精品解析：四川省自贡市自流井区自贡市第二十八中学校2023-2024学年九年级上学期入学数学试题

四川省自贡二十八中2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x≥-1 C. x≠-1 D. x≥-1，且x≠2 2. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 四条边都相等的四边形是正方形 3. 点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 已知实数满足，那么的值是( ) A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 2002 5. 若直线与轴的交点为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ） A. 4，10 B. 4，9 C. 7，8 D. 6，8 7. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，若正方形的面积为，．则的值是（　　） A. B. C. D. 8. 清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　） A. 爸爸的爬山速度为 B. 1.5小时的时候爸爸与小明的距离为 C. 山脚到山顶的总路程为 D. 小明最后一段速度为 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 在，，，，中，最简二次根式有___________个． 10. 当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_____． 11. 如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为_____． 12. 已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的方差是_______． 13. 如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 14. 在平面直角坐标系中，正方形、正方形、正方形、正方形、…、正方形按如图所示的方式放置，其中点，，，，…，均在一次函数的图象上，点，，，，…，均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ____． 三、解答题（每小题5分，共25分） 15. 计算： 16. 若x，y为实数，且，求的值． 17. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF． 18. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点D、E．求的长． 19. 已知直线y=kx+b与x轴交于点A（8，0），与y 轴交于点B（0，6） （1）求AB的长； （2）求k、b的值． 四、解答题（每小题6分，共计18分） 20. 某校为了解八年级学生的身高状况，随机抽取40名男生、40名女生进行身高调查．根据所得数据绘制如下统计图表．根据图表中提供的信息，回答下列问题： 组别 身高 （1）求身高在之间的男生人数，并补全直方图． （2）男生身高的中位数落在______组，女生身高的中位数落在______组．（填组别字母序号） （3）已知该校八年级共有男生400人，女生420人，请估计八年级身高不足的学生数． 21. 某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表： 县名费用仓库 A B 甲 40 80 乙 30 50 （1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式； （2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？ （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 22. 下面是小李同学探索的近似数的过程： 面积为107的正方形边长是，且， 设，其中，画出如图示意图， 图中，， ， 当较小时，省略，得，得到，即． （1）的整数部分是　　　； （2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 五、解答题（23题7分，24题8分，共计15分） 23. AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，AB＝2，∠EAF＝60°，将∠EAF绕点顶A旋转，∠EAF的两边分别与直线BC，CD交于点E，F，连接EF． （1）【感知】如图1，若E，F分别是边BC，CD的中点，则CE+CF＝ ； （2）【探究】如图2，若E是线段BC上任意一点，求CE＋CF的长； （3）【应用】如图3，若E是BC延长线上一点，且EF⊥BC，求△AEF的周长． 24. 如图，边长为4的正方形在平面直角坐标系中，轴，点A在直线上移动． （1）当点A的横坐标为1时，求B，C两点的坐标； （2）在正方形移动过程中，直线l始终平分正方形的面积，求直线l的解析式； （3）当正方形有一条边与x轴或y轴重合时，请直接写出所有符合条件的点A的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省自贡二十八中2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x≥-1 C. x≠-1 D. x≥-1，且x≠2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，x+1≥0且x-2≠0， 【详解】解得x≥-1且x≠2， 故选D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；分式有意义的条件是分母不为0． 2. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 四条边都相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．只有D是假命题，四边相等有四边形是菱形，但不是所有菱形都是正方形． 【详解】解：四边相等有四边形是菱形，但不是所有菱形都是正方形，所以D错误，是假命题． A、B、C命题是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的判定定理进行判断． 3. 点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据x轴上点的纵坐标等于0，可得m值，根据有理数的加法，可得点P的坐标． 【详解】解：∵点P在直角坐标系的x轴上， ∴， ∴， 故点P的横坐标为：， 即点P的坐标为 故选：B． 4. 已知实数满足，那么的值是( ) A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 2002 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案 【详解】解：， ，即， ∴， 即， ∴，即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键． 5. 若直线与轴的交点为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的解析式知：该一次函数的函数值y随x的增大而增大；已知函数与x轴的交点为（-2，0）；因此不等式解集为可求出． 【详解】：直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0）， 即当x=-2时y=0，函数y=2x+k中y随x的增大而增大； 因而关于x的不等式2x+k＜0的解集是x＜-2． 故选C． 【点睛】认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键． 6. 小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ） A. 4，10 B. 4，9 C. 7，8 D. 6，8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出原数据的中位数和众数，分析即可得到应去掉的两个数． 【详解】解：∵4，4，6，7，8，9，10的众数是4，中位数是7， ∴去掉的两个数可能是6，8，9，10中的任意两个数，不能去掉的数是4和7， 故选：D． 【点睛】此题考查了求数据的中位数和众数，正确理解中位数及众数的求法是解题的关键． 7. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，若正方形的面积为，．则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，，则，由勾股定理可得，即得，再证明，可得，，即可得，由可得，据此即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 8. 清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　） A. 爸爸的爬山速度为 B. 1.5小时的时候爸爸与小明的距离为 C. 山脚到山顶的总路程为 D. 小明最后一段速度为 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可直接判断A正确；小明累了之后减速继续爬山，此时速度是，可得1.5小时的时候，小明爬山的路程，爸爸爬山的路程为，可判断B正确；爸爸用2个小时爬上了山顶，可判断C正确；小明最后一段速度为，可判断D错误；即可得到答案．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图． 【详解】解：A、由图象可知，爸爸的爬山速度为，故A正确，不符合题意； B、小明累了之后减速继续爬山，此时速度是， 小时的时候，小明爬山的路程为：， 1.5小时的时候，爸爸爬山的路程为：， 小时的时候，爸爸与小明的距离是，故B正确，不符合题意； C、爸爸的爬山速度为，爸爸用2个小时爬上了山顶， 山脚到山顶的总路程为，故C正确，不符合题意； D、小明最后一段速度为，故D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 在，，，，中，最简二次根式有___________个． 【答案】1 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：的被开方数是小数，故不是最简二次根式， 的被开方数可以分解成，则含有开得尽方的因数4，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， 的被开方数含有分母，故不是最简二次根式， 被开方数含有开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 10. 当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_____． 【答案】. 【解析】 【分析】根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解； 【详解】经过第二、三、四象限， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为. 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键． 11. 如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意得，，，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：∵，，， 在中，， 设，则， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 12. 已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的方差是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】设一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是a，数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的平均数为 ，然后根据方差的公式，即可得出答案. 【详解】设一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是a，则 ， ∵一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2， ∴ ， ∵ ∴数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的平均数为 ， ∴数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的方差为 ， 故答案为：2 【点睛】本题考查了方差的公式（其中n为正整数，a为这一组数据x1，x2，x3， xn的平均数），解题的关键是熟练掌握方差的公式． 13. 如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断． 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，熟练掌握“方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标”是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 所以P点坐标为， 所以关于x、y的二元一次方程组的解是． 故答案为． 14. 在平面直角坐标系中，正方形、正方形、正方形、正方形、…、正方形按如图所示的方式放置，其中点，，，，…，均在一次函数的图象上，点，，，，…，均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律题，正方形的性质、用待定系数法求函数解析式、根据正方形的性质可得的坐标为，的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式为，分别求得、，总结规律，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴正方形的边长为1，正方形的边长为2， ∴的坐标为，的坐标为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标是1，的纵坐标是2， 在直线中，令，则， ∴的坐标为， ∴正方形的边长为4， 则的横坐标是，的纵坐标是， 据此可得的纵坐标是，横坐标是， 即的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共25分） 15. 计算： 【答案】24 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则进行运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 16. 若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 17. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF． 【答案】证明见试题解析． 【解析】 【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB//CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD，AB=CD， 又E、F分别是边AB、CD的中点， ∴DF=BE， 又AB//CD， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF． 18. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点D、E．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、垂直平分线的性质、解一元一次方程，连接，利用勾股定理求得，根据垂直平分线的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 19. 已知直线y=kx+b与x轴交于点A（8，0），与y 轴交于点B（0，6） （1）求AB的长； （2）求k、b的值． 【答案】（1）10（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）结合A、B的坐标，利用勾股定理求AB的长； （2）把A、B的坐标代入函数解析式，利用待定系数发求解即可. 试题解析：（1）OA=8,OB=6 ∴ AB2=OA2+OB2=82+62=100 ∴AB=10 （2）把A(8,0)，B（0，6）代入y=kx+b得 解得 四、解答题（每小题6分，共计18分） 20. 某校为了解八年级学生的身高状况，随机抽取40名男生、40名女生进行身高调查．根据所得数据绘制如下统计图表．根据图表中提供的信息，回答下列问题： 组别 身高 （1）求身高在之间的男生人数，并补全直方图． （2）男生身高的中位数落在______组，女生身高的中位数落在______组．（填组别字母序号） （3）已知该校八年级共有男生400人，女生420人，请估计八年级身高不足的学生数． 【答案】（1）4人，补全的直方图如下： （2）D；C （3）八年级身高不足的学生约有537人 【解析】 【分析】（1）将位于这一小组内的频数相加即可求得结果． （2）根据中位数的定义解答即可． （3）分别表示出男、女生的人数，相加即可得解． 【小问1详解】 （人）， 身高在之间的男生有4人． 【小问2详解】 ∵在样本中，共有40人， ∴中位数是第20和第21人的平均数， ∴男生身高的中位数落在D组． A：（人）， B：（人）， C：（人）， ∵在样本中，共有40人， ∴中位数是第20和第21人的平均数， ∴女生身高的中位数落在C组． 故答案为：D；C． 【小问3详解】 （人）， ∴八年级身高不足的学生约有537人． 【点睛】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题． 21. 某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表： 县名费用仓库 A B 甲 40 80 乙 30 50 （1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式； （2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？ （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 【答案】（1）y=20x+860（0≤x≤6）； （2）如下三种方案： 1、甲往A：10辆；乙往A：0辆 甲往B：2辆；乙往B：6辆， 2、甲往A：9辆；乙往A：1 辆 甲往B：3辆；乙往B：5辆， 3、甲往A：8辆；乙往A：2 辆 甲往B：4辆；乙往B：4辆； （3）甲往A：10辆；乙往A：0辆；甲往B：2辆；乙往B：6辆，总运费最少为860元． 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是一次函数的实际应用，解题时先根据题意理清数量关系，设未知量，找出A、B之间的关系，列出函数关系式，再根据具体要求带入数值求解 【详解】（1）若乙仓库调往A县农用车x辆（x≤6），则乙仓库调往B县农用车(6-x)辆，A县需10辆车，故甲给A县调农用车(10-x)辆，那么甲县给B县调车(x+2)辆，根据各个调用方式的运费可以列出方程如下：y=40（10-x）+80（x+2）+30x+50（6-x）， 化简得：y=20x+860（0≤x≤6）； （2）总运费不超过900，即y≤900，代入函数关系式得20x+860≤900，解得x≤2， 所以x=0，1，2， 即如下三种方案： 1、甲往A：10辆；乙往A：0辆 甲往B：2辆；乙往B：6辆， 2、甲往A：9辆；乙往A：1 辆 甲往B：3辆；乙往B：5辆， 3、甲往A：8辆；乙往A：2 辆 甲往B：4辆；乙往B：4辆； （3）要使得总运费最低，由y=20x+860（0≤x≤6）知，x=0时y值最小为860 【点睛】此题重点考查学生对于一次函数的实际应用能力，掌握一次函数解析式的表达，能熟练应用一次函数解决实际问题是解题的关键． 22. 下面是小李同学探索的近似数的过程： 面积为107的正方形边长是，且， 设，其中，画出如图示意图， 图中，， ， 当较小时，省略，得，得到，即． （1）的整数部分是　　　； （2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】（1）8 （2） 面积为76的正方形边长是，且， 设，其中，如图所示， ， 图中， ， 当较小时，省略，得，得到，即． 【解析】 【分析】（1）估算无理数的大小即可； （2）根据题目中所提供的解法进行计算即可． 【小问1详解】 解：，即， 的整数部分为8， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提． 五、解答题（23题7分，24题8分，共计15分） 23. AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，AB＝2，∠EAF＝60°，将∠EAF绕点顶A旋转，∠EAF的两边分别与直线BC，CD交于点E，F，连接EF． （1）【感知】如图1，若E，F分别是边BC，CD的中点，则CE+CF＝ ； （2）【探究】如图2，若E是线段BC上任意一点，求CE＋CF的长； （3）【应用】如图3，若E是BC延长线上一点，且EF⊥BC，求△AEF的周长． 【答案】（1）2；（2）2；（3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的四边相等即可得到结果； （2）根据菱形的性质证明是等边三角形， ，通过证明，即可得到结果； （3）根据已知条件证明是等边三角形，根据即可得到结果； 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2， 又∵E，F分别是边BC，CD的中点， ∴CE+CF＝AB=2； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）同（2）可得，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵AB∥FC，，， ∴， 即， ∴，，， ， ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合等边三角形和勾股定理的性质计算是解题的关键． 24. 如图，边长为4的正方形在平面直角坐标系中，轴，点A在直线上移动． （1）当点A的横坐标为1时，求B，C两点的坐标； （2）在正方形移动过程中，直线l始终平分正方形的面积，求直线l的解析式； （3）当正方形有一条边与x轴或y轴重合时，请直接写出所有符合条件的点A的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合运用，正方形性质，图形平移等知识，解题关键是灵活运用数形结合思想和分类讨论思想. （1）当点的横坐标为时，则即可求解； （2）设点则点由中点坐标公式得：正方形的中心坐标为：，进而求解； （3）当和轴重合时，由直线 知，该直线和轴的交点坐标为：；当和轴重合时，则点的正半轴为则 即可求解；当正方形的一边和轴重合时，同理可解. 【小问1详解】 当点的横坐标为时， ∴， ∴点 ∴点的坐标分别为：； 【小问2详解】 设点. 则点， 由中点坐标公式得：正方形的中心坐标为：， 即 则 ； 【小问3详解】 当正方形的一边和轴重合时，当和轴重合时， 由直线 知，该直线和轴的交点坐标为：； 当和轴重合时， 则点的正半轴为则 解得 ∴点 当正方形的一边和轴重合时，同理可得，点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或 或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $