精品解析：江苏省苏州市星海实验中学2023-2024学年九年级上学期开学检测数学试题

2023～2024学年第一学期星海实验中学初三开学测 学生练习答题知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写消楚． 2．客观题必须使用铅笔填写，主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹涤楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 若，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 直角三角形 3. 若分式中的a和b都扩大到原来的n倍，则分式的值( ) A. 扩大到原来的n倍 B. 扩大到原来的2n倍 C. 扩大到原来的倍 D. 不变 4. 下列统计中，适合全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 调查全国初中生的视力情况 C. 审查某篇文章中的错别字 D. 调查央视“新闻联播”的收视率 5. 在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 某智能手机代工厂接到生产30万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，该代工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货，那么原计划每月生产智能手机多少万部？设原计划每月生产智能手机x万部，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有（ ） ①四边形是矩形； ②四边形是菱形； ③四边形的周长是； ④四边形的面积是． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 要使式子有意义，则的取值范围是______． 10. _______ 11. 已知点是的黄金分割点，若，则的长为______． 12. 已知，则 __________． 13. 如图，函数与的图象相交于点，．若，则的取值范围是______． 14. 在探究“尺规三等分角”这个数学命题中，利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AF，CF、BA的延长线交于点E，若∠E＝∠FAE，∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（ ） 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数上的图像上，则k的值为________； 16. 如图，在中，，垂足为是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么为______． 三、简答题（本大题共11小题，共68分） 17. 计算： 18. 解方程： 19. 先化简：，然后从中选择一个适当的整数作为的值代入求值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕点A顺时针旋转后得到的； （2）的面积是____________（直接填结果）； （3）在网格内以原点O为位似中心，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 21. 如图，在△ABC中，已知∠A＝2∠B，利用尺规作图，过点A作一条直线AD，使其交BC于点D，且使△ABC∽△DAC（不写作法保留作图痕迹）． 22. 如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 23. 九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． A“无双国士” 钟南山 B“邻家奶奶” 李兰娟 C“铁人院长” 张定宇 D“硬核男神” 张文宏 （1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为D的概率为______； （2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 24. 某学校组织七年级学生参加了“热爱宪法，捍卫宪法”的知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计图如下．请根据所给信息，回答下列问题： 某校七年级部分学生成绩频数分布直方图 某校七年级部分学生成绩扇形统计图 （1）求出组、组人数分别占总人数的百分比； （2）求本次共抽查了多少名学生的成绩； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角为，求的值； （4）该区共有1000名七年级学生参加了此次竞赛，若主办方想把一等奖的人数控制在150人，那么请你通过计算估计：一等奖的分值应定在多少分及以上？ 25. 如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，． （1）求一次函数的表达式； （2）若的面积为，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，菱形的边长为，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． （1）求的长． （2）已知动点运动的速度为，动点运动的速度为，经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由． （3）设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过2秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求值． 27. 阅读理解：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点P(m，n)是直线y＝﹣x上一动点． （1）已知4个点：B(2，﹣3)、C(2，﹣2)、D(﹣2，2)、E(2，)，则线段OA的“等距点”是 ，线段OA的“完美等距点”是 ． （2）若OP＝，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标； （3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年第一学期星海实验中学初三开学测 学生练习答题知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写消楚． 2．客观题必须使用铅笔填写，主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹涤楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 若，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．与无法合并，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2. 