专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 因式分解解一元二次方程 题型四 配方法解一元二次方程 题型五 配方法的应用 题型六 公式法解一元二次方程 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 题型九 根的判别式综合应用 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（22-23八年级下·全国·单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）关于x的方程的解是（m，h，k均为常数，），则方程的解是 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 2．（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（2024·浙江·模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2023·河南南阳·一模）方程的根为（    ） A．2 B．4 C．6或2 D．2或4 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【经典例题四 配方法解一元二次方程】 【例4】（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）将方程配方成的形式为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）用配方法解一元二次方程，配方后的正确结果是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）解方程：，较好的方法是 法． 3．（2024·山西晋城·三模）（1）计算：； （2）解方程：． 【经典例题五 配方法的应用】 【例5】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（  　  ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·青海西宁·期中）一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．11 B．－11 C．17 D．－17 2．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）代数式的最小值为 ． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）配方 (1)若，则_____，_____ (2)如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边以的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当t为何值时，的面积最大?求该最大值． (3)式子的最大值为_____ 【经典例题六 公式法解一元二次方程】 【例6】（2023·贵州遵义·二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 1．（2023·山东淄博·一模）若是大于1的正整数，则的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如：，，，…若写成若干个连续奇数和中，最大的一个奇数是，则等于（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）将方程化成一般形式为，则 ，此方程的根是 ． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）（1）计算： （2）解方程： 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·广东汕头·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 2．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 3．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 1．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 2．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 3．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． (1)求函数的图象上所有“整根点”的坐标； (2)若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（2023九年级上·全国·专题练习）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A． B． C． D． 1．（2023·湖北随州·一模）实数满足方程，则的值等于（    ） A． B．-1 C．或-1 D．或-1 2．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）已知的解是1，，则方程的解为 ． 3．（23-24九年级上·广西来宾·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为 ①，解得． 当时，，∴，∴． 当y＝4时，，，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的． (2)请利用以上知识解方程． 【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例11】（2024·河南南阳·二模）对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 1．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值． 1．（23-24九年级上·山西大同·期末）方程的较小实数根为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）若实数m、n满足，则的值为（　　） A．2 B．6 C．6或﹣2 D．6或2 3．（2024·湖北武汉·二模）对于一元二次方程，下列说法∶①时，方程一定有实数根；②若、异号，则方程一定有实数根；③时方程一定有两个不相等的实数根；④若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①②④ D．只有②③ 4．（2023·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（　　） A．2020 B．2021 C．2023 D．2018 5．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位于世界前列，其中杨辉三角（如图）就是一例．这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①“杨辉三角”中第9行所有数之和1024；②“杨辉三角” 中第20行第3个数为190；③；④的结果是；⑤当代数式的值是1时，a的值是或．上述结论中，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式： ． 7．（22-23九年级上·吉林长春·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若实数x满足，则代数式的值是 ． 9．（2023·吉林长春·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是 ． 10．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于 ． 11．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 13．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如果一元二次方程的两根均为正数，其中．且满足，那么称这个方程有“友好根”． (1)方程____________“友好根”（填“有”或“无”）； (2)若，则关于x的有无“友好根”？请说明理由． 14．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (2)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． 15．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）（1）解方程： ； （2）解方程，这是一个一元四次方程， 根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，，． 当时，，． 原方程有四个根：，，，． 请参照例题解方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 因式分解解一元二次方程 题型四 配方法解一元二次方程 题型五 配方法的应用 题型六 公式法解一元二次方程 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 题型九 根的判别式综合应用 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（22-23八年级下·全国·单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， 解得，，， 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有：；（同号且）；；同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解． 1．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用直接开平方法，求出一元二次方程的根是多少即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题关键． 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）关于x的方程的解是（m，h，k均为常数，），则方程的解是 【答案】 【分析】设，则变形为，结合x的方程的解是，得到解是， 故，求解即可． 【详解】设，则变形为， ∵ x的方程的解是， ∴解是， 故， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的根，正确理解根的定义是解题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义， 方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解； 【详解】解： 或， 解得或． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 2．（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键． 【详解】方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 【经典例题三 因式分解解一元二次方程】 【例3】（2024·浙江·模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程； ②当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程； ③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，然后代入验证即可判断． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故②正确； ③若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故③正确； 故选：C． 1．（2023·河南南阳·一模）方程的根为（    ） A．2 B．4 C．6或2 D．2或4 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程．用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，． 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次和根式的混合运算，解一元二次方程； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ∴ ∴ 解得： 【经典例题四 配方法解一元二次方程】 【例4】（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）将方程配方成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）用配方法解一元二次方程，配方后的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配方法进行运算，即可求解． 【详解】解：由原方程得：， 配方得：， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握和运用配方法是解决本题的关键． 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）解方程：，较好的方法是 法． 【答案】配方 【分析】根据方程的结构特点即可判断较好的方法为配方法． 【详解】解：将看成整体， ∵二次项系数为1，一次项系数为偶数， ∴较好的方法是配方法． 故答案为：配方． 【点睛】本题考查解一元二次方程——配方法．对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法比较简单． 3．（2024·山西晋城·三模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算、负整数指数幂、解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则和配方法解方程是解题关键． （1）先计算括号内的加法、负整数指数幂、化简绝对值，再计算乘法，然后计算减法即可得； （2）利用配方法解一元二次方程即可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ，即， ， ， 所以方程的解为． 【经典例题五 配方法的应用】 【例5】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的特征就可以解决本题． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是把握完全平方公式的特征：． 1．（22-23九年级上·青海西宁·期中）一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．11 B．－11 C．17 D．－17 【答案】C 【分析】根据配方法求出与的值，代入求值即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 因式分解得， 一元二次方程化成的形式为， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到解一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方法的具体步骤是解决问题的关键． 2．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用配方法将代数式变形，再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解： ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）配方 (1)若，则_____，_____ (2)如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边以的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当t为何值时，的面积最大?求该最大值． (3)式子的最大值为_____ 【答案】(1)，； (2)当时，的面积最大，最大为 (3) 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，解题的关键是能正确配方； （1）利用配方法即可求解； （2）依题意可知：再由三角形面积公式可得，代入数值根据二次函数的性质即可得出结论； （3）根据配方可得，再根据二次根式的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：依题意可知：， ， 当时，的面积最大，最大为； （3）解：， 当时，的最小值为3， 即的最大值为， 故答案为：． 【经典例题六 公式法解一元二次方程】 【例6】（2023·贵州遵义·二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 【答案】B 【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可． 【详解】解：当时，则， ∴，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，则， ∴，即， 解得：（不符合题意，舍去），， 综上：x的值是5或， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 1．（2023·山东淄博·一模）若是大于1的正整数，则的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如：，，，…若写成若干个连续奇数和中，最大的一个奇数是，则等于（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】C 【分析】根据题意可知，改写成若干个连续奇数的和的第一个奇数是，且共有a个奇数，则可得最后一个数，由题意可得关于a的方程，解方程即可求出a． 【详解】解：∵，，，…， ∴改写成若干个连续奇数的和的第一个奇数是，且共有a个奇数， ∴最后一个奇数为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，涉及整式的化简，解一元二次方程等知识，得到改写成若干个连续奇数的和的第一个奇数是，且共有a个奇数，由此求得最后一个奇数是解题的关键与难点． 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）将方程化成一般形式为，则 ，此方程的根是 ． 【答案】 217 或 【分析】（1）直接将化为一般形式即可得出a、b、c，代入即可求出的值，再利用公式法求解即可． 【详解】解：∵ ∴； ∴ 次方程的根：， ∴或； 【点睛】本题考查用公式法解一元二次方程，熟练运用公式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查二次根式的运算，解一元二次方程，解题的关键是： （1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，二次根式的加减法则计算即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ∴， ∴， ∴，． 【经典例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例7】（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（    ） A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点 C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数解析式是解题的关键．根据已知条件用表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果． 【详解】解：设经过与两点的直线l的解析式为， 代入得，，解得， 直线l的解析式为， 与二次函数联立则有：， 整理得：， ， 当且仅当时，， 即时，，直线l与二次函数有两个交点． 故选C． 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（2024·吉林长春·一模）当时，关于的方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：关于的方程， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 3．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 【经典例题八 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例8】（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：D． 1．（2024·广东汕头·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 2．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 3．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 【经典例题九 根的判别式综合应用】 【例9】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 1．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k， ∴ ， ， 又∵， ∴a-b-1=0，即a=b+1， ∴ax2-2ax+a=0， 解得：x1=x2=1， ∴k=1， 当时，即， 即， ∴a（a-1）<0， 即或 解得0<a<1 当时，即， 即， ∴a（a-1）>0， 即或 解得：a>1或a<0． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 2．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 【答案】3 【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根， ∴且， 解得且， ∴方程的根为， 根据根与系数的关系可得，，且为正整数， ∴， ∵为完全平方数且为正整数， ∴或或， 解得或6或13， 即满足条件的共有3个， 故答案为：3． 3．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． (1)求函数的图象上所有“整根点”的坐标； (2)若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由x是整数，当时，是一个无理数，可得，从而可得答案； （2）先利用根的判别式得到，结合题意可得，或1，2，3，4，再利用求根公式进行分析判断即可； （3）把原方程化为，可得，，则，整理，可得，即，结合、都是整数，或，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵x是整数，当时，是一个无理数， ∴时，不是整数， ∴，， 即函数的图象上的“整根点”的只有1个，坐标为． （2）∵有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵为整数， ∴或1，2，3，4， ∵原方程有两个整数根， ∴为整数， 而也为整数， ∴当时，，符合题意， 当，或2，或3时不是整数，不符合题意； 当时，，，符合题意； 综上：或． （3）∵， 则， ∴或 ∴，， ∴， 整理，可得， ∴， ∵、都是整数， ∴或， ∴或， ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴此时方程无解； 综上，可得． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一元二次方程的整数根问题，熟练的利用根的判别式，因式分解的方法，公式法解方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（2023九年级上·全国·专题练习）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程中的换成，再移项即可． 【详解】解：根据题意，得，即； 故选：D． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换． 1．（2022·湖北随州·一模）实数满足方程，则的值等于（    ） A． B．-1 C．或-1 D．或-1 【答案】A 【分析】设，则原方程转化为关于y的新方程，通过解新方程来求y的值，即的值． 【详解】设，则由原方程，得， 整理，得， 解得，， 即的值等于或． ∵x为实数， 当时，即， 此时， 方程没有实数根； ∴不符合题意，舍去． 当时，即， 此时， 方程有两个不相等的实数根； ∴符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是注意x的值为实数．算出的结果要在实数范围内有意义． 2．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）已知的解是1，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】利用换元法，解一元二次方程即可． 【详解】解：令， 则：方程转化为： ， ∵的解是1，， ∴的解为：， 即：或， 解得：，； 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键． 3．（23-24九年级上·广西来宾·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为 ①，解得． 当时，，∴，∴． 当y＝4时，，，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的． (2)请利用以上知识解方程． 【答案】(1)换元 (2)方程的解为， 【分析】本题考查了利用换元法解次数高于2次的整式方程，读懂材料提供的方法是关键． （1）根据材料即可完成解答； （2）利用材料中提供的方法完成即可． 【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，体现了换元的数学思想． 故答案为：换元； （2）解：设， 原方程可化为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得 ， 当时，， 解得 ， ∴原方程的解为，． 【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例11】（2024·河南南阳·二模）对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，先根据新运算的法则，列出一元二次方程，再根据判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 1．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 【答案】 ② 2或0/0或2 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算： （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 3．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值． 【答案】(1)；． (2)17． 【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方是解题的关键． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 该多项式关于对称； ， 关于对称， ； 故答案为：；． （2）， 关于对称， ， ， 当时，多项式的值为5， ， ， 时， ． 1．（23-24九年级上·山西大同·期末）方程的较小实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，然后两个根比较即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， 或， ∴，； 由， 故选：． 2．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）若实数m、n满足，则的值为（　　） A．2 B．6 C．6或﹣2 D．6或2 【答案】B 【分析】令，得，解一元二次方程即可． 【详解】解：令， 则原方程为：， 则，， 所以，， 故的值为6或﹣2， ∵， ∴的值为6， 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的求解，了解一元二次方程的求解方法是解题的关键． 3．（2024·湖北武汉·二模）对于一元二次方程，下列说法∶①时，方程一定有实数根；②若、异号，则方程一定有实数根；③时方程一定有两个不相等的实数根；④若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①②④ D．只有②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 当时，可计算出，根据判别式的意义可对①进行判断；若、异号，可得到，则根据判别式的意义可对②进行判断；分类讨论：当、异号，方程有两个不相等的实数根；当、同号，由得到，根据判别式的意义可对③进行判断；利用对④进行判断． 【详解】解：当时，，则方程一定有实数根，所以①正确； 若、异号，则，则方程一定有实数根，所以②正确； 当、异号，方程有两个不相等的实数根；当、同号，若，则，所以方程一定有两个不相等的实数根，所以③正确； 方程有两个不相等的实数根，若，则方程没有两个不相等实数根，所以④错误． 故选∶B． 4．（2023·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（　　） A．2020 B．2021 C．2023 D．2018 【答案】B 【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1， 即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3， ∴， 解得：， ∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021， 则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键． 5．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位于世界前列，其中杨辉三角（如图）就是一例．这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①“杨辉三角”中第9行所有数之和1024；②“杨辉三角” 中第20行第3个数为190；③；④的结果是；⑤当代数式的值是1时，a的值是或．上述结论中，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据每一行的数字，找到其和的规律为可得每一行的数字和为，进而可以判断①，根据从第2行起，每一行的第三个数字分别为找到规律第行的的第3个数字为，即可判断②，根据第三行的数字可得，即可判③④，根据，因式分解一元二次方程即可求得的值，即可判断⑤ 【详解】解：每一行的数字，其和的规律为 第行的数字和为， 则“杨辉三角”中第9行所有数之和 故①不正确； 从第2行起，每一行的第3个数字分别为 第行的第3个数字为， “杨辉三角” 中第20行第3个数为； 故②正确； 第三行的数字为可得， 故③不正确， 故④正确 ， 解得或 的值是或． 故⑤正确 故正确的有3个， 故选B 【点睛】本题考查了因式分解解一元二次方程，数字类规律，找到规律是解题的关键． 6．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，本题令，用含y的代数式表示x，再分解因式即可． 【详解】解：令， ∴， ∴， 解得：，， ∴； 故答案为：． 7．（22-23九年级上·吉林长春·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式可直接得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的公式． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若实数x满足，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元二次方程．设，则，利用因式分解法求得即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴或， 解得或， 即或（方程无解，舍去）， ∴代数式的值是2， 故答案为：2． 9．（2023·吉林长春·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是 ． 【答案】1或（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”且二次项系数不等于0是解题的关键． 利用二次项系数非零及根的判别式，可得出关于k的一元一次不等式组，解之可得出k的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， k的值可能是1或（答案不唯一）； 故答案为：1或（答案不唯一） 10．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】 【分析】由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是5． 【详解】， ， ， 代数式的最小值等于5， 故答案为：． 【点睛】此题考查了代数式的变形及配方法的应用，关键是掌握完全平方公式并正确变形、计算． 11．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用直接开平方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解： ， ， ