压轴题05 直线与圆锥曲线的位置关系（6种类型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第一册）

专题05 直线与圆锥曲线的位置关系 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、设点、设直线方程的应用 3 类型二、中点弦问题----点差法 4 类型三、定点、定值问题 6 类型四、有关三角形面积问题 8 类型五、最值问题 10 类型六、圆锥曲线中有关证明结论问题 12 压轴能力测评（8题） 15 1.直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2.直线与双曲线的位置关系 代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 3.直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 4.直线与圆锥曲线的相交的弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 类型一、设点坐标、设直线方程的应用 【例题讲解】 例1.（多选）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为16 【变式训练】 1.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 2.（多选）已知双曲线与双曲线，其中，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线的焦距之比为 B．双曲线的离心率相同，渐近线也相同 C．过上的任一点引的切线交于点，则点为线段的中点 D．斜率为的直线与，的右支由上到下依次交于点，则 3.（多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（    ） A．C的离心率为3 B．当时， C． D．为定值 4.（多选）过抛物线C：上的一点作两条直线，，分别交抛物线C于A，B两点，F为焦点（    ） A．抛物线的准线方程为 B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条 C．若，则 D．若，则 类型二、中点弦问题---点差法 【例题讲解】 例1.（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线交于两点（点在第一象限），且，若，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．若点是双曲线上异于的任意一点，则 【变式训练】 1.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（    ） A．2 B． C．3 D． 3.已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 类型三、定点、定值问题 【例题讲解】 例1.动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线.若为上的点，且. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知，，直线交曲线于两点，点在轴上方. ①求证：为定值； ②若，直线是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 【变式训练】 1.已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为． (1)求点的坐标； (2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 2.已知圆，动圆P与圆M内切，且经过定点．设圆心P的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若，过点的直线l与曲线Γ交于M，N两点，连接分别交y轴于P、Q．试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 3.已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 4.已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为. (1)求双曲线的方程； (2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点. ①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ②证明：直线恒过定点. 类型四、有关三角形面问题 【例题讲解】 例1.已知椭圆C：的短轴长为4，过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，（在的左侧）；当直线的倾斜角为时，线段的中点坐标为. (1)求的方程； (2)若圆：，判断以线段为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线交于点M，的面积为，求直线的方程. 【变式训练】 1.已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率. (1)求椭圆C的方程和短轴长； (2)点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且到，的距离之和为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为关于原点的对称点，斜率为的直线与线段（不含端点）相交于点，与椭圆相交于点，若为常数，求与面积的比值. 3.已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 4.已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围． 类型五、最值问题 【例题讲解】 例1.已知椭圆的离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值． 【变式训练】 1.已知椭圆的离心率为；直线与只有一个交点. (1)求的方程； (2)的左､右焦点分别为上的点（两点在轴上方）满足. ①试判断（为原点）是否成立，并说明理由； ②求四边形面积的最大值. 2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率． 3.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 4.已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 类型六、圆锥曲线中有关证明结论问题 【例题讲解】 例1.已知椭圆的上、下顶点分别为，，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点，满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 【变式训练】 1.如图，已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率为，的面积为1，若过点的直线与相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：，，三点的横坐标，，满足关系式． 2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：. 3.已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 4.如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且． (1)若为的焦点，求证：； (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程． 1.已知椭圆C：经过点，，分别为C的左、右焦点，P是C上的动点，的最小值为0． (1)求C的标准方程． (2)若过原点O的两条不同直线，与C分别交于点，和，，且点P到，的距离均为，判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 2.已知椭圆的上、下顶点为、，左焦点为，定点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，直线与轴交于点（在，之间），直线与轴交于点，若，求的值． 3.已知椭圆，右顶点为，上､下顶点分别为是的中点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线交椭圆于点，点，直线分别交直线于点，求证：线段的中点为定点. 4.已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点（、与、不重合）． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点在以线段为直径的圆上，求的值； (3)若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围． 5.已知椭圆：，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，. (1)求椭圆的方程. (2)若，求出的值. (3)试证明：直线过定点. 6.己知圆，动圆与圆相内切，且经过定点 (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由． 7.如图，轴，垂足为D，点P在线段上，且． (1)点M在圆上运动时，求点P的轨迹方程； (2)记（1）中所求点P的轨迹为，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值． 8.已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线与圆锥曲线的位置关系 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、设点、设直线方程的应用 8 类型二、中点弦问题----点差法 12 类型三、定点、定值问题 19 类型四、有关三角形面积问题 26 类型五、最值问题 33 类型六、圆锥曲线中有关证明结论问题 40 压轴能力测评（8题） 52 1.直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2.直线与双曲线的位置关系 代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 3.直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 4.直线与圆锥曲线的相交的弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 类型一、设点坐标、设直线方程的应用 【例题讲解】 例1.（多选）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为16 【答案】BCD 【详解】显然当直线斜率不存在时不合题意，则设直线，与联立得． 设，，则，，，． ， 因此，A选项错误． ，B选项正确． ,，切线，即， 同理，联立解得，故． 不妨设，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q， 则． 当直线PN与抛物线相切时，最小． 与联立，消去y得：， 令，解得，则， 故，C选项正确． ，故， 则，D选项正确． 故选:BCD． 【变式训练】 1.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又， 所以，解得，所以，则椭圆方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以， 所以，所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，则（或）， 所以，则，所以， 又，，所以，， 所以. 故选：D 2.（多选）已知双曲线与双曲线，其中，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线的焦距之比为 B．双曲线的离心率相同，渐近线也相同 C．过上的任一点引的切线交于点，则点为线段的中点 D．斜率为的直线与，的右支由上到下依次交于点，则 【答案】BCD 【详解】A：的焦距为，的焦距为， 所以两双曲线的焦距之比为，故A错误； B：的渐近线方程为，离心率为， 的渐近线方程为，离心率为， 所以两双曲线的渐近线方程相等，离心率也相等，故B正确； C：设切线方程为，联立，， 得，又直线与相切，所以； 联立，，得， 所以，所以，即为的中点，故C正确； D：由选项C的分析知，， 所以，得， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 3.（多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（    ） A．C的离心率为3 B．当时， C． D．为定值 【答案】BCD 【详解】由题意得，，故A错误； 联立，得，解得或，则，故B正确； 由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上， 设，的斜率分别为，，，故直线的方程为， 联立，得， 设，则，，故. 当轴时，，是等腰直角三角形，且易知； 当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故， 因为，所以，所以，，故C正确； 因为，故，故，故D正确. 故选:BCD. 4.（多选）过抛物线C：上的一点作两条直线，，分别交抛物线C于A，B两点，F为焦点（    ） A．抛物线的准线方程为 B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】由题意可得，所以，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A正确； 当过点的直线斜率等于零时，直线方程为， 直线与抛物线的交点坐标为，只有一个交点， 当过点的直线斜率不等于零时，设直线方程为， 联立，消得， 当过点与抛物线有且只有一个公共点时，，解得， 综上所述，过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条，故B错误； 设，， 由，得， 所以，即， 所以，故C错误； 对于D选项，由题意，直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，则的方程为， 联立，消得， 则，所以， 则，所以， 同理可得， 则，故D正确.    故选：AD. 类型二、中点弦问题---点差法 【例题讲解】 例1.（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线交于两点（点在第一象限），且，若，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．若点是双曲线上异于的任意一点，则 【答案】AD 【详解】如图，连接， 由双曲线定义可知，， 由题意得关于原点对称，故且，即四边形为平行四边形， 因为，又 所以，， 由，所以， 由，得， 即有， 所以，所以离心率，故A正确； 又，所以， 所以渐近线方程为，，故B、C错误， 设点，因为是直线与双曲线的交点， 根据对称性可得，所以. 又点在双曲线上，代入可得， 两式相减可得，所以，故D正确. 故选：AD. 【变式训练】 1.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线，所以， 由题可知的垂直平分线的方程为， 将与联立可得，即的中点坐标为． 设，，则，且，， 两式作差可得， 即，所以， 则双曲线的离心率为． 故选：D 2.已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】 由题可知焦点，准线，设线段AB的中点为，即为OP中点， 则，．分别过A、B、M向准线作垂线，垂足分别为，，， 如图所示． 则，当直线AB过焦点时取等号，此时． 设、，直线AB的斜率为k， 由，两式相减，得，所以， 即，得，所以，又，所以． 故选：B． 3.已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于直线对称，， 又中点纵坐标为，中点横坐标为； 设，，则， 两式作差得：，即， ； 又，，，解得：， 椭圆的离心率. 故选：A. 类型三、定点、定值问题 【例题讲解】 例1.动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线.若为上的点，且. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知，，直线交曲线于两点，点在轴上方. ①求证：为定值； ②若，直线是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②定点 【详解】（1）设，动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为， 则，化简得， 所以M的轨迹曲线的轨迹方程. （2）①为上的点，则，， 因为，，则（定值），所以为定值. ②直线恒过定点，理由如下： 由①知，，因为，所以， 设直线：，，， 将直线与曲线联立方程得， 则，，， 因为，，，， 所以， 即， 所以， 由题知，，所以. 即直线恒过定点. 【变式训练】 1.已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为． (1)求点的坐标； (2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）， 解得，所以椭圆方程为， 又，所以右焦点， 当垂直轴时，不妨取，根据对称性可知点在x轴上，且直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立， 消去得：， 则， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 令，解得，故点的坐标为. （2）如图， 由题意可得直线的方程为，即. 设，由题可知， 所以，故直线与垂直， 联立，消去得：， 则， 所以 ， 同理，， 所以， 故为定值． 2.已知圆，动圆P与圆M内切，且经过定点．设圆心P的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若，过点的直线l与曲线Γ交于M，N两点，连接分别交y轴于P、Q．试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为1 【详解】（1）设圆的半径为，圆与圆内切于点， 因为点在圆的内部，所以点在圆内部， 所以， 那么点的轨迹为焦点在轴的椭圆，设曲线， 因为可得：，所以，，所以， 所以， 所以； （2）显然直线的斜率存在，设，即， ， 联立与，得， ，得， 所以，， 显然直线的斜率存在且，那么， 令得到点的纵坐标，同理：点的纵坐标， 那么， ， ， ， ， , 所以，即的中点为， 那么.    3.已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 且点在上， 有解得故双曲线的方程为. （2）由题意可知不与渐近线平行， 当与坐标轴平行时，显然直线与轴重合. 当不与坐标轴平行时，左焦点为， 不妨设直线的方程为，联立 消去并整理得，， 设，则 所以，所以. 又直线互相垂直，用替换，则可得. 当，即时，直线的方程为，直线过； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，所以直线过. 综上，直线恒过点.    4.已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为. (1)求双曲线的方程； (2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点. ①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ②证明：直线恒过定点. 【答案】(1)(2)①存在，；②证明见解析 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为，设， 由题意，两式相减得：， 整理得：，即，又，所以，即双曲线， 经检验满足题意. （2）①因为的斜率存在且，设，， 联立，消去整理得：，由题意得，解得 又，设直线，联立，整理得，由韦达定理得， 又，， 于是， 故，同理可得， ，，为定值，所以的值。②由①知（*）， 由对称性知过的定点在轴上，在（*）令，得， 解得直线恒过定点 类型五、有关三角形面问题 【例题讲解】 例1.已知椭圆C：的短轴长为4，过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，（在的左侧）；当直线的倾斜角为时，线段的中点坐标为. (1)求的方程； (2)若圆：，判断以线段为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线交于点M，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)圆与圆内切，理由见解析 (3)或. 【详解】（1）易知，则. 设，，则， 相减得，， 故，解得，则， 故椭圆C的方程为. （2）设，圆的半径为,椭圆C的左焦点为， 则，， 设为线段的中点，则， 故圆与圆内切. （3）当直线斜率为0时，不符合题意，舍去. 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得， 易知，则，. 易知，， 所以直线：①，直线：②， 联立①②， 所以， 因为， 所以， 解得， 故直线的方程为或. 【变式训练】 1.已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率. (1)求椭圆C的方程和短轴长； (2)点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设，上下顶点分别为. 由以线段为直径的圆过C的上下顶点，得，得，即. 因为，即，所以， 由点在C上，得，，解得， 所以，则， 短轴长. （2）根据题意，画出图象如图所示： 因为，所以， 又，则，即，. 设， 由得，即， 因为点在椭圆上， 所以，即， 两式相减得，即， ，又点在轴的上方，所以. 又得，即. 于是. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且到，的距离之和为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为关于原点的对称点，斜率为的直线与线段（不含端点）相交于点，与椭圆相交于点，若为常数，求与面积的比值. 【解析】（1）由椭圆的定义得，所以. 又为椭圆上一点，所以， 将代入，得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 因为为关于原点的对称点，所以，直线的方程为. 设，则直线的方程为， 联立得，可得， 由点在椭圆内，易知， 不妨令，则，， 所以. 又， 所以为常数， 则需满足为常数，（此式为与无关的常数，所以分子与分母对应成比例） 即，解得. 将代入，可得，得， 所以为的中点， 所以. 3.已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 【解析】（1）圆过， ， 又圆过， ， 又 ， 椭圆的方程为. （2）设，则， 由题知且， 则， ， 由，解得， ， 又， ， 又， ， 直线的斜率或. 4.已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的左焦点为，连接， 由对称性知四边形是平行四边形，所以，． 由椭圆定义知，则，． 设椭圆的半焦距为，由椭圆的几何性质知，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）椭圆的标准方程为．则， 所以直线， 如图所示，    设， 联立，消去并整理得，．．． 所以，所以，．． 所以，． 同理可得：，所以， 所以， 由，得， 整理得，得，． 又，所以，所以或． 所以的取值范围为． 类型五、最值问题 【例题讲解】 例1.已知椭圆的离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 依题意有，，， ，，， 所求椭圆方程为； （2）设，， ①当轴时，； ②当与轴不垂直时， 设直线的方程为， 坐标原点到直线的距离为， 则，即． 把代入椭圆方程，整理得， ， ， 结合，消去，可化为，， 当且仅当，即，，时，等号成立， 又当不存在时，， 综上所述，的最大值为2， 所以的面积的最大值为．    【变式训练】 1.已知椭圆的离心率为；直线与只有一个交点. (1)求的方程； (2)的左､右焦点分别为上的点（两点在轴上方）满足. ①试判断（为原点）是否成立，并说明理由； ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)①不成立，理由见解析；②3 【详解】（1）因为，所以，设椭圆方程为， 由，消去得， 又因为直线与椭圆只有一个交点， 所以，解得， 所以椭圆方程为； （2）①直线不能平行于轴，所以可设直线的方程为， 设，由，得， ，则， 同理：设直线的方程为， 设，由，得， ，则； 若，即， 即：，方程无解，所以不成立； ②设直线和椭圆另一交点为，由椭圆的对称性知， 又，， 设，则， 且在上是减函数， 当时，取最大值3，此时，即. 2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题椭圆的左焦点为， 即①； 当时，， 又过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以②， 由①②得：， 所以椭圆的标准方程为：. （2）当斜率存在时，设直线方程为,与联立，消去并整理得： 已知直线与椭圆相切，所以， 化简得：； 又O到直线的距离为， 设P到直线的距离为，则， 则的面积， 令, 得, 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值, 当斜率不存在时，可得， 此时的面积， 因为，所以， 综上：的面积最大值为，此时 故的面积最大时直线的斜率为. 3.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【解析】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图， 由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 4.已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【解析】（1）因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； （2）设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； （3）设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 类型六、圆锥曲线中有关证明结论问题 【例题讲解】 例1.已知椭圆的上、下顶点分别为，，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点，满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 【解析】（1）由题意知，，. 由，得， 即， 所以． 又，所以， 故椭圆C的方程为． （2） 证明：因为点，， 所以． 根据题意设，， 则，， 所以，即． 根据题意可知：直线MN的斜率一定存在. 设直线MN的方程为，，. 联立得． 则. 因为直线AM过点， 所以，即，解得， 同理可得． 代入（*）式，得， 所以． 因为M，N异于点A，直线MN的方程为， 所以， 则，即， 则直线MN的方程为，恒过点， 因此P，M，N三点共线． 【变式训练】 1.如图，已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率为，的面积为1，若过点的直线与相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：，，三点的横坐标，，满足关系式． 【解析】（1）由题意：①，②， 由①②两式，解得，， 所以椭圆的方程为：． （2）设直线，直线过点，． 联立方程组，可得， ， 设，，则：，， ，， ，令可得：， 下面证明：．即证：， 即证：， 整理得即证：， 即证：， 整理可得即证：，即证：， ，上式成立，原式得证． 2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：. 