专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（60题20个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川巴中·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝ ． 3．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m取何值时，是一元二次方程； (2)当m取何值时，是一元一次方程． 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广西河池·期中）一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．1、3、6 B．1、3、-6 C．1、-3、6 D．1、-3、-6 2．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 3．（23-24九年级上·广西防城港·期末）将一元二次方程化为一般形式，并求出根的判别式的值． 【易错必刷三 一元二次方程的解】（共3小题） 1．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2023 D． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）已知是方程的一个根，则m的值是 ． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）关于x的一元二次方程有一根为0，求m的值． 【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】（共3小题） 1．（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） 0 1 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 2．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【易错必刷五 直接开平方法】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）方程的根为（    ） A． B． C． D．， 2．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）若，则的值为 3．（2023·四川乐山·二模）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解． 【易错必刷六 配方法】（共3小题） 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）把方程化成的形式，则a的值是 b的值是 ； 3．（23-24九年级上·四川眉山·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 【易错必刷七 配方法的应用】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川遂宁·期末）用配方法解方程，则配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·四川宜宾·阶段练习）当 时，代数式有最小值是 ． 3．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）用配方法说明不论m为何值的值都大于零． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】（共3小题） 1．（22-23九年级上·四川眉山·期末）关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）若关于x的方程只有一个实数解，则 ． 3．（22-23九年级上·四川眉山·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根 (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】（共3小题） 1．（2023·四川巴中·模拟预测）如果关于的方程有实数根，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 3．（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）已知关于x的一元二次方程2mx2+3x+1＝0有实数根． （1）求m的取值范围． （2）若m为正整数，求此时方程的根． 【易错必刷十 公式法】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川乐山·期末）用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2023·四川内江·三模）已知，，则的值 ． 3．（23-24九年级下·四川眉山·期中）（1）； （2）． 【易错必刷十一 因式分解法】 1．（22-23九年级上·四川眉山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的算术平方根等于3 B．如果，那么 C．当时，有意义 D．方程的根， 2．（23-24九年级下·四川眉山·期中）方程的解为 ． 3．（2023·四川巴中·模拟预测）方程与计算 (1)解方程：①；② (2)先化简，再求值：，其中a取不等式的任意一个整数． 【易错必刷十二 换元法】（共3小题） 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）若实数、满足＝77，则＝（    ） A． B．9 C．± D． 2．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于的方程的解是，则关于的方程的解是 ． 3．（22-23九年级上·四川眉山·期中）阅读材料并解答下列问题．解方程：，设则原方程变形为．当m=1时，解得 当m=2时，解得所以原方程的解为解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．这种方法叫换元法．请你利用上述方法解答下列问题． (1)解方程： (2)若，求的值． 【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】 1．（2023·四川眉山·三模）已知：，是一元二次方程的两个实根，则（　　） A．3 B．5 C． D． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为，且，则常数 ． 3．（23-24九年级上·四川眉山·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)若a为正整数，求a的值； (2)若，满足，求的值． 【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】（共3小题） 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川内江·二模）已知实数，满足，，则 ． 3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【易错必刷十五 传播问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期中）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 名同学． 3．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【易错必刷十六 增长率问题】（共3小题） 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南商丘·三模）4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ． 3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？ 【易错必刷十七 营销问题】（共3小题） 1．（23-24九年级下·山东淄博·期中）某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【易错必刷十八 与图形有关的问题】（共3小题） 1．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ． 3．（2024·广东汕头·三模）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积． 【易错必刷十八 动态几何问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动，当一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使的面积为． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间． 【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题，真命题的有（    ）个 ①若方程两根为-1和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川巴中·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】A．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B．含两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝ ． 【答案】－1 【分析】根据一元二次方程的定义m-1≠0，且，解答即可． 【详解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程， ∴m-1≠0，且， ∴m-1≠0，且， ∴， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 3．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m取何值时，是一元二次方程； (2)当m取何值时，是一元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义列式求解即可； （2）根据一元一次方程的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 即时，是一元二次方程； （2）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，且， ∴， 即时，是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程；只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广西河池·期中）一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．1、3、6 B．1、3、-6 C．1、-3、6 D．1、-3、-6 【答案】C 【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：方程可化为：x2-3x+6=0， 二次项系数为1、一次项系数为-3、常数项为6． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 2．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化． 首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：方程 去括号得：， 即， 移项合并同类项得：， 即可化成， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广西防城港·期末）将一元二次方程化为一般形式，并求出根的判别式的值． 【答案】，-8 【分析】先移项，将方程化为一般式，然后算判别式的大小可得． 【详解】解：将方程化为一般形式为:   ∴a=3,b=－2,c=1 ∴ 根的判别式的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的化简和求解判别式，注意此题的判别式为负数，即表示方程无实数根． 【易错必刷三 一元二次方程的解】（共3小题） 1．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2023 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，将m代入原方程，再进行变形即可求解． 【详解】∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）已知是方程的一个根，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查方程的解及解方程，熟记方程解的定义及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 根据方程根的定义，将代入方程求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）关于x的一元二次方程有一根为0，求m的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入，得： ， 解得， 又， 解得， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】（共3小题） 1．（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） 0 1 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】D 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，方程的正数解满足解的整数部分是1，十分位是2，即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间， ∴方程的正数解满足解的整数部分是1，十分位是2． 故选：D． 【点睛】本体主要考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于与之间是解题的关键． 2．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 【易错必刷五 直接开平方法】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）方程的根为（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键；先移项，然后直接利用开平方法解方程即可． 【详解】解：， 移项，得：， 开平方，得：， ，， 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）若，则的值为 【答案】 【分析】运用乘法公式展开，变形，直接开方即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查乘法公式的运用，直接开方求代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2023·四川乐山·二模）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解． 【答案】， 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据，可以得到x的值，然后将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】原式 ∵ ∴ ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 【易错必刷六 配方法】（共3小题） 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握和运用配方法是解决本题的关键． 根据配方法进行运算，即可求解． 【详解】解：由原方程变形，得， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）把方程化成的形式，则a的值是 b的值是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，9． 3．（23-24九年级上·四川眉山·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ，； （2）解：， ， 或， ，． 【易错必刷七 配方法的应用】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川遂宁·期末）用配方法解方程，则配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程：先把常数项移到等式的右边，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方式，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 即 故选：A 2．（22-23九年级上·四川宜宾·阶段练习）当 时，代数式有最小值是 ． 【答案】 /0.75 【分析】利用完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性即可求解. 【详解】∵， ∴当时，最小， ∴时，代数式有最小值． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，得出最小时，即，这是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）用配方法说明不论m为何值的值都大于零． 【答案】见解析 【分析】用配方法将原式变形为，进而得到，即可证明结论． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴不论m为何值的值都大于零． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】（共3小题） 1．（22-23九年级上·四川眉山·期末）关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根， ∴ ， 解得：且． 故选：D． 2．（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）若关于x的方程只有一个实数解，则 ． 【答案】0或 【分析】分两种情况讨论：当时；当时，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：由题意得： 当时，原方程化为：，解得：； 当时， ， 解得：， 得值为：0或， 故答案为：0或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 3．（22-23九年级上·四川眉山·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根 (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式：当时，方程由两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）求出即可证出结论； （2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定m的值． 【详解】（1）解：∵ ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由（1）知： ∴ ∴， ∵方程的两个实数根都是整数 ∴或． 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】（共3小题） 1．（2023·四川巴中·模拟预测）如果关于的方程有实数根，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， 解得：． 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式建立关于m的等式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 3．（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）已知关于x的一元二次方程2mx2+3x+1＝0有实数根． （1）求m的取值范围． （2）若m为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）由一元二次方程的定义可得再由方程有实数根可得再解不等式即可得到答案； （2）先求解 再代入原方程解方程即可. 【详解】解：（1） 关于x的一元二次方程2mx2+3x+1＝0有实数根， 且 由得： 由可得： 解得： m的取值范围为：且 （2） m为正整数，且 所以原方程为：2x2+3x+1＝0， 解得： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程的解法，解本题的易错点是不注意一元二次方程的定义的要求而漏解 【易错必刷十 公式法】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川乐山·期末）用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值 【详解】解：化为一般形式为： ，， 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2．（2023·四川内江·三模）已知，，则的值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式，并注意进行分类讨论． 【详解】解：依题意得a，b是方程的解， 解得：，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 3．（23-24九年级下·四川眉山·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解． 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握解一元二次方程的几种方法并能熟练运用是解题关键． （1）移项后利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）移项得：， ， ∴或， 解得：； 解：（2） ∵ ∴此方程无解； 【易错必刷十一 因式分解法】 1．（22-23九年级上·四川眉山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的算术平方根等于3 B．如果，那么 C．当时，有意义 D．方程的根， 【答案】B 【分析】本题综合考查了算术平方根、等式的性质、二次根式的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A．的算术平方根是，故原选项错误； B．如果，那么，故选项正确； C．当时，有意义，故选项错误； D．方程的根是，，故选项错误． 故选B． 2．（23-24九年级下·四川眉山·期中）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．利用因式分解法求解即可． 【详解】解: 或， ， 故答案是: ，． 3．（2023·四川巴中·模拟预测）方程与计算 (1)解方程：①；② (2)先化简，再求值：，其中a取不等式的任意一个整数． 【答案】(1)①，；②； (2)时，原式． 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值及解一元一次不等式，根据方程的特点灵活选取解方程的方法、正确运算是解题的关键． （1）①求出的值，代入公式求出即可； ②移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先算括号内的加法，在约分，求出不等式组的解集，取，代入求出即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ，； ②， ， ， ， ． （2）解： ， ， ， ， ， ∵a为整数，且， a只能取， 原式． 【易错必刷十二 换元法】（共3小题） 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）若实数、满足＝77，则＝（    ） A． B．9 C．± D． 【答案】B 【分析】先把看作一个整体，设，则原方程可化为，整理后解一元二次方程即可得出方程的解，进而得出答案． 【详解】解：设且 整理得： 解得：或（舍） 则： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的常用解法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于的方程的解是，则关于的方程的解是 ． 【答案】或． 【分析】把后面方程中的看作整体，相当于前面方程中的，据此求解即可． 【详解】解：关于x的方程的解是，， 方程可变形为， 此方程中或， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程及方程的解的定义，由两个方程的结构特点进行简便计算是解本题关键． 3．（22-23九年级上·四川眉山·期中）阅读材料并解答下列问题．解方程：，设则原方程变形为．当m=1时，解得 当m=2时，解得所以原方程的解为解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．这种方法叫换元法．请你利用上述方法解答下列问题． (1)解方程： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则方程化为：， ∴， ∴， ∴或 ∴或， ∴或， ∴； （2）， ∴， 设，方程转化为：， ∴， ∴或， ∴或； ∴（舍去）或； ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握换元法解方程，是解题的关键． 【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】 1．（2023·四川眉山·三模）已知：，是一元二次方程的两个实根，则（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数关系得到“，”，再利用完全平方公式计算得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 则，， ∴． 故选：A． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为，且，则常数 ． 【答案】2 【分析】先利用根与系数的关系得，，再利用可求出，，然后计算的值．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， ， 解得， ， ． 故答案为：2． 3．（23-24九年级上·四川眉山·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)若a为正整数，求a的值； (2)若，满足，求的值． 【答案】(1)或2； (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键． （1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到△，于是得到结论； （2）根据，，代入，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得：， 为正整数， ，2； （2）解：，， ， ， ， 解得：，， ， ． 【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】（共3小题） 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 2．（2024·四川内江·二模）已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 【易错必刷十五 传播问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数是人，根据题意可得方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 由题意可得，， 解得，（不合，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 故选：． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期中）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 名同学． 【答案】16 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及传播问题的变式、因式分解法解一元二次方程等知识，读懂题意，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设全组共有名同学，则， ，即，解得或（舍弃）， 故答案为：． 3．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人． (2)． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1） 解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． （2） 则第三轮的患病人数为：． 故答案为：． 【易错必刷十六 增长率问题】（共3小题） 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设年平均增长率为，由题意可知等量关系：年的销量，根据等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设年平均增长率为，可列方程为： ， 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意列出方程是解题的关键． 2．（2024·河南商丘·三模）4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，用x表示4月 13 日的营业额即可得解． 【详解】解：依题意得4月 13 日的营业额， ∴． 故答案为：． 3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？ 【答案】(1)该跳绳销售量的月增长率为； (2)该跳绳的售价应定为50元/条． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设该跳绳销售量的月增长率为x，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．据此列出方程，解方程即可得到答案； （2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，根据月销售利润达到10000元列出方程，解方程并根据尽可能让顾客得到实惠即可得到答案． 【详解】（1）解：设该跳绳销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该跳绳销售量的月增长率为； （2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条， 根据题意得：， 整理得：， 解得： 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该跳绳的售价应定为50元/条． 【易错必刷十七 营销问题】（共3小题） 1．（23-24九年级下·山东淄博·期中）某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为 故选：D． 2．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 根据题意得：， 整理得： 解得： 又∵要尽快减少库存， ∴， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)每千克应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程 （1）设每次降价的百分率为a，则两次降价的百分率为，再列出方程即可， （2）根据总盈利＝每千克盈利×数量，列出方程即可解答； 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为， 或（舍去）， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克涨价x元， 依题意得： 解得：，， 要尽快减少库存， 则， 答：每千克应涨价5元， 【易错必刷十八 与图形有关的问题】（共3小题） 1．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 2．（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，根据面积公式得出，再运用因式分解法解出（不合题意，舍去），即可作答． 【详解】解：由题意可知，无盖纸盒的长为，宽为， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， 故x的值为5． 故答案为：5 3．（2024·广东汕头·三模）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①见解析 ② 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，与图形有关的一元二次方程的应用． （1）根据正方体展开图的几种形状即可判断； （2）根据正方体展开图即可判断； （3）①按照要求画出图形即可； ②设正方形的边长为，根据纸盒底面积为，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由正方体展开图的几种形状知，只有C中形状可以折叠围成无盖正方体，其它均不能； 故选：C； （2）解：与“小”字相对的字是“士”，与“保”字相对的字是“卫”； 答案为：卫； （3）解：①所画出的图形如图所示： ②设正方形的边长为， 则， 解得，（不合题意舍去）， 此时纸盒的体积为； 答：要剪去的小正方形的边长为，这个纸盒的体积为． 【易错必刷十八 动态几何问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】 解：由题意，，运动时间， ， ， ， 解得或5， ∴运动时间为5秒或20秒时，的面积等于． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动，当一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使的面积为． 【答案】 【分析】设秒后，可使的面积为．可列一元二次方程求解，再进行检验即可． 【详解】解：设秒后，可使的面积为． 则：， 解得： ∵当时， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．注意实际问题中的限制条件． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根为，即可判断A；利用求根公式得出，变形即可判断B；由一元二次方程根与系数的关系可得，，变形即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，， 若，方程必有一根为，故A说法正确，不符合题意； 是一元二次方程的根， ， ， ，故B说法正确，不符合题意； 方程两根为，且满足， ，， ，， 方程，必有实根，故C说法正确，不符合题意； 方程有两个不相等的实根， ， ， 方程有两个不相等的实根，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，． 3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题，真命题的有（    ）个 ①若方程两根为-1和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断． 【详解】①若方程两根为-1和2， 则，则，即；故此选项符合题意； ②∵a2﹣5a+5＝0， ∴a＝＞1或a＝＞1， ∴1﹣a＜0， ∴；此选项符合题意； ③∵， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意； ④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0， ∴两根之积为0， 那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$