第二章 直线与圆方程 章末总结与测试-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章 直线与圆的方程 章末总结与测试 考点一 直线的斜率与倾斜角 1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）已知直线.若，则实数的值是（    ） A．4 B． C．4或0 D．4或 2．（2024北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 4．（2024江苏）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 5．（2024·全国·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 考点二 直线的方程 1（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 3 ．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）（多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 4．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 5（2024云南）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 考点三 三种距离 1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 考点四 圆的方程 1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 2（23-24 四川德阳·期末）过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5（21-22高二上·安徽芜湖·期中）（多选）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是（    ） A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝ C．x2＋(y＋)2＝ D．x2＋(y－)2＝ 考点五 直线与圆 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 2．（2024广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 3．（23-24高二上·浙江金华·期中）（多选）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知圆C：，直线l：（），则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆恰有两条公切线 5．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 考点六 圆与圆 1．（2024北京·阶段练习）圆．与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 3（23-24高三上·吉林·阶段练习）两圆与的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 5．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 6．（2024·山东青岛·三模）（多选）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 7．（22-23高二上·吉林·阶段练习）（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 8．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 6．（23-24高二下·云南昭通·期中）已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·江西·阶段练习）过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知直线l与圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 10．（22-23高二上·广东东莞·期中）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 11．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②直线在y轴上的截距为1； ③直线的倾斜角为150°； ④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． 13．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 14．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 四、解答题 15．（24-25高二·上海·随堂练习）已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 16．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 17．（2024高三·全国·专题练习）已知直线过定点，与轴正半轴、轴正半轴分别交于两点，且. (1)求直线的倾斜角的值； (2)若以为圆心的圆与直线相切，求圆的半径. 18．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 19．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线与圆的方程 章末总结与测试 考点一 直线的斜率与倾斜角 1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）已知直线.若，则实数的值是（    ） A．4 B． C．4或0 D．4或 【答案】C 【解析】因为，， 当时，，显然满足题意； 当时，，解得； 综上，或. 故选：C. 2．（2024北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】C 【解析】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 4．（2024江苏）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 5．（2024·全国·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由可得，解得或. 当时，：，：，显然，重合，舍去， 故时，. 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 6．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故选：C. 考点二 直线的方程 1（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 2．（22-23高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 3 ．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）（多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 【答案】BD 【解析】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误； 对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误； 对于D，如图所示： 设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确； 故选：BD 4．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 【答案】AB 【解析】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线， 可知表示直线上所有的点， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 联立方程，解得，所以，B正确； 对于选项C：当时，则有： 若，则； 若，可知直线与直线平行，且， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误． 故选：AB． 5（2024云南）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.   考点三 三种距离 1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点到直线l：的距离为. 故选：A 3．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 考点四 圆的方程 1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 2（23-24 四川德阳·期末）过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆可知，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 故选：D 3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【解析】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可设圆心为，半径为， 所以且，解得， 故圆的方程为，即， 故选：B. 5（21-22高二上·安徽芜湖·期中）（多选）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 【答案】AD 【解析】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确； 对于B，由于，故圆C必定不过，B错误； 对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误； 对于D，圆心始终在直线上，D正确. 故选：AD. 6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是（    ） A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝ C．x2＋(y＋)2＝ D．x2＋(y－)2＝ 【答案】CD 【解析】题可知，圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心为(0，b)，半径为r，则r sin ＝1，r cos ＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋(y±)2＝. 考点五 直线与圆 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 所以. 故选：B. 2．（2024广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 3．（23-24高二上·浙江金华·期中）（多选）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 【答案】ACD 【解析】对于A，由已知可得，圆心，半径， 直线方程可化为， 由，可得， 所以直线恒过定点，A选项正确； 对于B，将代入圆的方程有，解得， 弦长为，B项错误； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确； 当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以， 代入点斜式方程有，即，D正确. 故选：ACD. 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知圆C：，直线l：（），则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆恰有两条公切线 【答案】ACD 【解析】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，A正确； 对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误； 对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为， 两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确. 故选：ACD. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【解析】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 考点六 圆与圆 1．（2024北京·阶段练习）圆．与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 又，所以两圆的位置关系为外切， 故选：C. 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 圆圆心，半径， 而，则两圆相交， 于是得两圆的公共弦所在的直线方程为，圆心到此直线距离， 所以公共弦长为. 故选：D 3（23-24高三上·吉林·阶段练习）两圆与的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为4， 所以圆心距． 又，所以两圆相交，所以公切线只有2条． 故选：B 4．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 5．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【解析】圆：，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含. 故选：D 6．（2024·山东青岛·三模）（多选）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 【答案】BD 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，圆的半径为，A错误； 对于B，，圆和圆相离，B正确； 对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接， 由圆的性质得， ，当且仅当点与重合， 且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误； 对于D，设点，过点的圆的切线长， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD    7．（22-23高二上·吉林·阶段练习）（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 【答案】ACD 【解析】对于A，圆的标准方程为，所以半径，故A正确； 对于B，将点代入圆的标准方程中得， 所以点在圆的外部，故B错误； 对于C，由两圆方程相减得， 则公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以两圆与的圆心距为，小于两圆半径之和且大于两圆半径只差，即，故两圆相交，故D正确. 故选：ACD. 8．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线经过点且斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：D. 2．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 3．（23-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得圆心在直线上，则，解得. 故选：D. 4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题意可知若，则， 又因为即，故，即. 故选：B. 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【解析】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 6．（23-24高二下·云南昭通·期中）已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，根据题意，可得圆的圆心为，半径. 若圆的切线关于直线对称，则， 结合直线的斜率， 可知直线的方程为， 由，解得， 所以， ， 由对称性可知， 故， 故选：B. 7．（24-25高三下·江西·阶段练习）过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以， 因为，易知， 又与曲线相切，由，解得，所以， 所以直线斜率的取值范围为. 故选：B. 8．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知直线l与圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，MN的中点， 则，． 又因为，， 则， 所以． 若以MN为直径的圆过点，则， 且，， 可得， 即，整理得， 所以Q在圆心为、半径为的圆上． 因为，可知点O在圆外， 则， 所以． 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 【答案】AD 【解析】对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； .对于D：经过平面内任意相异两点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为， 也能用方程表示，故D正确. 故选：AD. 10．（22-23高二上·广东东莞·期中）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BD 【解析】因为，即， 所以圆心为，半径，故A错误； 又，所以点在圆外，故B正确，C错误； 因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确. 故选：BD 11．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，若圆关于直线对称，则圆心在直线上， 将代入方程解得，故正确. 对于，直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短， 此时，圆心到直线的距离为 弦长为，故错误. 对于，设，，，， 由圆的方程可知，的最大值为5，所以的最大值为，故正确. 对于，因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 为点到直线的距离，为，由勾股定理得，故D正确.    故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②直线在y轴上的截距为1； ③直线的倾斜角为150°； ④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． 【答案】③ 【解析】直线即直线，当时，， 即直线恒过定点，①错误； 直线，即在轴上的截距为，②错误； 直线的斜率为，则倾斜角为150°，③正确； 因为直线过点，且在，轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为， 当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为， 所以直线的方程为或，④错误. 故答案为：③. 13．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【答案】3或 【解析】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 14．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 【答案】①③④ 【解析】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确； 对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误； 对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为， 则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确； 对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确． 故答案为：①③④    四、解答题 15．（24-25高二·上海·随堂练习）已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）解：因为圆过点，故圆心在上， 设圆心坐标， 则，解得． 故其半径． 故圆的方程为：； （2）设直线l的方程为：， 因为为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离，即， 解得或－8，所以l：或． 16．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【解析】（1）设圆心，， 由于，所以，所以， 即圆心的坐标为，则圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 因为直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 即，此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （3）取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 17．（2024高三·全国·专题练习）已知直线过定点，与轴正半轴、轴正半轴分别交于两点，且. (1)求直线的倾斜角的值； (2)若以为圆心的圆与直线相切，求圆的半径. 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）因为直线过定点，与轴正半轴、轴正半轴分别交于两点， 所以直线的斜率存在且，倾斜角. 可设直线的方程为， 分别令，，可得，， 所以，， ，又 所以＝， 解得或， 因为，所以或. 因为倾斜角， 所以直线的倾斜角或. （2）若，则直线的方程为， 因为以为圆心的圆与直线相切，故半径. 若，则直线的方程为， 即. 因为以为圆心的圆与直线相切， 故半径. 综上，圆的半径为. 18．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最大值， 此时直线的方程为，即. 19．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$