第09讲 指数与指数函数（8类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第09讲 指数与指数函数 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第7题，4分 指数式与对数式互化 2024年北京卷，第9题，4分 指数函数与对数函数结合基本不等式 2023年北京卷，第6题，4分 指数型函数与对数形函数的单调性 2023年北京卷，第11题，5分 指数运算与对数运算 2022年北京卷，第4题，4分 指数函数的判定与求值 2020年北京卷，第6题，4分 指数函数的图象与性质 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】指数与指数函数5年6考，属于高频考点，主要集中在选择与填空题，考查难度中等偏下． 【备考策略】 1.理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算； 2.理解指数函数的概念； 3.理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图象和性质． 【命题预测】指数与指数函数一直是高考数学的重点，2025年高考复习中多关注利用指数函数的性质比较大小、指数型函数的图象识别以及应用、指数型函数的单调性应用等热门考点，考查题型仍以选择和填空题为主． 知识讲解 知识点1 根式 1、根式的概念 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）的次方根的表示 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为 当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 2、根式的性质（，且）：； 知识点2 指数幂 1、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 3、有理数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 4、无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 知识点3 指数函数及其性质 1、指数函数的概念 一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 考点一、指数幂的化简求值 【典例1】（22-23高三上·北京通州·期中）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·内蒙古通辽·月考）求值或化简 (1)计算：； (2)化简（用分数指数幂表示）： 1．（23-24高三上·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 2．（2024高三下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3). 考点二、指数函数的定义及应用 【典例1】（23-24高三上·广东茂名·月考）若函数的图象经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 【典例2】（23-24高三上·内蒙古·月考）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 1．（23-24高三上·内蒙古·月考）已知指数函数的图像经过点，则 ． 2．（22-23高三上·江苏常州·月考）若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 考点三、指数函数的图象及应用 【典例1】（23-24高三上·湖南长沙·月考）函数（，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·江苏常州·月考）函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（22-23高三下·山东青岛·二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·重庆·开学考试）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 考点四、指数函数的单调性 【典例1】（23-24高三上·江苏徐州·月考）已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高三上·北京房山·期末）已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数 D．图象关于轴对称，且在上是减函数 1．（23-24高三上·福建漳州·月考）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·安徽·月考）已知函数，在区间上单调递减，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五、比较指数式的大小 【典例1】（23-24高三上·北京·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·江西上饶·月考）下列大小关系正确的是（    ） ①    ②    ③     ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 1．（23-24高三下·重庆·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江苏苏州·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 考点六、解指数方程或不等式 【典例1】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为 ． 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·重庆·月考）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 . 考点七、指数型函数的最值或值域问题 【典例1】（23-24高三上·北京·月考）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为 ． 1．（23-24高三上·山西·月考）已知指数函数在其定义域内单调递增． (1)求函数的解析式； (2)设函数，当时．求函数的值域． 2．（23-24高三上·云南昆明·月考）已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)已知，，求的值域. 考点八、指数函数的综合应用 【典例1】（23-24高三下·北京·月考）已知函数（为实常数）． (1)若函数为奇函数，求的值； (2)在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【典例2】（23-24高三上·江苏连云港·月考）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 1．已知函数 (1)当时，证明：为奇函数； (2)当时，函数在上的值域为求a的取值范围. 2．（23-24高三上·河南郑州·期中）已知定义在上的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1．（23-24高三下·北京顺义·月考）世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅.某地发生了地震，速报震级为里氏级，修订后的震级为里氏级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京顺义·月考）Peukert于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 4．（23-24高三下·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·上海·期中）不等式的解集为 ． 6．（23-24高三上·安徽合肥·期中）计算 . 7．（223-24高三上·天津·开学考试）函数的最小值为 . 1．（23-24高三上·北京东城·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高三下·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·甘肃定西·月考）若函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 5．若函数在上的值域是，则实数的取值范围是 ． 6．（23-24高三上·江苏镇江·期末）若对任意和任意，都有成立，则实数的取值范围 . 7．（23-24高三上·四川内江·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 8．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 指数与指数函数 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第7题，4分 指数式与对数式互化 2024年北京卷，第9题，4分 指数函数与对数函数结合基本不等式 2023年北京卷，第6题，4分 指数型函数与对数形函数的单调性 2023年北京卷，第11题，5分 指数运算与对数运算 2022年北京卷，第4题，4分 指数函数的判定与求值 2020年北京卷，第6题，4分 指数函数的图象与性质 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】指数与指数函数5年6考，属于高频考点，主要集中在选择与填空题，考查难度中等偏下． 【备考策略】 1.理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算； 2.理解指数函数的概念； 3.理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图象和性质． 【命题预测】指数与指数函数一直是高考数学的重点，2025年高考复习中多关注利用指数函数的性质比较大小、指数型函数的图象识别以及应用、指数型函数的单调性应用等热门考点，考查题型仍以选择和填空题为主． 知识讲解 知识点1 根式 1、根式的概念 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）的次方根的表示 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为 当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 2、根式的性质（，且）：； 知识点2 指数幂 1、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 3、有理数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 4、无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 知识点3 指数函数及其性质 1、指数函数的概念 一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 考点一、指数幂的化简求值 【典例1】（22-23高三上·北京通州·期中）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知函数，其中 所以 则有.故选：A. 【典例2】（23-24高三上·内蒙古通辽·月考）求值或化简 (1)计算：； (2)化简（用分数指数幂表示）： 【答案】(1)99.9；(2) 【解析】（1） （2）. 1．（23-24高三上·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1；(2) 【解析】（1）原式 （2）由根式与分数指数幂互化运算可得， 2．（2024高三下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1；(2)0；(3) 【解析】（1）原式. （2）原式 （3）（3）原式 考点二、指数函数的定义及应用 【典例1】（23-24高三上·广东茂名·月考）若函数的图象经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【解析】因为函数的图象经过， 所以，解得 ， 所以，则，故选：B 【典例2】（23-24高三上·内蒙古·月考）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是指数函数， 所以.故选：C 1．（23-24高三上·内蒙古·月考）已知指数函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【解析】设（，且），由于其图像经过点 ， 所以，解得或（舍去）， 因此，故 . 2．（22-23高三上·江苏常州·月考）若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】命题p真，则，解得或2， 又，∴；q为真，则或2， ∴q是p的必要不充分条件，故选：C． 考点三、指数函数的图象及应用 【典例1】（23-24高三上·湖南长沙·月考）函数（，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.故选：C. 【典例2】（23-24高三上·江苏常州·月考）函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】由函数， 可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1； 在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零， 结合所给的选项，只有B项满足条件，故选：B． 1．（22-23高三下·山东青岛·二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，的定义域均为，且,， 所以为奇函数，为偶函数. 由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB. 当时，，排除C.故选:D． 2．（23-24高三上·重庆·开学考试）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线且中，由，得， 因此该曲线过定点，即，于是， 又，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16，故选：C 考点四、指数函数的单调性 【典例1】（23-24高三上·江苏徐州·月考）已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令在单调递增，单调递减， 所以函数在单调递减，单调递增，故选:C. 【典例2】（22-23高三上·北京房山·期末）已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数 D．图象关于轴对称，且在上是减函数 【答案】B 【解析】由且定义域为R， 所以为奇函数，即关于原点对称， 又在R上递减，故在上是减函数.故选：B 1．（23-24高三上·福建漳州·月考）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上， 因为函数是上的增函数， 要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，即， 所以实数的取值范围是．故选：C． 2．（23-24高三上·安徽·月考）已知函数，在区间上单调递减，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，函数，令， 由正实数知，函数单调递减， 因为在区间上单调递减， 则单调递增且， 所以，解得：， 故的取值范围是故选：C. 考点五、比较指数式的大小 【典例1】（23-24高三上·北京·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且在上单调递增， 又，所以，故选：D. 【典例2】（23-24高三上·江西上饶·月考）下列大小关系正确的是（    ） ①    ②    ③     ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【解析】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误； 对②，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递增， 所以，所以，②正确； 对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确； 对④，因为幂函数在单调递减， 所以，即，④错误；故选:C. 1．（23-24高三下·重庆·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为，故即，故. 因为， 所以，所以.故选：C. 2．（23-24高三下·江苏苏州·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵指数函数在上单调递增，且，∴，即. ∵幂函数在上单调递增，且，∴，即， ∴，故选：A. 考点六、解指数方程或不等式 【典例1】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为 ． 【答案】 【解析】由可得，即， 因为，可得，故. 所以，方程关于的方程的解为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 令，且均为增函数，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又当时， 当时，， 所以由图像可知：的解集为：，故选：B. 1．（23-24高三上·重庆·月考）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，定义域为， 与在上单调递减，在上单调递减， ，为上的奇函数， 等价于， ，解得， 不等式的解集为.故选：A. 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设，则函数定义域为， 因为， 故函数为奇函数， 因为函数、、、均为上的增函数， 故函数为上的增函数， 因为， 由可得， 可得， 所以，，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 考点七、指数型函数的最值或值域问题 【典例1】（23-24高三上·北京·月考）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得.故选：A 【典例2】已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】，令，由于，根据指数函数性质，， 于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值. 根据二次函数性质可知，当时递减，上递增， 而端点和相比距离对称轴更远， 故，于是. 故答案为： 1．（23-24高三上·山西·月考）已知指数函数在其定义域内单调递增． (1)求函数的解析式； (2)设函数，当时．求函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）是指数函数，，解得或， 又因为在其定义域内单调递增，所以，； （2） ，， 令，，， ，的值域为． 2．（23-24高三上·云南昆明·月考）已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)已知，，求的值域. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得，解得. （2）由（1）可得，因为，令，， 令，则，， 因此，函数的值域为. 考点八、指数函数的综合应用 【典例1】（23-24高三下·北京·月考）已知函数（为实常数）． (1)若函数为奇函数，求的值； (2)在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)；(2)1 【解析】（1）由题意可知：的定义域为， 若函数为奇函数，则，解得， 此时， 则， 即，可知为奇函数，则符合题意， 综上所述：. （2）由（1）可知， 由不等式，得， 原题意等价于， 因为，令， 则 又因为函数在单调递增，则， 可得，所以实数的最大值为1. 【典例2】（23-24高三上·江苏连云港·月考）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为170，最小值为；(2) 【解析】（1）令， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 又，， 故的最大值为170，最小值为； （2），即， 令，故在上有解， ，只需， 其中在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 故，解得， 故实数的取值范围为. 1．已知函数 (1)当时，证明：为奇函数； (2)当时，函数在上的值域为求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，所以， 由，得函数的定义域为， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）当时，， 因为在上递增，所以在上递减， 因为，所以在上递增， 因为函数在上的值域为 所以，， 所以是方程的两个根， 令，则， 即有两个不同的正根， 所以，即，解得 即a的取值范围为. 2．（23-24高三上·河南郑州·期中）已知定义在上的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即， 经检验满足题意，所以. （2）由（1）知，易知在上单调递减， 由，可得， 因为为定义在上的奇函数，所以原不等式等价于， 又在上单调递减，所以， 所以在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 1．（23-24高三下·北京顺义·月考）世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅.某地发生了地震，速报震级为里氏级，修订后的震级为里氏级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，即，， 当时，地震的最大振幅为， 当时，地震的最大振幅为， 所以修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是.故选：C . 2．（23-24高三上·北京顺义·月考）Peukert于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，上述两个等式相除可得， 所以，.故选：C. 3．（23-24高三下·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【解析】由，得， 因为为偶函数，所以， 即， 所以，解得.故选：. 4．（23-24高三下·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.故选：C． 5．（23-24高三上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】函数在R上单调递增， 则， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 6．（23-24高三上·安徽合肥·期中）计算 . 【答案】50 【解析】. 故答案为：50 7．（223-24高三上·天津·开学考试）函数的最小值为 . 【答案】4 【解析】由，根据基本不等式， 得， 当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为4. 故答案为：4 1．（23-24高三上·北京东城·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】，， 函数在单调递增，函数在上单调递减， 由得，得，满足充分性； 由得，得，满足必要性. “”是“”的充要条件，故选：C. 2．（23-24高三下·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确.故选：C. 3．（22-23高三上·甘肃定西·月考）若函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，函数在定义域上单调递减，满足条件； 当时，函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，只需满足在为减函数， 即，则； 综上可得.故选：C 4．（23-24高三下·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，定义域为，又，故为偶函数； 又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数； 又，故当时，，则此时为上的单调增函数， 故时，为单调减函数； ，即，则，即，， 也即，解得.故选：A. 5．若函数在上的值域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递增， ，即是方程的两个根， 则方程，即有两个不相等的实根. 设，问题转化为方程有两个不相等的正根， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 6．（23-24高三上·江苏镇江·期末）若对任意和任意，都有成立，则实数的取值范围 . 【答案】 【解析】由可得， 令， 因为与均在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以， 又因为对任意都有， 当时，恒成立，满足题意； 当，幂函数在上递增， 所以，即； 当时，幂函数在上递减， 所以以，即. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 7．（23-24高三上·四川内江·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，， 当时，，， 又因为是定义在实数集R上的奇函数， 所以， 即当时，. 所以函数的解析式为； （2）因为对于任意实数，不等式恒成立， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 整理得在R上恒成立， 令，因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 从而在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，则， 因为函数在单调递减，可得的最大值为， 所以，所以. 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，则， 即，所以.故选：D. 2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误；故选：C． 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误.故选：C. 4．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得.故选：D. 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、， 即A、C中上函数值为正，排除；故选：D 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误，故选：B. 7．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【解析】函数，所以. 故答案为：1 8．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$