第十六章 二次根式压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

第十六章 二次根式压轴训练 一、选择压轴 1．化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 2．化简二次根式 的结果是（     ） A． B．－ C． D．－ 3．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 6．若，，则a与b的大小关系是（    ） A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定 7．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 8．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 10．已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空压轴 11．若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 12．若，则 ． 13．已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，则此等腰三角形周长为 ． 14．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 15．将1，，，按下列方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是 ．    16．若的积是有理数，则无理数m的值为 ． 17．设，其中n为正整数，则 ． 18．已知，则的值是 ． 三、解答压轴 19．已知，求的值． 20．计算 (1)； (2)（）． 21．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 22．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 23．经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）． (1)若正整数a使得，则a的值为_________． (2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”． ①若为“三元数组”，且，则________； ②若为“三元数组”，且，则________，________； ③“三元数组”共有_________个． 24．（1）已知其中，化简求值； （2）已知，探究m与n的关系． 25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简下列各式： ① ② ③． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式压轴训练 一、选择压轴 1．化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键． 2．化简二次根式 的结果是（     ） A． B．－ C． D．－ 【答案】B 【详解】 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号． 3．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 4．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 5．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由原式得： 所以，因为，, 所以. 故选C 【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化. 6．若，，则a与b的大小关系是（    ） A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 7．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 8．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 9．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 10．已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 取大于2的整数，为整数，取整数，整数的值可以为2或6，故②正确； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选C． 【点睛】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 二、填空压轴 11．若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 【答案】 【详解】解：二次根式中，， ， ， 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】0 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：0． 13．已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，则此等腰三角形周长为 ． 【答案】17 【详解】解：∵a、b满足， ∴且， ∴，， ∵a、b、c为一个等腰三角形的三条边长， ∴当时，等腰三角形的三边长为3，3，7，但不构成三角形，故舍去； 当时，等腰三角形的三边长为3，7，7，满足， ∴此三角形的周长为， 故答案为：17． 14．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 【答案】15 【详解】解：由题意，令，则， ∴， ∵m是正整数，且整数， ∴时，， 时，， ∴正整数m的所有取值的和为15， 故答案为：15． 15．将1，，，按下列方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是 ．    【答案】 【详解】解：根据数的排列方法可知， 第一排：1个数， 第二排：2个数． 第三排：3个数， 第四排：4个数， …， 第排：个数， 规律：从第一排到排共有个数， ， 根据数的排列方法，每四个数一个轮回， ∵表示第15排第7个数，而， 即是第个数， ∵， ∴表示的数为， ∵表示第100排第9个数，而， 即是第个数， ∵， ∴表示的数为， ∴与表示的两数之积为． 故答案为：． 16．若的积是有理数，则无理数m的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 的积是有理数，m是无理数， 是有理数， 令，（是有理数） 解得：， 当即， 时， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质． 17．设，其中n为正整数，则 ． 【答案】 【详解】∵n为正整数， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和． 18．已知，则的值是 ． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键． 三、解答压轴 19．已知，求的值． 【答案】 【详解】解： ∵． ∴ ∴ 20．计算 (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解： ＝ ＝－＋ ． （2） 解： ＝· ． 【点睛】 本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 22．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 23．经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）． (1)若正整数a使得，则a的值为_________． (2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”． ①若为“三元数组”，且，则________； ②若为“三元数组”，且，则________，________； ③“三元数组”共有_________个． 【答案】(1)120 (2)①270；②，；③3 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：270， ②∵， ∴， ∴， 设，（，为正整数而且）， ∴，即， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； 故答案为：120，1080； ③设，，（，，为正整数而且）， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴，， 当时，，此时，， 当，∴，∴， 当时，同②，，，； 当时，，，，； 综上所述：“三元数组”共有3个． 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键． 24．（1）已知其中，化简求值； （2）已知，探究m与n的关系． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） ， ， 原式； （2） ， ，即， ， ，即， ． 【点睛】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是解决问题的关键． 25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简下列各式： ① ② ③． 【答案】(1)， (2)12或28 (3)①，②，③ 【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有，； 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 即a的值为12或28； （3）① ② ③设， 则 ， ∴． 【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$