【解析】（1）由椭圆的离心率为，且过点F且与x轴垂直的直线截得的线段长为， 可得 ，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设直线所在的直线方程为， 联立方程组，整理得， 所以，解得， 设，则， 所以，则，即， 所以的方程为， 联立，解得或，所以， 则， 又由 ， 又因为的中点， 可得， 所以. 3.已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，且 （2）由 (1) 得， 设直线 的方程为，则， 由 得， 直线 的方程为，令 ，则， ， 所以三点共线. 4.如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且． (1)若为的焦点，求证：； (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）法一： 由题可知，， 设，， 则，． 因为，故， 解之得，． ， ． ． 法二： 由题可知，， 设点，因为，故点在圆上， 又因为点也在上，联立与得 ． 解之得． 因为，故． 故，． ． ． （2）因为，， 所以，故． 所以点必在中垂线上． 方法一： 设，直线的方程为，，． 将代入 得： ，，． 因为点在中垂线上，故． 所以，即，左右两边同时除以得，解得：或，又因为 所以，． 因为，所以即． 所以，，，． 所以直线的方程为 即． 方法二： 设，直线的方程为，，， 将代入 得： ，，． 因为点必在中垂线上，且, 所以点为的中点，故，． 因为，所以即． 所以，，． 所以直线的方程为． 即． 1.已知椭圆C：经过点，，分别为C的左、右焦点，P是C上的动点，的最小值为0． (1)求C的标准方程． (2)若过原点O的两条不同直线，与C分别交于点，和，，且点P到，的距离均为，判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【解析】（1）由题知，， 设，，则，故， 所以 ，当且仅当时取等号． 所以，即，所以． 因为椭圆C经过点，所以， 所以，，所以C的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，：，， 由点P到直线的距离为，可得，分别与联立， 均可求得， 由点P到直线的距离为，可得直线的方程为，， 此时． 当直线的斜率不存在时，同理可得． 设直线的方程为，因为点P到直线的距离为， 所以，平方、整理得． 设直线的方程为，同理可得． 所以，是关于k的方程的两个不相等的实数根， 所以． 设，，则由，得，同理可得． 所以 ． 综上，，为定值． 2.已知椭圆的上、下顶点为、，左焦点为，定点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，直线与轴交于点（在，之间），直线与轴交于点，若，求的值． 【解析】（1）由题意，，则为、的中点， 所以，， ，，即， ， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，，整理得， ， 所以， 直线与相交于点，令， 所以直线的斜率为， 直线的方程为， 令，， 由， 又， ， ，即， 所以， 所以， 所以，解得或， 所以的值为或. 3.已知椭圆，右顶点为，上､下顶点分别为是的中点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线交椭圆于点，点，直线分别交直线于点，求证：线段的中点为定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可得，， 的中点为， 故椭圆的方程为； （2）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并化简得， 由，得. 设，则， 依题意可知直线的斜率存在， 直线的方程为， 令，得 ， 同理可求得， ， 线段的中点为定点. 4.已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点（、与、不重合）． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点在以线段为直径的圆上，求的值； (3)若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）由椭圆方程可得， 所以椭圆的焦距，离心率； （2） 不妨设直线的方程为，， 易知， 联立，消去并整理得， ， 由韦达定理可得， 若点在以线段为直径的圆上， 此时，即， 整理可得，即， 代入韦达定理， 整理得，解得， 因为当时，直线过椭圆的右顶点，不符合题意，舍去， 所以； （3） 设， 由（2）得，， 因为，， 所以， 解得， 则，① 易知， 解得， 则，② 联立①②，可得， 因为，所以， 所以的取值范围. 5.已知椭圆：，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，. (1)求椭圆的方程. (2)若，求出的值. (3)试证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，，即， 所以，则椭圆； （2）设，由于，则； （3）显然MN斜率不为0，设：，，， 联立方程，则有， ， 则有，， 由于，则， 因为， 故， 即，解得或， 当时，，故舍去，即，适合题意， 故: ，则直线过定点. 6.己知圆，动圆与圆相内切，且经过定点 (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点，使得（定值） 【详解】（1）设圆的半径为，圆与动圆内切于点．点在圆内部，点在圆内部． ， 点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为． （2）（方法一）联立与椭圆方程，消得， 设，则， 的中垂线方程为：，即① 的中垂线方程为：② 由①②两式可得， 外接圆圆心的横坐标， 其中 ， 又的中垂线方程为，即， 圆心的纵坐标为， 圆心在双曲线上， 存在定点，使得（定值）， （方法二）设外接圆方程为， 联立与圆的方程，消得， 则 ，解得， 设圆心坐标为， 则， 圆心在双曲线上， 存在定点，使得（定值）， 7.如图，轴，垂足为D，点P在线段上，且． (1)点M在圆上运动时，求点P的轨迹方程； (2)记（1）中所求点P的轨迹为，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，根据题意有， 又因为M在圆上运动，所以， 即，所以点P的轨迹方程为：. （2） 根据已知条件可知，若直线的斜率不存在，不合题意， 若直线斜率为，直线与直线平行无交点也不合题意， 所以直线的斜率存在设为，直线的方程为， 联立，则有，且， 设，，则， ，，所以 ， 对，令，得，所以， 所以，所以为定值. 8.已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由. 【答案】(1) (2)为定值0. 【详解】（1）由题焦距，解得， 由两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形可知，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为.    （2）是定值. 已知，设， 直线的方程为，即， 代入并整理，得， ， . ， 三点共线，且与同向， ， 同理可得 ，化简得， ， 所以为定值0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$