下列图形一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，掌握是集中常见几何图形的特征是解决问题的关键． 3. 若分式中的a和b都扩大到原来的n倍，则分式的值( ) A. 扩大到原来的n倍 B. 扩大到原来的2n倍 C. 扩大到原来的倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】观察代数式，显然分子将扩大n2倍，分母扩大n倍，从而分式的值扩大n倍. 【详解】解：根据题意，得 新的分式是＝，则分式的值扩大为原来的n倍. 故选：A. 【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算法则. 4. 下列统计中，适合全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 调查全国初中生的视力情况 C. 审查某篇文章中的错别字 D. 调查央视“新闻联播”的收视率 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A，B，D选项范围广，适合抽样调查，只有C适合全面调查，故选C． 考点：全面调查与抽样调查． 5. 在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数值的大小比较．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知函数（为常数）的图象在第二、四象限，在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且；然后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，， ∴函数（为常数）的图象在第二、四象限， 在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且； ∵， ∴， 故选：D． 6. 某智能手机代工厂接到生产30万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，该代工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货，那么原计划每月生产智能手机多少万部？设原计划每月生产智能手机x万部，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出原计划的交货时间、结果完成的交货时间，再根据“结果比原计划提前2个月完成交货”列出方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键． 7. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此解答即可，． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°， ∵∠APD＝60°， ∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BAP＝∠DPC， 即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD； ∴ ∵BP＝2，CD＝1， ∴ ∴AB＝4， ∴△ABC的边长为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力. 8. 如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有（ ） ①四边形是矩形； ②四边形是菱形； ③四边形的周长是； ④四边形的面积是． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对以下选项做出分析与判断：①根据矩形的判定与性质做出判断；②根据菱形的判定与性质做出判断；③由四边形的周长公式：周长边长之和，来计算四边形的周长；④根据四边形的面积与四边形的面积间的数量关系来求其面积． 【详解】解：①连接，． 在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ，，，； ，， 四边形是平行四边形； ，四边形是矩形， （矩形的两条对角线相等）； （中位线定理）， 四边形是菱形； 故本选项错误； ②由①知，四边形是菱形； 根据中位线定理知，四边形是菱形； 故本选项正确； ③根据中位线的性质易知，，， 四边形的周长是， 故本选项正确； ④四边形中，，，且， ； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形的面积是， 故本选项正确． 综上所述，②③④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系是最关键的． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 要使式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件及解不等式，根据分母不等于0，被开方数为非负数，建立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 10. _______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的性质直接化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】 11. 已知点是的黄金分割点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解答本题的关键．利用黄金比例列出方程解答即可． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】先把取倒数得，再两边平方，最后将变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，灵活运用倒数法是解答本题的关键． 13. 如图，函数与的图象相交于点，．若，则的取值范围是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知当一次函数图象在反比例函数图象下方或二者交点处时自变量的取值范围为或， ∴若，则的取值范围是或， 故答案为：或． 14. 在探究“尺规三等分角”这个数学命题中，利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AF，CF、BA的延长线交于点E，若∠E＝∠FAE，∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（ ） 【答案】23° 【解析】 【分析】由矩形的性质得出∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，由三角形的外角性质得出∠ACF＝∠AFC＝2∠FEA＝2∠ECD，设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，∠ACD＝3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°， ∵∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA， ∴∠ACF＝∠AFC＝2∠FEA＝2∠ECD， 设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x， ∴∠ACD＝3x， ∴3x+21°＝90°， 解得：x＝23°， 故答案为：23°. 