第1章 素养拓展课(1) 曲线运动的典型问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第二册（粤教版2019）

素养拓展课(一)　曲线运动的典型问题 [对应学生用书P7] 1．三个速度 (1)分速度v水：水流的速度； (2)分速度v船：船在静水中的速度； (3)合速度v：表示船的实际航行的速度． 2．两类问题三种情境 渡河 时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，时间tmin＝ 渡河 位移 最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则： (1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多大？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多大？ (3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s.船过河的最短时间和最小位移是多大？ 解析　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图甲所示． 时间t＝＝ s＝36 s， v合＝ ＝ m/s，位移为x＝v合t＝90 m． (2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有v2cos β＝v1，得β＝60°.最小位移为xmin＝d＝180 m，所用时间t′＝＝＝ s＝24 s (3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝＝36 s． 当水流速度变为6 m/s时，即v1′＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．如图丙所示，以v1′矢量的末端为圆心，以矢量v2的大小为半径画弧，从v1′矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cos α＝，最小位移为xmin′＝＝d＝×180 m＝216 m． 答案　(1)船头垂直于河岸　36 s　90 m (2)船头偏向上游，与河岸夹角为60°　24 s　180 m (3)36 s　216 m [题后总结]　小船渡河问题的分析思路 [训练1]　如图是某船采用甲、乙、丙三种过河方式的示意图(河宽相同).船在静水中的速度v0不变，河中各处的水流速度v1不变，图中小船尖端指向为船头方向．下列判断正确的是(　　) A．由甲图可判断出v0＜v1 B．乙过河时间最短 C．丙过河速度最小 D．甲、丙过河时间不可能相同 B　[由图甲可知，船头的速度方向斜向上时，船可以垂直于河岸的方向渡河，则船在静水中的速度大小一定大于水流的速度大小，故A错误；乙图中船垂直于河岸方向的速度最大，所以渡河的时间最短，故B正确；比较三个图可知，丙图中船相对于静水的速度与水流速度之间的夹角最小，所以船的合速度最大，故C错误；甲与丙两种情况下垂直于河岸方向的分速度若相等，则渡河的时间相等，故D错误．] [训练2]　如图所示，一条河宽为d，小船从岸边的A处运动至河对岸的B处．A、B两点间的距离为x.船头垂直于河岸方向，河中各处水速均为v水，小船在静水中的速度大小保持恒定．则下列说法正确的是(　　) A．小船的渡河时间为 B．小船的渡河时间为 C．若增大水速，其他条件不变，渡河时间将会变长 D．若增大水速，其他条件不变，渡河的实际航速变大 D　[小船在静水中的速度v船垂直于河岸，大小不变，河中各处水速均为v水，根据分运动与合运动具有等时性，那么渡河时间t＝＝，故A、B错误；若增大水速，其他条件不变，船相对静水的速度不变，航向也不变，则渡河时间不变，故C错误；水速增大，小船在静水中的速度不变，根据平行四边形定则知，v＝ ，渡河的实际航速变大，故D正确．] 1．关联速度问题特点 (1)绳(杆)物关联问题：两物体通过绳(杆)相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因绳(杆)的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度大小是相等的． (2)杆点(面)关联问题：杆的一端和一个物体的某点(面)接触，两物体通过绳(杆)相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因二者始终接触，因此两物体的速度沿垂直接触面方向的分速度大小是相等的． 2．常见模型 质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动．如图，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是(　　) A．P的速率为v B．P的速率为v cos θ2 C．绳的拉力等于mg sin θ1 D．绳的拉力小于mg sin θ1 B　[将小车的速度v进行分解如图所示，则有：vP＝v cos θ2，故A错误，B正确；小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，由牛顿第二定律有：T－mg sin θ1＝ma，可知绳对A的拉力为：T＞mg sin θ1，故C、D错误．] [题后总结]　分析“关联”速度的基本步骤 [训练3]　在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻速度分别为v1和v2，绳子对物体的拉力为FT，物体所受重力为G，则下面说法正确的是(　　) A．物体做匀速运动，且v1＝v2 B．物体做加速运动，且v2＜v1 C．物体做加速运动，且FT＝G D．物体做匀速运动，且FT＝G B　[小车的运动可分解为沿绳子方向和垂直绳子的方向两个运动，设两段绳子的夹角为θ，由几何知识可得v2＝v1sin θ，所以v2＜v1，小车向左运动，θ逐渐增大，故v2逐渐增大，物体有向上的加速度，故选项A错误，B正确；物体有向上的加速度，处于超重状态，所以FT＞G，故选项C、D错误．] [训练4]　如图所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A的速度v1为(　　) A．v0sin αcos θ　　　　　 B． C．v0cos αcos θ D． D　[人和A沿绳方向的分速度相等 可得v0cos α＝v1cos θ 所以v1＝ ] [对应学生用书P9] 1．(关联速度)用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子上P点的速度v不变，则小船的速度(　　) A．不变　　　　　　 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 B　[小船的运动为实际运动，把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子斜向下方向的两个分运动，如图所示． 小船运动过程中保持绳子上P点速度大小不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向的夹角θ逐渐增大．v船＝，由于θ不断增大，则cos θ不断减小，故v船逐渐增大．选项A、C、D错误，B正确．] 2．(关联速度)(多选)如图所示，一根长直轻杆两端分别固定小球A和B，轻杆竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L.由于微小的扰动，A球沿竖直光滑的滑槽向下运动，B球沿水平光滑的滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是(　　) A．A球下滑过程中的加速度一直大于g B．B球运动过程中的速度先变大后变小 C．vA＝vB tan θ D．vA＝vB sin θ BC　[先分析B球的运动情况，B球从静止开始向右运动，当A球落到最下方时，A球的速度方向竖直向下，而杆水平，故A球沿杆方向的分速度为零，由沿杆方向速度相等可知B球的速度为零，所以B球在水平方向先加速后减速，即B球运动过程中的速度先变大后变小，根据受力分析可知，A球下滑过程中，刚开始运动时，杆对B球产生的是偏向右下方的力，所以杆对A球产生的是偏向左上方的力，此时A球的加速度小于重力加速度g，选项A错误，B正确；由于A球和B球沿杆方向的分速度大小相等，则当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知，vA cos θ＝vB sin θ，即vA＝vB tan θ，故选项C正确，D错误．] 3．(小船渡河)小船横渡一条河，为尽快到达对岸，船头方向始终与河岸垂直，为避免船撞击河岸，小船先做加速运动后做减速运动，使小船到达河对岸时恰好不与河岸相撞．小船在静水中的行驶速度v1如图甲所示，水的流速v2如图乙所示，则下列关于小船渡河的说法正确的是(　　) A．小船的运动轨迹为直线 B．河宽是150 m C．小船到达对岸时，沿河岸下游运动了60 m D．小船渡河的最大速度是13 m/s B　[小船在静水中的速度先增大后减小，又因水的流速恒定，且方向与小船在静水中的速度方向垂直，所以小船的实际运动是两者的合运动，是曲线运动，A错误；研究小船垂直于河岸方向的运动，根据速度—时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移大小，可得河宽d＝×30×10 m＝150 m，B正确；根据运动的等时性可知，小船沿河岸方向运动了30 s，则沿河岸方向运动的距离x＝3×30 m＝90 m，C错误；根据矢量合成法则可知，小船在静水中的速度最大时，渡河速度最大，为 m/s＝ m/s，D错误．] 4．(运动的合成)玻璃板生产线上，宽9 m的成型玻璃板以4 m/s的速度连续不断地向前进行，在切割时，金刚钻(割刀)的走刀速度为8 m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻(割刀)的轨道应如何控制？切割一次的时间为多长？ 解析　要切成矩形，则金刚钻(割刀)相对玻璃板的垂直速度v如图所示．设v刀与v玻的夹角为θ，cos θ＝＝＝，则θ＝30 °.v＝ ＝ m/s＝4 m/s，切割时间t＝＝ s＝2.25 s． 答案　金刚钻(割刀)的轨道速度与玻璃板的行进速度成30 °角，切割一次的时间为2.25 学科网（北京）股份有限公司 $$