专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数关系计算 题型八 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求的值． 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知方程和有共同的根是，求的值． 3．（2023·广东中山·三模）先化简，再求值：，其中是方程的根． 4．（2023·湖南衡阳·二模）已知：a是方程的一个根，求代数式的值． 5．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）先化简，再求值：．其中是方程的根． 7．（22-23八年级下·山东德州·期末）（1） （2）先化简，再求值： ，其中是方程的根． 8．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知． (1)化简A； (2)若a是方程的一个根，求A的值． 9．（22-23八年级·上海·假期作业）判断方程后面括号里的数是否为方程的根． (1)； (2)． 10．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）计算： (1)计算： (2)已知是一元二次方程的一个根，求a的值． 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）选用适当的方法解方程： 12．（23-24九年级上·青海西宁·阶段练习）解方程：． 13．（23-24九年级上·吉林长春·期末）解方程：． 14．（23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 15．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 16．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 17．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程： (1) (2)． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) ； (2)． 19．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）解下列方程： (1)； (2)． 20．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）解方程：． 22．（23-24九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 23．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当方法解下列方程：． 25．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）当y为何值时，代数式的值与代数式的值相等． 26．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1)． (2) 27．（23-24九年级上·新疆克拉玛依·期末）解下列方程 (1)； (2)． 28．（2024·山西吕梁·一模）（1）计算： （2）解方程： 29．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）（1）化简：，然后从，0，2中选择一个合适的值代入求解． （2）． 30．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）（1）计算：； （2）下面是用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得，……第一步 配方，得，……第二步 即． 开方，得，……第三步 解得，．……第四步 以上过程从第______步开始出错．请用适当的方法解该方程． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 32．（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 33．（23-24八年级下·山东济南·期中）用公式法解方程：． 34．（2024·陕西西安·三模）解方程：． 35．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）解方程：． 37．（2024·江苏无锡·一模）（1）解方程：； （2）解方程组： 38．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 39．（2024·辽宁大连·一模）（1）计算：； （2）解方程：． 40．（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24八年级下·北京石景山·期末）选择适当的方法解方程：． 42．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用适当的方法解方程∶ (1) (2) 43．（23-24八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 44．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 45．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1)； (2)． 46．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 47．（23-24八年级下·广东惠州·期末）（1）计算：； （2）解方程． 48．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）（1）计算：   （2）解方程： 49．（2024·辽宁大连·三模）（1）计算：； （2）解方程：． 50．（2024·广东佛山·二模）（1）解方程： （2）化简： 【经典例题六 换元法解一元二次方程】 51．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 52．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 54．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 55．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 56．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 57．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 58．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 59．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 60．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】 61．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 62．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 64．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 66．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 67．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 68．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 69．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 70．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【经典例题八 一元二次方程新定义计算】 71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数关系计算 题型八 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】将方程的解代入方程中得到式子的值，再整体代入多项式即可得到答案； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将解代入方程得到式子的值，整体代入多项式求解． 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知方程和有共同的根是，求的值． 【答案】 【分析】把共同的根代入方程和中，解二元一次方程组，求出和的值即可． 【详解】解：将代入和，得： ， ①②，得： ， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程及一元二次方程的解的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，代入公共根，解方程组求出待定系数的值． 3．（2023·广东中山·三模）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】化简结果为，原式值为1． 【分析】先根据分式化简规则进行化简计算，再根据方程解的性质求解式子的值． 【详解】解：原式 ． 是方程的根， ． ． 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分式化简过程需要先因式分解后上下约分，注意最后形式中不保留括号（除因式分解外任何计算结果都不保留括号）．正确的计算是解题的关键． 4．（2023·湖南衡阳·二模）已知：a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】4 【分析】先将代入方程得到，再由，用整体代入法进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． ∵是关于x的方程的一个根， ∴． ∴． ∴原式． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解． 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）先化简，再求值：．其中是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 7．（22-23八年级下·山东德州·期末）（1） （2）先化简，再求值： ，其中是方程的根． 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）先化简各二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并； （2）将式子括号内通分，并将分子分母因式分解，再进行约分化简，然后根据一元二次方程的根的定义得出，代入化简的式子即可求解． 【详解】解：（1） ． （2） ， 是方程的根， ，即， 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，分式的化简求值及一元二次方程的解的定义，熟练掌握二次根式加减法运算法则及分式的混合运算法则是解题关键． 8．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知． (1)化简A； (2)若a是方程的一个根，求A的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用分式的加减法计算法则进行解答； （2）把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）是方程的一个根， ． ． ． ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，分式的加减法，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． 9．（22-23八年级·上海·假期作业）判断方程后面括号里的数是否为方程的根． (1)； (2)． 【答案】(1)，是原方程的根 (2)是原方程的根，不是原方程的根 【分析】根据方程的根的定义，将已知数字代入方程，使得等式成立的数字即为方程的根． 【详解】（1）解：将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴是原方程的根； 将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴是原方程的根； ∴，是原方程的根 （2）解：将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴是原方程的根； 将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴不是原方程的根， ∴是原方程的根，不是原方程的根． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程的根即为使等式成立的未知数的值是解题关键． 10．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）计算： (1)计算： (2)已知是一元二次方程的一个根，求a的值． 【答案】(1) ； (2)a=-2． 【分析】(1) 先计算乘方，再算乘法，最后去括号后进行加减法； (2) 把x=1代入方程求出a的值，注意a-2≠0． 【详解】（1）解：原式= = = ； （2）把x=1代入方程，得a−2+a2−3−a+1=0 ， 整理，得a2−4=0， 解得a=±2， 又a-2≠0， ∴a=-2． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，易错点是忽略一元二次方程的定义（a-2≠0）． 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）选用适当的方法解方程： 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，两边开平方得到，进一步即可得到方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 【详解】解： 两边开平方得到，， ∴或， ∴， 12．（23-24九年级上·青海西宁·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项、然后运用直接开平方法解答即可；掌握运用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 13．（23-24九年级上·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．利用直接开平方法解出方程． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 14．（23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得． 15．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开平方法求解； （2）先移项，再利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴， ∴，． 16．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）利用直接开平方法即可得到答案． （2）先移项，然后通过因式分解，得到答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， 移项，得， 分解因式，得， ∴或， ∴，． 17．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程：直接开平方法和因式分解法，本题的关键是利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程来求解． （1）先方程两边乘以4，得，再根据直接开平方法即可； （2）将方程右边移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：方程可化为， 直接开平方，得， ，； （2）， ， ， ， 或， ，． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）把方程左边分解因式，再化为两个一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴或， 解得：，． 19．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）利用完全平方公式，直接开平方即可求得； （2）利用提取公因式即可求得答案； 【详解】（1）解：， ， ， 或 ． （2）， ， 或， 20．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项得，再配方得，然后运用完全平方公式以及直接开平方法作答即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得． 整理，得， 开方，得． ∴，． 22．（23-24九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．利用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，； 23．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当方法解下列方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ，． 25．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）当y为何值时，代数式的值与代数式的值相等． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握配方法解一元二次方程是解题关键．根据题意可得，整理并求解即可． 【详解】解：根据题意得：，即， ， 解得：． 26．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法解答即可； （2）根据配方法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 27．（23-24九年级上·新疆克拉玛依·期末）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开平方法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1） ∴ 解得，； （2） ，． 28．（2024·山西吕梁·一模）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，负整数指数幂，有理数的混合计算： （1）先计算负整数指数幂，再根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）先去括号，然后移项，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 29．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）（1）化简：，然后从，0，2中选择一个合适的值代入求解． （2）． 【答案】（1），1（2）， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及解一元二次方程． （1）本题考查分式的化简求值，先通分，然后约分化简，最后选择合适的值代入求解即可． （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：：， ， ∵， ∴，， 将代入，原式 （2） 移项得：， 配方得：， 即， ∴． 即，或， ∴，． 30．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）（1）计算：； （2）下面是用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得，……第一步 配方，得，……第二步 即． 开方，得，……第三步 解得，．……第四步 以上过程从第______步开始出错．请用适当的方法解该方程． 【答案】（1）；（2）二，，，解方程的过程见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和一元二次方程的解法，掌握利用配方法解方程的步骤和二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）利用配方法解方程即可求解． 【详解】解：（1） 原式 ； （2）从第二步开始出错，解方程如下： ，． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得： 32．（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴， ∴． 33．（23-24八年级下·山东济南·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，运用公式法即可求解。 【详解】解： ∵，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 34．（2024·陕西西安·三模）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先将所给的一元二次方程整理后，分别找到二次项系数、一次项系数、常数项，利用一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，, ∵， ∴， 解得：，． 35．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 36．（2024·陕西西安·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据情况灵活选用解法求解即可． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴，． 37．（2024·江苏无锡·一模）（1）解方程：； （2）解方程组： 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解二元一次方程组，解（1）的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．解（2）的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ，， ． 即，； （2）解： 整理得 得： 解得， 将代入①得 解得． ∴原方程组的解为． 38．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 39．（2024·辽宁大连·一模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了实数的运算、解一元二次方程，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式和绝对值、计算乘方，再加减计算即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ，，， ， ， 解得：，． 40．（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】若选①，则方程的解为；若选②，则方程的解为 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：①当，， ∴， ∴ 解得：； ②，； ∴ ∴ 解得：； ③，． ，原方程无解． 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24八年级下·北京石景山·期末）选择适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 42．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用适当的方法解方程∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 43．（23-24八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 44．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，分式的混合运算．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． （1）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，然后解方程； （2）先去括号，化除法为乘法，然后通过约分进行化简． 【详解】（1）解：． 整理，得． 所以或． 解得，； （2）解： ． 45．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，在解答此类问题时要根据方程的特点选择适当的方法． （1）提取公因式，把方程化为两个因式积的形式，求出的值即可； （2）先移项，再把方程化为两个因式积的形式，求出的值即可； 【详解】（1）解： ， ， 或， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． 46．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，． 47．（23-24八年级下·广东惠州·期末）（1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）3；（2）， 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法，准确计算． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 方程变为一般形式为：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 48．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）（1）计算：   （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查的是解一元二次方程、二次根式的加减法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、二次根式的加减法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质把二次根式化简，合并同类二次根式即可； （2）利用因式分解法解出一元二次方程． 【详解】（1） （2） 解∶ 解得∶ 49．（2024·辽宁大连·三模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【分析】此题考查了分式的混合运算和解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据分式的混合运算法则求解即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ； （2） 整理得， ∴或 解得，． 50．（2024·广东佛山·二模）（1）解方程： （2）化简： 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解即可； （2）利用分式混合运算的法则进行计算即可． 此题考查了解一元二次方程因式分解法，分式的混合运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键． 【详解】解：（1）， ， 或， ，； （2） ． 【经典例题六 换元法解一元二次方程】 51．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 52．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 54．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 55．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出t值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得（舍去）． ， 解得． 原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 解得， 原方程的解为． 56．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 57．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 58．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 59．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1)； (2)； (3)和． 【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； （3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解是：； （2）解：设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程的解是：； （3）解：设，则原方程可化为， 整理得， ∴， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：或， 经检验和都是原分式方程的解． 60．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法， （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， 解得：，（不合题意，舍去）， 则，． （2）设，则 ， ， 当时，，，， 当时，，无解． 故方程的解为，． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】 61．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意得到，，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）由题意得，该方程有两个不相等的实数根 ，即， 解得， 则的取值范围为且； （2）当时，， ， ． 62．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 【答案】(1)证明方法见详解 (2)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，韦达定理，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程中根的判别方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式展开，再根据一元二次方程的根的判别式“，方程有实数根；，方程无实数根”即可求解； （2）根据韦达定理分别表示出，，再根据，代入计算，几何因式分解法求一元二次方程的方法即可求解． 【详解】（1）证明：已知， 展开得，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有实数根； （2）解：已知有两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴或， ∴或． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】（1） 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． （2）解：∵菱形对角线长分别为、， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 64．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：∵，，， ∴， 解得， 故m的值为． 66．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和勾股定理． （1）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 67．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 【答案】(1)详见解析 (2)0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系，根据推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 68．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一个根为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式求解即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴不论取何值，该方程都有两个实数根． （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴，方程的另一个根为1． 69．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，当时则，，然后由得答案． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根， ，即， 解得， 的取值范围为； （2）解：方程有两个实数根，， ，， ， ，， ． 70．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴． 【经典例题八 一元二次方程新定义计算】 71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解定义的新运算，得出不等式是解题的关键，分和两种情况，分别根据定义的运算得出不等式，进而可得答案． 【详解】解：当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 综上所述，方程的解为：． 73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 【答案】 【分析】根据定义，分和两种情况进行解方程，得出x的值． 【详解】解：当时，， 解得：（舍），， 当时，， 解得：，不符合题意， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键． 74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 【答案】(1) (2)的值为1或或4 【分析】（1）利用新定义进行计算； （2）讨论：当时得到，当时得到，当时得到，然后分别解方程确定满足条件的值． 【详解】（1）解：2※； 故答案为； （2）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解方程． 76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，用的平方减去的平方，求出的值是多少即可； （2）根据，可得，据此求出的值是多少即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，解一元二次方程，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程的两根，即可得出结果； （2）根据点M坐标特点，判断出点M在直线上，然后当于点M时，取得最小值． 【详解】（1）解： 解得，， ∴； （2）解： 解得：， ∵， ∴点M在直线l：上， ∴当于点M时，取得最小值． 如图，设直线l：分别交x轴、y轴于点A、B，作于点M、于点H，则，    ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一次函数的性质等知识点，见一元二次方程，利用因式分解法求解，最短距离，垂线段距离最短，利用数形结合的思想求解是解题关键． 78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可； （2）根据“完美方程”的定义得到，则原方程为，再由是此“完美方程”的一个根，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ③， ∵， ∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：③． （2）解：是关于的“完美方程”， ， 原方程为． 是此“完美方程”的一个根， ，即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“邻根方程”； ②是“邻根方程” (2)或 【分析】（1）分别求解方程①②，即可进行判断； （2）利用因式分解即可求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ∴ ∴ ∵，， 故①不是“邻根方程” ② ∴ ∵ ∴②是“邻根方程” （2）解： ∴ ∴ 由题意得：或 解得：或 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解，熟练掌握各求解方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$