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质和平行线的性质是解决问题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数上的图像上，则k的值为________； 【答案】-4 【解析】 【分析】连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=2，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数的性质确定k的值． 【详解】解：连接AC交OB于D，如图， ∵四边形ABCO为菱形， ∴AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=×8=2， ∵CD⊥y轴， ∴S△OCD=|k|， 即|k|=2， 而k＜0， ∴k=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了菱形的性质． 16. 如图，在中，，垂足为是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图作交的延长线于M，于N，则四边形是矩形，先证明，在中利用勾股定理求出，再证明四边形是菱形，，即可解决问题． 【详解】解：如图作交的延长线于M，于N，则四边形是矩形． ∵，， ∴，， ∴， ∵是中线， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会转化的数学数学，利用三角形中位线发现，求出即可解决问题，属于中考常考题型． 三、简答题（本大题共11小题，共68分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先进行二次根式的化简、去绝对值、计算零指数幂、负整数指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂．解题的关键在于正确的计算． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：； 解得， 经检验是分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 19. 先化简：，然后从中选择一个适当的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件．熟练掌握分式的化简求值，分式有意义的条件是解题的关键． 先通分，计算括号里的，然后进行除法运算可得化简结果，根据分式有意义的条件确定适当的的值，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 由题意知，，，， 解得，，，， ∴的值可以为或或1， ∴当时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕点A顺时针旋转后得到的； （2）的面积是____________（直接填结果）； （3）在网格内以原点O为位似中心，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 【答案】（1）画出绕点A顺时针旋转后得到的，如下图 （2）3 （3） 在网格内以原点O为位似中心，画出将三条边放大为原来的2倍后的，如下图     【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点，从而得到； （2）利用面积计算公式计算即可； （3）延长到使，则点A为点的对应点，同样方法作出的对应点，从而得到； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形；也考查了旋转变换 21. 如图，在△ABC中，已知∠A＝2∠B，利用尺规作图，过点A作一条直线AD，使其交BC于点D，且使△ABC∽△DAC（不写作法保留作图痕迹）． 【答案】 如图所示： ． 【解析】 【分析】作∠BAC的角平分线交BC于D点即可，此时∠DAC=∠B，∠C=∠C，故△ABC∽△DAC. 【详解】略 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是关键. 22. 如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ∴，， ， ∵O为矩形的对角线的中点， ∴， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． （2）45 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证； （2）设菱形的边长为，则，在中，利用勾股定理求出的值，然后根据菱形的面积公式即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 设菱形的边长为，则， ， ， 在中，，即， 解得， ， 则四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 23. 九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． A“无双国士” 钟南山 B“邻家奶奶” 李兰娟 C“铁人院长” 张定宇 D“硬核男神” 张文宏 （1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为D的概率为______； （2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 小明从4张中随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为D的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如图． 由树状图可知共有12种等可能结果，其中两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的共有6种． 所以P（两人中有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事）． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 某学校组织七年级学生参加了“热爱宪法，捍卫宪法”的知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计图如下．请根据所给信息，回答下列问题： 某校七年级部分学生成绩频数分布直方图 某校七年级部分学生成绩扇形统计图 （1）求出组、组人数分别占总人数的百分比； （2）求本次共抽查了多少名学生的成绩； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角为，求的值； （4）该区共有1000名七年级学生参加了此次竞赛，若主办方想把一等奖的人数控制在150人，那么请你通过计算估计：一等奖的分值应定在多少分及以上？ 【答案】(1)10%，20%；(2)300；(3)108；(4)90分及其以上 【解析】 【分析】(1)根据A组，B组在扇形统计图中所对应的圆心角度数即可得出结果； (2)根据题(1)A组所占总人数的百分比以及条形统计图中A组的具体人数即可得出总人数； (3)根据条形统计图中D组的具体人数再结合总人数即可； (4)先求出E组所占的百分比即可得出结果． 【详解】解：(1)A组人数占总人数的：36°÷360°×100%=10%， B组人数占总人数的72°÷360°×100%=20%， 故A组、B组分别占总人数的10%、20%； (2)30÷10%=300(人)， 故本次抽查学生总人数300人； (3)90÷300×360°=108°， 组对应的圆心角为108°，a=108； (4)(360°-90°-72°-108°-36°)÷360°×1000=150(人)， 所以一等奖的分值定在90分及其以上即可． 【点睛】本题主要考查的是扇形统计图和条形统计图的结合，正确的理解两个统计图是解题的关键． 25. 如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，． （1）求一次函数的表达式； （2）若的面积为，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，则点向右平移个单位向下平移个单位得到点，进而求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图像上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 当时，， ∴， ∵，在一次函数图像上， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 设直线交轴于点， 当时，，解得： ∴点， 设点， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 存在，理由： 设直线的解析式为，，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 设点， ∵是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，点在轴上， ∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点， ∴ ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用点坐标平移的规律：左减右加纵不变，上加下减横不变解决问题． 26. 如图，菱形的边长为，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． （1）求的长． （2）已知动点运动的速度为，动点运动的速度为，经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由． （3）设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过2秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求值． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由如下： 由题意可知，动点运动的速度为，动点运动的速度为，运动时间为12秒， 动点运动的路程为，动点运动的路程为， 动点从点出发，沿着线路做匀速运动，且， 动点到达点，即点与点重合， 动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动，且， 动点到点的距离为，动点到达中点，即点是中点， 是等边三角形，点是中点， ， 是直角三角形； （3）的值为或或． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据菱形的性质，证明是等边三角形，即可求出的长． （2）由题意可知，动点运动的路程为，动点运动的路程为，从而得出点与点重合，点是中点，再结合等边三角形三线合一的性质，即可求解； （3）由题意可知，动点的速度为，动点的速度为，秒后，动点运动的路程为，动点运动的路程为，则，，分两种情况讨论：①当点运动到点，且点在上时；②当点运动到点，且点在上时，利用含30度角的直角三角形的特征分别求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：是等边三角形， ， 由题意可知，动点的速度为，动点的速度为， 秒后，动点运动的路程为，动点运动的路程为， 从沿原路返回， ， ， ①如图，当点运动到点，且点在上时，则， ， 为直角三角形，，不能为， ，， ，即， 解得：； ②当点运动到点，且点在上时，则， 为直角三角形， 若，如图， ， ， ，即， 解得：； 若，如图，此时， ， ， ， ， ， 综上可知，若为直角三角形，的值为或或． 27. 阅读理解：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点P(m，n)是直线y＝﹣x上一动点． （1）已知4个点：B(2，﹣3)、C(2，﹣2)、D(﹣2，2)、E(2，)，则线段OA的“等距点”是 ，线段OA的“完美等距点”是 ． （2）若OP＝，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标； （3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）B，C，E为等距点，C为完美等距点；（2）(0，)或(0，﹣)；（3）存在，(8，﹣4)或(，﹣) 【解析】 【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【详解】解：（1）∵OB＝，AB＝， ∴OB＝AB． ∴B为等距点． ∵OC＝，AC＝， ∴OC＝AC． ∴C为等距点． ∵OD＝，AD＝， ∴OD≠AD． ∴D不为等距点． ∵OE＝，AE＝， ∴OE＝AE． ∴E为等距点． ∵OA＝4， ∴OB2+AB2≠OA2，OC2+AC2＝OA2，OD2+AD2≠OA2，OE2+AE2≠OA2， ∴C为完美等距点． 故答案B，C，E．C为完美等距点． （2）∵P（m，n）在y＝﹣x上， ∴n＝﹣m． ∴． ∴m＝±2． ∴n＝±1． ∴P（2，﹣1）或P（﹣2，1）． 设H的坐标为（0，t）， ∴PH＝或． ∵AH＝，AH＝HP， ∴或． 解得：t＝或t＝﹣． 经检验，符合题意， ∴H的坐标为（0，）或（0，﹣）． （3）存在． 理由：设N点的坐标为（2，b）， ∵P（m，﹣m）， ∴ON＝，PN＝． ∵点N是线段OA的“等距点”， ∴ON＝PN． ∴． 解得：b＝4﹣m． ∵N为线段OP的“完美等距点”， ∴ON⊥PN． ∴△OPN为等腰直角三角形． ∴OP＝ON． ∵OP＝，ON＝． ∴＝×． 解得：m＝8或m＝． 经检验，符合题意， 当m＝8时，﹣m＝﹣4． 当m＝时，﹣m＝﹣． ∴P点的坐标为（8，﹣4）或（，﹣）． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的性质及勾股定理的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $