精品解析：重庆市江北区江北巴川量子学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

重庆巴川量子学校2023−2024学年度春期期末考试 数学试题 （本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数的图像一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形对边平行且相等 B. 菱形的对角线平分一组对角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形有四条对称轴 5. 如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. 某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与直线交于，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的面积为，，点O为的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是（ ） A. B. C. 4 D. 6 10. 如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 12. 若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”） 13. 当x取一切实数时，二次函数的最小值为4，则常数m的值为______． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___． 15. 已知，，在函数上，当且时，则，，之间的大小关系______． 16. 如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若，则的长为______． 17. 若整数a使得关于x的方程的解为非负数，且使得关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为______． 18. 一个两位正整数m，如果m满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称m为“平凡数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在m的后面组成第一个四位数，把放在m的前面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以所得的商记为．例如：时，，，则______；若s，t都是“平凡数”，其中，（，，且a，b，x，y为整数）规定：；若满足被7除余1，且，则的值是______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在对应的位置上． 19 解方程： （1） （2） 20. 如图，在正方形中，E为上一点，过点A作于点G，延长至点F，接，若，求证：． 小量做了如下思考：过点B作于点H，再通过证明三角形全等得出结论，请你按小量的思路作图并证明（用基本尺规作图，保留作图痕迹，不下结论）． 证明：正方形中， ___①___，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴___②___， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，___④___， 又∵中，， ∴为等腰直角三角形， ∴___⑤___， 而． 21. 如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． （1）求直线的解析式； （2）若点P为线段上一动点，且，求点P的坐标； 22. 为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖． （1）经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； （2）今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润． 23. 如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度，沿折线运动，到达点停止运动．设点运动的时间为，的面积为，请解答下列问题； （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出与函数图象，并写出它的一条性质； （3）结合你所画的函数图象直接写出当时的近似值．（保留一位小数，误差不超过） 24. 重庆长江索道是一条连接渝中区和南岸区的过江索道，它不仅是一座标志性景观，也是游览长江和重庆城市风光的重要交通工具．一天一群游客从酒店A处出发，到达长江索道的入口C处，想乘坐长江索道去D处吃火锅．由于排队的乘客太多，这群游客便分成两组，甲组选择乘坐索道从，（排队时间不计）乙组选择乘坐观光车从（排队等车时间不计），已知点C在点A的北偏东方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向米处，点D在点B的北偏东方向上，且米．（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知长江索道的速度是每分钟米，观光车的速度是每分钟米，请通过计算说明，哪组游客会先到达D处？ 25. 已知抛物线的图像与轴交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线解析式； （2）如图，点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴交于点，作交轴于点，求的最大值以及此时点的坐标； （3）如图，在（）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线对称轴与轴交于点，在新抛物线上是否存在点，连接，，，使，若存在，请写出所有满足条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 26. 在和中，，，． （1）如图1，点D在边上，连接并延长交于点F，若，，求长； （2）如图2，点D在内部，连接交于点G，连接，若，求证； （3）在第（2）问的条件下，若E点刚好落到边上，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆巴川量子学校2023−2024学年度春期期末考试 数学试题 （本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 2. 一次函数的图像一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数，当时函数经过第一、二、四象限进行判断即可． 【详解】解：因为一次函数的， 所以一次函数经过第一、二、四象限， 故该函数不经过第三象限， 故选：C， 【点睛】本题主要考查了函数图像上的点与图像的关系，图像上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图像上．并且本题还考查了一次函数的性质，都是需要熟记的内容． 3. 将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，顶点坐标．熟练掌握二次函数图象的平移，顶点坐标是解题的关键． 由题意知，新抛物线的解析式为，进而可得新抛物线顶点坐标为． 【详解】解：由题意知，抛物线向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为， ∴新抛物线顶点坐标为， 故选：A． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形对边平行且相等 B. 菱形的对角线平分一组对角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形有四条对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意； B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意； D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键． 5. 如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行是解题的关键．根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是以点为位似中心经过位似变换得到的， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长与的周长比是为， 故选：． 6. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与x轴的一个交点为， ， 故选C． 7. 某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解实际应用题．将三条路平移，草坪是一个长方形，如图所示，根据剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为，利用长方形面积公式得到，从而确定答案． 【详解】解：将三条路平移，如图所示： 剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为， ， 故选：C． 8. 若直线与直线交于，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据函数图象，写出直线的图象在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：关于x的不等式的解集为． 故选：D． 9. 如图，菱形的面积为，，点O为的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质可得，，得出是等边三角形，可得，，再由点O为的中点，与互相平分，可得点O是线段的中点，从而得出，再由菱形的面积为，求得，最后由直角三角形斜边中线的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， 点O为的中点，与互相平分， 点O是线段的中点， ， ∴， ∵，即， ， ∵， ，即， 菱形的面积为， ， ， ， 中，是斜边上的中线， ， 故选：D 10. 如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】解：， 解得：． 的取值范围是． 故答案为：． 12. 若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：， 又， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 13. 当x取一切实数时，二次函数的最小值为4，则常数m的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． 由，，可知当时，二次函数的值最小，为4，则，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，二次函数的值最小，为4， ∴， 解得，， 故答案为：6． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___． 【答案】 【解析】 详解】∵AB=12，BC=5， ∴AD=5， ∴， 根据折叠可得：AD=A′D=5， ∴A′B=13－5=8， 设AE=x，则A′E=x，BE=12－x， 在Rt△A′EB中：， 解得：． 故答案为： 15. 已知，，在函数上，当且时，则，，之间的大小关系______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键． 由抛物线解析式可知开口向下，顶点为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，设的对称点为，根据，得到，得到，即得． 【详解】∵抛物线开口向下，顶点为，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，，当时，， ∴与关于对称轴对称， 设的对称点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质．根据三角形中位线定理，证明，得到，，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 是的中位线， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：． 17. 若整数a使得关于x的方程的解为非负数，且使得关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为______． 【答案】8 【解析】 【分析】表示出分式方程的解，根据解为非负数确定出的范围，表示出不等式组的解集，由解集中至少有3个整数解，确定出的范围，进而求出的具体范围，确定出整数的值，求出之和即可．此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 分式方程的解为非负数，且为整数， 且，即且， ∵ ∴不等式组整理得：， 即， 不等式组至少有3个整数解， ， 综上，的范围为且，，即，3，4 则满足条件的之和为． 故答案为：8 18. 一个两位正整数m，如果m满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称m为“平凡数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在m的后面组成第一个四位数，把放在m的前面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以所得的商记为．例如：时，，，则______；若s，t都是“平凡数”，其中，（，，且a，b，x，y为整数）规定：；若满足被7除余1，且，则的值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算．理解题意是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可；由s是“平凡数”，，可得，同理，；由，可知，即的取值为1，2，3，4；则的取值为9，，，；由满足被7除余1，可得，即，；由，可得，可求，由，，可得，；则；根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵s是“平凡数”，， ∴， 同理，； ∵， ∴，即的取值为1，2，3，4； ∴取值为9，，，； ∵满足被7除余1， ∴，即，； ∵， ∴， 解得，， ∵，， ∴，； ∴； ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在对应的位置上． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得； （2）先将方程整理为一般式，再利用公式法求解可得． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 将方程整理为一般式得， ，，， ， ， 则，． 20. 如图，在正方形中，E为上一点，过点A作于点G，延长至点F，接，若，求证：． 小量做了如下思考：过点B作于点H，再通过证明三角形全等得出结论，请你按小量的思路作图并证明（用基本尺规作图，保留作图痕迹，不下结论）． 证明：在正方形中， ___①___，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴___②___， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，___④___， 又∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴___⑤___， 而． 【答案】补全图形见解析，，，，， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质运用，先补全图形，过点B作于点H，证明，可得，，再证明为等腰直角三角形，可得，最后可证得结果． 【详解】证明：如图，过点B作于点H， 在正方形中， ，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， 又∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而． 故答案为：，，，， 21. 如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． （1）求直线的解析式； （2）若点P为线段上一动点，且，求点P的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，三角形面积，坐标与图形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由待定系数法可得出答案； （2）设点，根据三角形面积关系可得出答案． 【小问1详解】 直线交轴和轴于点和点， 点，点， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 点，点，点， ，， ， 设点， ， ， ， 解得， 点 22. 为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖． （1）经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； （2）今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润． 【答案】（1）该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为 （2）商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据3月份的销售量为256件，5月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该服装售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件，根据获得13350元的利润，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为，则5月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 设该服装售价为元，则每件销售利润为元，月销售量为（件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润． 23. 如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度，沿折线运动，到达点停止运动．设点运动的时间为，的面积为，请解答下列问题； （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质； （3）结合你所画的函数图象直接写出当时的近似值．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2）作图见解析，当时，随的增大而增大． （3）的近似值为或． 【解析】 【分析】（1）分点在上和上，计算即可． （2）画出图像，根据函数的性质，选择一个函数的性质描述即可． （3）作出，根据图像，利用数形相结合确定值即可． 【小问1详解】 如图，当点在上时，过点作于点，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 如图，当点在上时，， ∴ 综上所述，． 【小问2详解】 ， 列表如下： x 0 5 7 0 3 3 7 画图如下： 故当时，随的增大而增大， 故答案为：当时，随的增大而增大． 【小问3详解】 解：如图，作直线， 由图可得当时的近似值为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，一次函数的性质，熟练掌握勾股定理，及相似三角形的判定及性质，一次函数的性质是解题的关键． 24. 重庆长江索道是一条连接渝中区和南岸区的过江索道，它不仅是一座标志性景观，也是游览长江和重庆城市风光的重要交通工具．一天一群游客从酒店A处出发，到达长江索道的入口C处，想乘坐长江索道去D处吃火锅．由于排队的乘客太多，这群游客便分成两组，甲组选择乘坐索道从，（排队时间不计）乙组选择乘坐观光车从（排队等车时间不计），已知点C在点A的北偏东方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向米处，点D在点B的北偏东方向上，且米．（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知长江索道的速度是每分钟米，观光车的速度是每分钟米，请通过计算说明，哪组游客会先到达D处？ 【答案】（1）的长度约为米 （2）乙组游客会先到达D处 【解析】 【分析】（1）如图，作于，作于，由题意知，，，，，则，，，，由勾股定理得，（米），证明四边形是矩形，则，，，，根据，计算求解即可； （2）由勾股定理得，（米），则（米），乘坐索道从的时间为（分钟），乘坐观光车从的时间为（分钟），由，判断作答即可． 【小问1详解】 解：如图，作于，作于， 由题意知，，，，， ∴，， ∴，， 由勾股定理得，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴（米）， ∴的长度约为米； 【小问2详解】 解：由勾股定理得，（米）， ∴（米）， ∴乘坐索道从的时间为（分钟）， 乘坐观光车从的时间为（分钟）， ∵， ∴乙组游客会先到达D处． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理等知识．熟练掌握含的直角三角形，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理是解题的关键． 25. 已知抛物线的图像与轴交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线解析式； （2）如图，点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴交于点，作交轴于点，求的最大值以及此时点的坐标； （3）如图，在（）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线对称轴与轴交于点，在新抛物线上是否存在点，连接，，，使，若存在，请写出所有满足条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）的最大值为，此时； （3）横坐标或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）过作于点，过作于点，延长交轴于点，则四边形是矩形，故，再证明，得，要有最大值，则需最大，设直线的解析式为，然后求出解析式，设，则，则得，从而求解； （）由抛物线沿射线方向平移个单位，即抛物线向右平移个单位，向上平移个单位分析即可或抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，，即抛物线向右平移个单位，向上平移个单位． 【小问1详解】 ∵图象过，， ∴，解得：， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 如图，过作于点，过作于点，延长交轴于点， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由（）得：， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要有最大值，则需最大， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 则当时，有最大值， ∴的最大值为， 此时； 【小问3详解】 如图，由， ∵抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，此时， ∴平移后的解析式为， ∴， 同理直线解析式为：， ∵， ∴， 同理求得直线解析式为， 联立得，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴； 如图， ∵抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，， ∴抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∴平移后的解析式为， ∴， 同理直线解析式为：， ∵， ∴， 同理求得直线解析式为， 联立得，整理得：， 解得：（负值舍去）， ∴； 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移，矩形的判定与性质，一次函数的图象与性质，一元二次方程的根与系数之间的关系，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 26. 在和中，，，． （1）如图1，点D在边上，连接并延长交于点F，若，，求的长； （2）如图2，点D在内部，连接交于点G，连接，若，求证； （3）在第（2）问的条件下，若E点刚好落到边上，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，，可求，由勾股定理得，，则，证明，则，即，可求，根据，计算求解即可； （2）由三角形内角和定理可得，如图2，延长交于，设，由，，可得，设，，，则，，，由，可知，则，如图2，作的延长线于，证明，则，证明，进而可证； （3）如图3，由（2）可知，，由，可得，设，，，则，，，，由勾股定理得，，由，，可知垂直平分，则，，证明，则，即，可求，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 解：∵，，， 由勾股定理得，， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴， 如图2，延长交于，设， ∵，， ∴， 设，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 如图2，作的延长线于， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3， 由（2）可知，， ∵， ∴， 设，，， ∴，，，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $