答】解：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0， 设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0， （y﹣6）（y﹣7）＝0， y﹣6＝0或y﹣7＝0， 解得，：y1＝6，y2＝7， 当 x2﹣2＝6 时，； 当 x2﹣2＝7 时，x＝±3， 所以原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3． 5．【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0． 【分析】设2x﹣5＝y，先把原方程化为关于y的一元二次方程，求出它的根，再代入设中求出x． 【解答】解：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0， 解：设2x﹣5＝y， 则原方程可化为y2﹣2y﹣3＝0， ∴（y﹣3）（y+1）＝0． 解得y1＝3，y2＝﹣1． 当y＝3时，即2x﹣5＝3，解得x＝4； 当y＝﹣1时，即2x﹣5＝﹣1，解得x＝2． 所以原方程的解为：x1＝2，x2＝4． 6．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）x4﹣3x2﹣4＝0； （2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 【分析】（1）先把要求的式子变形为（x2）2﹣3x2﹣4＝0，再进行因式分解，求出符合条件的x2的值，从而得出x的值； （2）根据已知条件设x2+2x＝y求出x的值即可． 【解答】解：（1）x4﹣3x2﹣4＝0， （x2）2﹣3x2﹣4＝0， （x2﹣4）（x2+1）＝0， x2﹣4＝0，x2+1＝0， 解得：x2＝4，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， 则x1＝2，x2＝﹣2． （2）设y＝x2+2x，则y2﹣y﹣6＝0 ∵（y﹣3）（y+2）＝0， y＝3，y＝﹣2 当y＝3时，x2+2x﹣3＝0，x1＝﹣3，x2＝1， 当y＝﹣2时，x2+2x+2＝0，无解． 故方程的解为x1＝﹣3，x2＝1， 7．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【分析】（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值； （2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用公式法求得x的值． 【解答】解：（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴； 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为，． （2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0， 整理，得（y﹣6）（y+1）＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣1． 当y＝6时，即x2﹣2x＝6， 解得，； 当y＝﹣1时，即x2﹣2x＝﹣1， 解得x3＝x4＝1． 综上所述，原方程的解为，，x3＝x4＝1． 8．探究：换元法是重要的数学思想方法，用换元法可解决许多数学问题，请看例题： 解方程：x4﹣2x2﹣3＝0． 解：设x2＝y，则原方程化为y2﹣2y﹣3＝0． 解关于y的一元二次方程，得y1＝﹣1，y2＝3． 当y＝﹣1时，即x2＝﹣1，此时方程无实数根； 当y＝3时，即x2＝3解得x1，x2． 所以原方程的根是x1，x2． 请你用换元法解下列方程： （1）6＝0； （2）（x2﹣2）2﹣2（x2﹣2）﹣8＝0． 【分析】（1）根据题意设，即可解答此方程； （2）根据题意设x2﹣2＝a，即可解答此方程． 【解答】解：（1）6＝0 设， 则a2﹣5a+6＝0 解得，a1＝2，a2＝3， ∴或， 解得，， 经检验是原分式方程的解； （2）（x2﹣2）2﹣2（x2﹣2）﹣8＝0， 设x2﹣2＝a， 则a2﹣2a﹣8＝0， 解得，a1＝4，a2＝﹣2， ∴x2﹣2＝4或x2﹣2＝﹣2， 解得x1，x2，x3＝0． 9．先阅读题例，再解答问题． 为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0；我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解得y＝1或y＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，x＝±；所以原方程的解为x1．以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．运用上述方法解决下列问题： （1）已知（x2+y）（x2+y﹣4）＝5，求x2+y； （2）解方程：x4﹣7x2+12＝0． 【分析】（1）设x2+y＝m，将原方程化为m（m﹣4）＝5求解即可； （2）设x2＝n，将原方程化为n2﹣7n+12＝0，求出n的值，再解关于x的方程求出x的值． 【解答】解：（1）设x2+y＝m，则原方程化为m（m﹣4）＝5， ∴m2﹣4m﹣5＝0， ∴（m+1）（m﹣5）＝0， ∴m＝﹣1或m＝5， ∴x2+y＝﹣1或5； （2）设x2＝n，则原方程化为n2﹣7n+12＝0， ∴（n﹣3）（n﹣4）＝0， ∴n＝3或n＝4， 当n＝3时，x2＝3， ∴，； 当n＝4时，x2＝4， ∴x3＝2，x4＝﹣2； ∴，，x3＝2，x4＝﹣2． 10．阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2． 以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0； （2）已知实数a满足（a2）2﹣3a2＝10+3，请直接写出a2的值． 【分析】（1）先设y＝x2+3x，则原方程变形为2y2﹣3y﹣2＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2，再把y＝2和分别代入y＝x2+3x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解； （2）设y＝a2，则y2﹣3y﹣10＝0，运用因式分解法解得y1＝﹣2，y2＝5，再把y＝5代y＝a2得到a25，即可求得a2＝5，进而即可求得a2的值． 【解答】解：（1）设y＝x2+3x，则2y2﹣3y﹣2＝0， 则（y﹣2）（2y+1）＝0， 解得y1＝2，y2， 当x2+3x＝2，即x2+3x﹣2＝0时，解得x； 当x2+3x，即x2+3x0时，解得x； 综上所述，原方程的解为x1，x2，x3，x4； （2）（a2）2﹣3a2＝10+3整理得：（a2）2﹣3（a2）﹣10＝0， 设y＝a2，则y2﹣3y﹣10＝0， 则（y+2）（y﹣5）＝0， 解得y1＝﹣2，y2＝5， 当y＝﹣2时，则a22，无意义，舍去； 当y＝5时，则a25，得到a2＝5， ∴a2（5）＝3﹣5． 故a2的值为3﹣5． 11．请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程． 解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0． 解得y1＝3，y2＝﹣1． 当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±． 当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2此方程无实数解． ∴原方程的解为x1，x2． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣15＝0． 【分析】根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，注意最后要验根． 【解答】解：（）2﹣2（）﹣15＝0， 设a， 则a2﹣2a﹣15＝0， 解得，a＝﹣3或a＝5， 当a＝﹣3时，，解得，x，经检验x是分式方程的解， 当a＝5时，，解得x，经检验x是分式方程的解， ∴原分式方程的解是，． 12．阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：1． （3）若实数x满足x23x2，求x的值． 【分析】（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，继而可得x2＝1或x2＝9，解之即可； （2）设m，则原方程可化为m1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得1、2，解之即可； （3）设xy，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得． 【解答】解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0， 即（a﹣1）（a﹣9）＝0， 解得：a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3； （2）设m，则原方程可化为m1，即m2﹣m﹣2＝0， ∴（m+1）（m﹣2）＝0， 解得：m＝﹣1或m＝2， 当m＝﹣1时，1，即x2+x+1＝0，由Δ＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解； 当m＝2时，2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x， 经检验x＝1和x都是原分式方程的解； （3）设xy，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0， ∴（y+1）（y﹣4）＝0， 解得：y＝﹣1或y＝4， 即x1（方程无解，舍去）或x4， 故x4． 13．用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0． 【分析】先设y＝x2﹣x，则原方程变形为y2﹣4y﹣12＝0，运用因式分解法解得y1＝﹣2，y2＝6，再把y＝﹣2和6分别代入y＝x2﹣x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【解答】解：设y＝x2﹣x，则 y2﹣4y﹣12＝0，即（y﹣6）（y+2）＝0， 解得y1＝﹣2，y2＝6， 当y1＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，无解； 当y2＝6，时，x2﹣x＝6，即（x﹣3）（x+2）＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣2． 14．利用换元法解方程x4﹣x2﹣6＝0． 【分析】先设y＝x2，则原方程变形为y2﹣y﹣6＝0，运用因式分解法解得y1＝﹣2，y2＝3，再把y＝﹣2和3分别代入y＝x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【解答】解：设y＝x2，则原方程变为：y2﹣y﹣6＝0． 分解因式，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得，y1＝﹣2，y2＝3， 当y＝﹣2时，x2＝﹣2，x2+2＝0，Δ＝0﹣4×2＜0，此方程无实数解； 当y＝3时，x2＝3，解得x1，x2， 所以原方程的解为x1，x2． 15．用换元法解方程：（x2+1）2+2（x2+1）﹣8＝0． 【分析】先设y＝x2+1，则原方程变形为y2+2y﹣8＝0，运用因式分解法解得y1＝﹣4，y2＝2，再把y＝﹣4和2分别代入y＝x2+1得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【解答】解：设y＝x2+1， 原方程变形为y2+2y﹣8＝0， （y+4）（y﹣2）＝0， 解得y1＝﹣4，y2＝2， 当y＝﹣4时，x2+1＝﹣4，x2+5＝0，Δ＝0﹣4×5＜0，此方程无实数解； 当y＝2时，x2+1＝2，x2＝1，解得x1＝﹣1，x2＝1， 所以原方程的解为x1＝﹣1，x2＝1． 16．用换元法解方程：（x2﹣2x+2）（2x2﹣3x﹣1）+x2﹣x﹣4＝0． 【分析】原方程变形为：（x2﹣2x+2）（x2﹣2x+2+x2﹣x﹣3）+x2﹣x﹣3﹣1＝0，设x2﹣2x+2＝y，x2﹣x﹣3＝z，原方程化为：y（y+z）+z﹣1＝0，得到yz＝±（z﹣1），再分当yzz﹣1时；当yz＝﹣（z﹣1）时；两种情况讨论可得方程的解． 【解答】解：原方程变形为（x2﹣2x+2）（x2﹣2x+2+x2﹣x﹣3）+x2﹣x﹣3﹣1＝0． 设x2﹣2x+2＝y，x2﹣x﹣3＝z， 原方程化为：y（y+z）+z﹣1＝0， 整理得：y2+yzz2z2+z﹣1＝0，即yz＝±（z﹣1）， 当yzz﹣1时，y＝﹣1， x2﹣2x+2＝﹣1， x2﹣2x+3＝0， 因为b2﹣4ac＝4﹣12＜0 所以x2﹣2x+3＝0无解； 当yz＝﹣（z﹣1）时，则y+z＝1， x2﹣2x+2+x2﹣x﹣3＝1， 2x2﹣3x﹣2＝0， 解得x1，x2＝2， 故原方程的解为x1，x2＝2． 17．解方程：（12x+5）2（6x﹣1）（x+1），试一试 直接解方程太麻烦，用换元法试一试． 【分析】将已知方程转化为（12x+5）2（12x﹣2）（12x+2）＝110，然后设t＝12x+5，则t2（t﹣7）（t+7）＝110，通过解该方程求得t的值，然后解关于x的一元一次方程即可． 【解答】解：（12x+5）2（6x﹣1）（x+1）， （12x+5）（12x+5）（6x﹣1）（x+1）， （12x+5）2（12x﹣2）（12x+2）＝110， 设12x+5＝t，则 t2（t﹣7）（t+7）＝110， （t2﹣55）（t2+2）＝0， 所以t2＝55或t2＝﹣2（舍去）． 当t时，x． 当t时，x． ∴x1，x2． 18．利用换元法解下列方程 （1）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2＝0； （2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝0． 【分析】（1）把x2﹣2x当成一个整体，用y来代换，原方程可变为：y2+y﹣2＝0，解这个方程，再还原成x2﹣2x求解； （2）设m＝3x﹣2，原方程可变为：m2﹣m＝0，解此方程可得m的值，再还原成3x﹣2求解可得． 【解答】解：（1）设y＝x2﹣2x，原方程可变为：y2+y﹣2＝0 解得：y＝﹣2或y＝1，即x2﹣2x＝﹣2或x2﹣2x＝1． 当x2﹣2x＝﹣2时，Δ＜0，没实数根， 当x2﹣2x＝1时，解得x＝1±． 故原方程的根是x1＝1，x2＝1． （2）设m＝3x﹣2，原方程可变为：m2﹣m＝0， 解得：m＝0或m＝1， 当m＝0时，可得3x﹣2＝0，解得：x， 当m＝1时，可得3x﹣2＝1，解得：x＝1， 故原方程的根是x1，x2＝1． 19．利用换元法解下列方程： （1）（x+2）2+6（x+2）﹣91＝O； （2）x2﹣（1+2）x﹣30． 【分析】（1）先设x+2＝y，再把原方程进行变形，求出y的值，再把y的值代入x+2＝y，即可求出x的值； （2）先把方程的左边因式分解，得出x﹣（3）＝0，x+（2）＝0，再求出x的值即可． 【解答】解：（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91＝O； 设x+2＝y，则原方程可变形为： y2+6y﹣91＝0， 解得：y1＝7，y2＝﹣13， 当y1＝7时，x+2＝7， x1＝5， 当y2＝﹣13时，x+2＝﹣13， x2＝﹣15； （2）x2﹣（1+2）x﹣30， [x﹣（3）][x+（2）]＝0， x﹣（3）＝0，x+（2）＝0， x1＝3，x2＝﹣2． 20．用换元法解下列方程： （1）y4﹣y2﹣6＝0； （2）x2； （3）（x2﹣2）（x2﹣5）＝0； （4）（y2﹣1）2﹣7（y2﹣1）＝﹣12． 【分析】（1）设y2＝a，则原方程化为：a2﹣a﹣6＝0，求出a，即可求出y； （2）设a，则原方程化为：a2，求出a，即可求出x； （3）设x2＝a，则原方程化为（a﹣2）（a﹣5）＝0，求出a，即可求出x； （4）设y2＝a，则原方程化为（a﹣1）2﹣7（a﹣1）+12＝0，求出a，即可求出y． 【解答】解：（1）y4﹣y2﹣6＝0， 设y2＝a，则原方程化为：a2﹣a﹣6＝0， 解得：a1＝3，a2＝﹣2， 当a＝3时，y2＝3， y， 当a＝﹣2时，y2＝﹣2，此方程无解； 所以原方程的解为y1，y2； （2）x2， 设a，则原方程化为：a2， 解得：a1＝3，a2＝﹣1， 当a＝3时，3， 解得：x＝2或1， 经检验x＝2或1都是原方程的解， 当a＝﹣1时，1，此方程无解； 所以原方程的解为x1＝2，x2＝1； （3）（x2﹣2）（x2﹣5）＝0， 设x2＝a，则原方程化为（a﹣2）（a﹣5）＝0， 解得：a＝2或5， 当a＝2时，x2＝2， 解得：x， 当a＝5时，x2＝5， 解得：x， 所以原方程的解为x1，x2，x2，x4； （4）（y2﹣1）2﹣7（y2﹣1）＝﹣12， 设y2＝a，则原方程化为（a﹣1）2﹣7（a﹣1）+12＝0， 解得：a＝4或5， 当a＝4时，y2＝4， 解得：y＝±2， 当a＝5时，y2＝5， 解得：y， 所以原方程的解为y1＝2，y2＝﹣2，y2，y4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 一元二次方程的计算六大类型 【苏科版】 【类型1 利用直接开平方法解方程20题】 1 【类型2 利用配方法解方程20题】 4 【类型3 利用公式法解方程20题】 6 【类型4 利用因式分解法解方程20题】 8 【类型5 利用合适的方法解方程20题】 10 【类型6 利用换元法解方程20题】 14 【类型1 利用直接开平方法解方程20题】 1．利用直接开平方法解方程：（x﹣2）2﹣16＝0． 2．利用直接开平方法解方程：（x+2）2﹣25＝0 3．利用直接开平方法解方程：（4x﹣1）2＝25 4．利用直接开平方法解方程：4（x+1）2＝9 5．用直接开平方法解方程：（2y﹣1）2 6．利用直接开平方法解方程：． 7．利用直接开平方法解方程：2（x+1）20． 8．利用直接开平方法解方程：（m）2＝16． 9．利用直接开平方法解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0． 10．用直接开平方法解下列方程： （1）2（x﹣1）2＝18 （2）3（x+1）2﹣75＝0． 11．用直接开平方法解下列方程： （1）2（x﹣5）2＝0； （2）3（x+2）2+12＝0． 12．用直接开平方法解下列方程： （1）x2﹣8＝0； （2）（x+3）（x﹣3）＝16． 13．用直接开平方法解下列方程： （1）x2﹣12＝0； （2）（4﹣2x）2﹣36＝0． 14．用直接开平方法解下列方程： （1）（3x﹣2）2＝15； （2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2． 15．用开平方法解下列关于x的方程： （1）（x﹣3）2＝a2； （2）（x﹣a）2＝a2+2ab+b2． 16．用直接开平方法解下列方程： （1）（x）（x）＝45； （2）x2﹣8x+16＝3． 17．用直接开平方法解下列方程． （1）（2x+3）2＝（3x+2）2； （2）； （3）x2﹣2x+1﹣25（2x﹣1）2＝0． 18．用直接开平方法解下列方程． （1）9x2﹣25＝0； （2）（4x﹣1）2﹣9＝0； （3）（3x﹣1）（3x+1）﹣1＝0； （4）（3﹣x）2﹣4＝0． 19．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣5＝0； （2）（x﹣1）（x+1）＝1； （3）（2x﹣1）2＝（1）2； （4）（x﹣1）2＝（2x+3）2． 20．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2﹣100＝0； （2）（3x﹣1）2＝7； （3）（x﹣3）2＝8； （4）（3x）2﹣3＝0． 【类型2 利用配方法解方程20题】 1．解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）． 2．用配方法解方程：x2﹣2x﹣35＝0． 3．用配方法解方程，2x2+5x﹣12＝0． 4．用配方法解方程：5x2﹣2x﹣3＝0． 5．用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 6．用配方法解方程：2x2+8x﹣1＝0． 7．用配方法解方程：（x﹣3）（x+1）＝1． 8．用配方法解方程：． 9．用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0． 10．用配方法解方程：3x2﹣4x+2＝0 11．用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）． 12．用配方法解方程： （1）x2+7x； （2）3x2+6x+2＝11． 13．用配方法解下列关于x的方程： （1）x2+12x+25＝0． （2）2x2+4x﹣1998＝0． 14．用配方法解方程： （1）（x+1）（2x﹣3）＝1； （2）5x2﹣15x﹣7＝0． 15．用配方法解下列方程： （1）2x2+4x﹣6＝0； （2）（x﹣2）2＝3x（x﹣2）． 16．用配方法解方程： （1）ax2ax（a）＝0（a＞0）； （2）（m﹣5）2x2+2（m﹣5）x+1＝0． 17．用配方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣7＝0； （2）； （3）（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣4x﹣6． 18．用配方法解下列方程： （1）12x2+7x+1＝0； （2）0.8x2+x＝0.3； （3）3x2+1x； （4）（x+1）（x﹣3）＝2x+5． 19．用配方法解下列一元二次方程： （1）2t2﹣7t﹣4＝0 （2）3﹣7x＝﹣2x2 （3）0.1x2+0.2x﹣1＝0 （4）6x2﹣4x+1＝0． 20．用配方法解下列关于x的方程： （1）2x2x﹣30＝0； （2）x2+2＝2x； （3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O）； （4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O）． 【类型3 利用公式法解方程20题】 1．按要求解方程：x2+3x+1＝0（公式法）． 2．利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2． 3．解方程：．（用公式法） 4．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 5．解方程：．（公式法） 6．用公式法解方程：4x2+2x﹣1＝0． 7．用公式法解方程：x2﹣2x＝4x﹣5． 8．请你用公式法解方程：3x2﹣4x﹣1＝0． 9．用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x＝x+1． 10．用公式法解方程：x2﹣2x+7＝2x+10． 11．用公式法解方程：3y2+1＝2y． 12．用公式法解关于x的一元二次方程：2x2+ax﹣a2＝0． 13．用公式法解关于x方程：a2x2﹣4abx+3b2＝0（ab＞0）． 14．用公式法解下列方程： （1）x2﹣4x+10＝0； （2）2x2+2x＝1． 15．用公式法解方程： ①4x2﹣4x+1＝0 ②x2x﹣3＝0． 16．用公式法解下列方程： （1）； （2）2x（x﹣3）＝﹣6x+5； （3）3y2+5（2y+3）＝0． 17．用公式法解下列方程： （1）x（x+8）＝16； （2）x2﹣4x＝4； （3）2x2﹣2x+1＝0． 18．用公式法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）3x2﹣10x﹣8＝0； （3）y（2y+7）＝4； （4）（x+2）（2x﹣9）＝﹣6． 19．用公式法解下列方程． （1）（x+1）（x+3）＝6x+4； （2）x2+2（1）x+20； （3）x2﹣（2m+1）x+m＝0． 20．用公式法解下列方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）5x+2＝3x2； （3）（x﹣2）（3x﹣5）＝1； （4）0.2x2+5x． 【类型4 利用因式分解法解方程20题】 1．用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝x2﹣9． 2．用因式分解法解方程：2（x﹣5）2＝x（x﹣5）． 3．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法） 4．用因式分解法解方程：6﹣2y＝（y﹣3）2． 5．用因式分解法解方程：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2． 6．用因式分解法解方程：（3x﹣5）（2x﹣1）＝﹣12x+7． 7．用因式分解法解方程：3x（x）x． 8．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）． 9．（2x+3）2＝4（2x+3）（因式分解法）． 10．用因式分解法解方程：（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 11．因式分解法解一元二次方程．1． 12．用因式分解法解方程： （1）2x2+3x＝0； （2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 13．用因式分解法解一元二次方程： （1）（4x+1）（5x﹣7）＝0； （2）（2x+3）2＝4（2x+3）． 14．用因式分解法解方程： （1）x2x＝0； （2）x（x﹣6）＝2（x﹣8）． 15．用因式分解法解下列方程： （1）9＝0； （2）（x﹣5）2＝2（x﹣5）﹣1． 16．用因式分解法解下列方程： （1）（1﹣2x）2＝x2； （2）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0． 17．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程． （1）x2+x﹣k2x＝0 （2）x2﹣2mx+m2﹣n2＝0． 18．用因式分解法解下列方程： （1）4x2﹣144x＝0 （2）2（5x﹣1）2＝3（1﹣5x） （3）2x+6＝（3+x）2 （4）（x﹣2）2﹣2x+4＝0． 19．用因式分解法解下列方程： （1）（x+2）2＝3x+6； （2）（3x+2）2﹣4x2＝0； （3）5（2x﹣1）＝（1﹣2x）（x+3）； （4）2（x﹣3）2+（3x﹣x2）＝0． 20．用因式分解法解下列方程． （1）x2+2x+2＝0； （2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）； （3）2（x﹣3）2＝9﹣x2； （4）9（2x+3）2＝4（2x﹣5）2． 【类型5 利用合适的方法解方程20题】 1．用合适的方法解方程： （1）x2﹣5x+3＝﹣1； （2）（2x+1）（x﹣3）＝5x﹣15． 2．请用合适的方法解方程： （1）x2﹣5x﹣14＝0； （2）（3﹣y）2+y2＝12． 3．用合适的方法解方程： （1）x2﹣4x+4＝64； （2）x2＝|2x﹣1|+4． 4．用合适的方法解以下方程． （1）3x2﹣4x﹣1＝0． （2）3x（x﹣3）＝2x﹣6． 5．用合适的方法解下列方程． （1）x2﹣4x﹣2＝0； （2）﹣2x2+x+3＝0． 6．用合适的方法解下列方程 （1）4x2﹣8x﹣3＝0； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）． 7．用合适的方法解方程： （1）x2+10x+16＝0； （2）2x2﹣2x+1＝0． 8．选用合适的方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x+2）2＝（2x+1）2． 9．选择合适的方法解一元二次方程： （1）x2﹣（）x0 （2）（x+3）（x﹣1）＝5． 10．请选择合适的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0． （2）3x2﹣7x+2＝0． 11．请用合适的方法解方程 （1）x2﹣5x+6＝12 （2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0 12．用合适的方法解下列方程： （1）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0； （2）5（x﹣3）2＝x2﹣9； （3）t2t0． 13．用合适的方法解下列方程： （1）0.2（x）20； （2）2y2+4y﹣798＝0； （3）3z2﹣1＝4z； （4）（p﹣1）2﹣3（p﹣1）﹣10＝0． 14．用合适的方法解方程： （1）（x﹣5）20； （2）x2+8x﹣20＝0； （3）（2y﹣5）2＝（3y+1）2； （4）（x﹣3）（2x﹣1）＝1． 15．用合适的方法解下列方程： （1）x（x﹣3）＝5（x﹣3）； （2）3x2+10x+3＝0； （3）x2﹣2x﹣3＝0； （4）4（2x+3）2﹣64＝0． 16．用合适的方法解方程： （1）x2﹣3x+1＝0； （2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （3）x2+4x﹣5＝0； （4）5（2x+4）2＝20． 17．用合适的方法解方程： （1）（x﹣5）2＝16． （2）x2﹣2x﹣4＝0． （3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0． （4）2x2﹣7x+1＝0． 18．用合适的方法解一元二次方程： （1）x2+8x＝9； （2）2x+6＝（x+3）2； （3）2x2﹣7x0； （4）x2﹣2x+2＝0． 19．用合适的方法解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）2x2﹣6x﹣3＝0； （3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）； （4）． 20．选择合适的方法解下列方程． （1）（2x﹣1）2﹣32＝0 （2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0 （3）x2﹣5x+6＝1 （4）4x（x﹣3）＝x2﹣9 【类型6 利用换元法解方程20题】 1．阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝t，则（x2）2＝t2，原方程化为t2﹣t﹣6＝0①，解①得t1＝﹣2，t2＝3．当t1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当t2＝3时，x2＝3，解得；∴原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． （1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，新字母设为t，则t＝　 　，原方程化为 　 　，解得t＝　 　． （2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0的解． 2．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 3．阅读理解 解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法． 例如：解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0． 解：设x2﹣x＝y．原方程化为y2﹣8y+12＝0．∴（y﹣2）（y﹣6）＝0．∴y﹣2＝0或y﹣6＝0．∴y1＝2，y2＝6． 当y＝2时，即x2﹣x＝2．∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0．∴x1＝2，x2＝﹣1 当y＝6时，即x2﹣x＝6．∴（x﹣3）（x+2）＝0．∴x﹣3＝0或x+2＝0．∴x3＝3，x4＝﹣2．∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1，x3＝3，x4＝﹣2． 请你利用换元法解方程：（x2﹣7）2﹣（x2﹣7）﹣2＝0． 4．提出问题： 为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）． 当y1＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： 运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0． 5．【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0． 6．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）x4﹣3x2﹣4＝0； （2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 7．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 8．探究：换元法是重要的数学思想方法，用换元法可解决许多数学问题，请看例题： 解方程：x4﹣2x2﹣3＝0． 解：设x2＝y，则原方程化为y2﹣2y﹣3＝0． 解关于y的一元二次方程，得y1＝﹣1，y2＝3． 当y＝﹣1时，即x2＝﹣1，此时方程无实数根； 当y＝3时，即x2＝3解得x1，x2． 所以原方程的根是x1，x2． 请你用换元法解下列方程： （1）6＝0； （2）（x2﹣2）2﹣2（x2﹣2）﹣8＝0． 9．先阅读题例，再解答问题． 为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0；我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解得y＝1或y＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，x＝±；所以原方程的解为x1．以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．运用上述方法解决下列问题： （1）已知（x2+y）（x2+y﹣4）＝5，求x2+y； （2）解方程：x4﹣7x2+12＝0． 10．阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2． 以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0； （2）已知实数a满足（a2）2﹣3a2＝10+3，请直接写出a2的值． 11．请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程． 解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0． 解得y1＝3，y2＝﹣1． 当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±． 当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2此方程无实数解． ∴原方程的解为x1，x2． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣15＝0． 12．阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：1． （3）若实数x满足x23x2，求x的值． 13．用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0． 14．利用换元法解方程x4﹣x2﹣6＝0． 15．用换元法解方程：（x2+1）2+2（x2+1）﹣8＝0． 16．用换元法解方程：（x2﹣2x+2）（2x2﹣3x﹣1）+x2﹣x﹣4＝0． 17．解方程：（12x+5）2（6x﹣1）（x+1），试一试 直接解方程太麻烦，用换元法试一试． 18．利用换元法解下列方程 （1）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2＝0； （2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝0． 19．利用换元法解下列方程： （1）（x+2）2+6（x+2）﹣91＝O； （2）x2﹣（1+2）x﹣30． 20．用换元法解下列方程： （1）y4﹣y2﹣6＝0； （2）x2； （3）（x2﹣2）（x2﹣5）＝0； （4）（y2﹣1）2﹣7（y2﹣1）＝﹣12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$