专题07 三角形（7大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖南专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（湖南专用） 专题07 三角形 考点01 三角形三边关系 1．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 2．（2023•衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm 3．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm 4．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 考点02 三角形内角和定理 1．（2024•长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）． 问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝　 　度． 考点03 全等三角形的判定与性质 1．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　） A．24 B．22 C．20 D．18 2．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝　 　度． 3．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 4．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC． 5．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 6．（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D． （1）求证：△ABC≌△ADC； （2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积． 7．（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE． 8．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． （1）求证：MP＝NP； （2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 考点04 直角三角形斜边上的中线 1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 2．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 3．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　 　． 考点05 勾股定理 1．（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　） A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸 2．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（　　） A．2 B． C． D． 3．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝　 　． 考点06 三角形的中位线 1．（2024•长沙）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE＝12，则AB的长为 　 　． 2．（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝　 　． 考点07 三角形综合题 1．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC． （1）求证：△BAE≌△CAE； （2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M． 求证：①AF•MH＝AM•AE； ②GF＝GD． 2．（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2． （1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：　 　，直线AD与直线CE的位置关系是 　 　； （2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（19°＜α＜60°），连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值． 3．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）． （1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据： 变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0 在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2． 根据探究的结果，解答下列问题： ①当a＝1.5时，h＝　 　；当h＝1时，a＝　 　． ②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来． ③下列说法正确的是 　 　．（填“A”或“B”） A．变量h是以a为自变量的函数 B．变量a是以h为自变量的函数 （2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s． ①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式； ②当s时，求a的值． 4．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． （1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC，分别求出线段BD、CE和DE的长； （2）规律探究： （Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（湖南专用） 专题07 三角形 考点01 三角形三边关系 1．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可． 【解答】解：∵1+3＝4， ∴1，3，4不能组成三角形， 故A选项不符合题意； ∵2+2＜7， ∴2，2，7不能组成三角形， 故B不符合题意； ∵4+5＞7， ∴4，5，7能组成三角形， 故C符合题意； ∵3+3＝6， ∴3，3，6不能组成三角形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 2．（2023•衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、∵1+2＝3， ∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B、∵3+5＝8， ∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； C、∵4+5＜10， ∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； D、∵4+5＞6， ∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 3．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得： A、1+2＝3，不能构成三角形； B、3+4＞5，能构成三角形； C、4+5＜10，不能构成三角形； D、2+6＜9，不能构成三角形． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边． 4．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围． 【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a． 由题意得，． 解得a＜3． 所给选项中分别为：1，2，3，4． ∴只有2符合上面不等式组的解集． ∴a只能取2． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把三棱柱的底面问题转化为三角形三边之间的关系问题． 考点02 三角形内角和定理 1．（2024•长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由三角形内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠B＝50°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠C＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 2．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）． 问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝　22.5　度． 【分析】根据题意可知：∠A＝90°，∠B＝67.5°，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数． 【解答】解：∵1宣矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘， ∴∠A＝90°，∠B＝190°＝67.5°， ∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°， 故答案为：22.5． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 考点03 全等三角形的判定与性质 1．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　） A．24 B．22 C．20 D．18 【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解． 【解答】解：∵CG∥AB， ∴∠B＝∠MCG， ∵M是BC的中点， ∴BM＝CM， 在△BMH和△CMG中， ， ∴△BMH≌△CMG（ASA）， ∴HM＝GM，BH＝CG， ∵AB＝6，AC＝8， ∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH， ∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值， ∵∠A＝90°，MH⊥AB， ∴GH∥AC， ∴四边形ACGH为矩形， ∴GH＝8， ∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22， 故选：B． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键． 2．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝　15　度． 【分析】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数． 方法二：根据角平分线的判定定理求解即可． 【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC， ∴∠OMB＝∠ONB＝90°， 在Rt△OMB和Rt△ONB中， ， ∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL）， ∴∠OBM＝∠OBN， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABO＝15°． 方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC， 又∵OM＝ON， ∴OB平分∠ABC， ∴∠OBM＝∠OBN， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABO＝15°． 故答案为：15． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键． 3．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 【分析】（1）由BC＝DE，∠B＝∠D，AB＝AD，根据“SAS”证明△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠AEC＝∠ACE，由∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝120°，求得∠ACE＝60°． 【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）解：由（1）得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°， ∴∠ACE＝60°， ∴∠ACE的度数是60°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键． 4．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC． 【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论． 【解答】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°， ∴∠DEC＝∠B＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠A＝∠DCE， 在△CED和△ABC中， ， ∴△CED≌△ABC（ASA）． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础． 5．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 【分析】（1）利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD； （2）先利用全等三角形的性质得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB﹣AD即可． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△ACD， ∴AD＝AE＝6， 在Rt△ACD中，AC10， ∵AB＝AC＝10， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 6．（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D． （1）求证：△ABC≌△ADC； （2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC； （2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABCAB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵CB⊥AB，CD⊥AD， ∴∠B＝90°＝∠D， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）； （2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC， ∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC， ∴S△ABCAB•BC4×3＝6， ∴S△ADC＝6， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12， 答：四边形ABCD的面积是12． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 7．（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE． 【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 8．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． （1）求证：MP＝NP； （2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证； （2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长． 【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示： 在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵MQ∥BC， ∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N， ∴△AMQ是等边三角形， ∴AM＝QM， ∵AM＝CN， ∴QM＝CN， 在△QMP和△CNP中， ， ∴△QMP≌△CNP（AAS）， ∴MP＝NP； （2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC， ∴AH＝HQ， ∵△QMP≌△CNP， ∴QP＝CP， ∴PH＝HQ+QPAC， ∵AB＝a，AB＝AC， ∴PHa． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 考点04 直角三角形斜边上的中线 1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长． 【解答】解：由图可得， ∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点， ∴CDAB＝3cm， 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2， ∴AC＝2BD＝4， ∵∠C＝60°， ∴∠A＝30°， ∴BCAC＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 3．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　5　． 【分析】由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解． 【解答】解：连接CM， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB， ∵点M是AB的中点， ∴CMAB＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解AB的长是解题的关键． 考点05 勾股定理 1．（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　） A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸 【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD＝90°，然后再Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长． 【解答】解：依题意得：BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， 在Rt△BCD中，BD＝25寸，CD＝7寸， 由勾股定理得：． ∴BC的长为24寸． 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角． 2．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得tanα的值． 【解答】解：由已知可得， 大正方形的面积为1×4+1＝5， 设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， 则a2+b2＝5，a﹣b＝1， 解得a＝2，b＝1或a＝﹣1，b＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴tanα2， 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长． 3．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝　3　． 【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解． 【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1， 根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x， 则AE＝x﹣1， 在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2， ∴（x﹣1）2+x2＝52， 解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去）， ∴x﹣1＝3， 故答案为：3． 【点评】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，利用方程思想解题是关键． 考点06 三角形的中位线 1．（2024•长沙）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE＝12，则AB的长为 　24　． 【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 2．（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝　8　． 【分析】由中位线定理可得线段DE与BC的比，即可得出△ADE与△ABC的比，又已知△ADE的面积，进而即可得出△ABC的面积． 【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE：BC＝1：2，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 即， ∴S△ABC＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关系，证明△ADE∽△ABC是解题的关键． 考点07 三角形综合题 1．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC． （1）求证：△BAE≌△CAE； （2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M． 求证：①AF•MH＝AM•AE； ②GF＝GD． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，利用SSS公理证明△BAE≌△CAE； （2）①连接AH，证明△AFD∽△MAH，根据相似三角形的性质证明； ②证明△AMH∽△DAC，再根据三角形中位线定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD是BC的垂直平分线， 又∵E在AD上， ∴EB＝EC， 在△BAE和△CAE中， ， ∴△BAE≌△CAE（SSS）； （2）①连接AH， ∵A，H分别是ED和EC的中点， ∴AH为△EDC的中位线， ∴AH∥DC， ∴∠EAH＝∠EDC＝90°， 又∵DF⊥AB， ∴∠AFD＝90°， 又∵HG∥AB， ∴∠FAD＝∠AMH， ∴△AFD∽△MAH， ∴， ∴AF⋅MH＝AM⋅AD， ∵AE＝AD， ∴AF⋅MH＝AM⋅AE； ②∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM， ∴∠AHM＝∠ACB， ∴△AMH∽△DAC， ∵A、H分别为ED和EC中点， ∴AH为△EDC的中位线， ∴， ∴AMAD，即M为AD中点， ∵AF∥GH， ∴G为FD中点， ∴GF＝GD． 【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 2．（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2． （1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：　　，直线AD与直线CE的位置关系是 　垂直　； （2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（19°＜α＜60°），连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值． 【分析】（1）解直角三角形求出EC，AD，可得结论； （2）结论不变，证明△ABD∽△CBE，推出，∠ADB＝∠BEC，可得结论； （3）如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AB于点K．求出BJ，JK，可得结论． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°， ∴ABBC＝3， 在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE＝2， ∴BDBE＝2， ∴EC＝1，AD， ∴，此时AD⊥EC， 故答案为：，垂直； （2）结论成立． 理由：∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝∠CBE， ∵ABBC，BDBE， ∴， ∴△ABD∽△CBE， ∴，∠ADB＝∠BEC， ∵∠ADB+∠CDB＝180°， ∴∠CDB+∠BEC＝180°， ∴∠DBE+∠DCE＝180°， ∵∠DBE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∴AD⊥EC； （3）如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AB于点T． ∵∠AJB＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠ABJ＝60°， ∴∠KBJ＝60°﹣α． ∵AB＝3， ∴BJAB，AJBJ， 当DF＝BE时，四边形BEFD是矩形（由∠DBE＝90°，∠F＝90，取DE中点，证明BDFE四点共圆，再由BE＝DF推得弧等，从而圆周角∠DEF＝∠BDE＝30°，则∠BEF＝90°，由3个直角得矩形）， ∴∠ADB＝90°，AD， 设KT＝m，则ATm，AK＝2m， ∵∠KTB＝∠ADB＝90°， ∴tanα， ∴， ∴BTm， ∴mm＝3， ∴m， ∴AK＝2m， ∴KJ＝AJ﹣AK， ∴tan（60°﹣α）． 解法二：证明∠CAF＝60°﹣α， 通过tan（60°﹣α）求解即可． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 3．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）． （1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据： 变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0 在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2． 根据探究的结果，解答下列问题： ①当a＝1.5时，h＝　1.5　；当h＝1时，a＝　1或3　． ②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来． ③下列说法正确的是 　A　．（填“A”或“B”） A．变量h是以a为自变量的函数 B．变量a是以h为自变量的函数 （2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s． ①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式； ②当s时，求a的值． 【分析】（1①）当0≤a≤2时，DE＝AD，即：h＝a；当h＝1时，在0≤a≤2和2＜a≤4各有一个自变量a与之对应； ②连线分别是两条线段； ③根据函数的定义判断； （2）①阴影部分面积分别是等腰直角三角形，边长分别是a和4﹣a，进而求得结果； ②分别代入①中的两个函数关系式，求得结果． 【解答】解：（1）①从图1中，当a＜2时，△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝1.5， 从图2，当h＝1时，横坐标a对应1或3， 故答案为：1.5；1或3； ②如图， ③当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a的函数； 当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数， 故答案为A； （2）①当0≤a≤2时，DE＝AD＝a， S△ADEAD•DE； 当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a， ∴S， ∴S； ②当S时，当0≤a≤2时， ， ∴a1＝1，a2＝﹣1（舍去）， 当2＜≤4时， ， ∴a3＝3，a4＝5（舍去）， 综上所述：当S时，a＝1或3． 【点评】本题考查了函数定义，函数图象，等腰三角形性质，分类思想等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关函数的基础知识． 4．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． （1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC，分别求出线段BD、CE和DE的长； （2）规律探究： （Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC． 【分析】（1）易证△ABD和△ACE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出BD，DE和CE的长即可． （2）（Ⅰ）易证∠ABD＝∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE，进而解答即可； （Ⅱ）易证∠ABD＝∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE，进而解答即可； （3）根据题意可证明△ABD∽△FBA，由此可得出BF的长，根据S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF，可得出结论． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵l∥BC， ∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°， ∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∵AB＝AC， ∴AD＝BD＝AE＝CE＝1， ∴DE＝2； （2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下： 在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； ∴CE＝AD，BD＝AE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE． （Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下： 在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； ∴CE＝AD，BD＝AE， ∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE． （3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE ∵∠BAC＝∠ADB＝90°， ∴△ABD∽△FBA， ∴AB：FB＝BD：AB， ∵CE＝3，DE＝1， ∴AE＝BD＝4， ∴AB＝5． ∴BF． ∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF523． 【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$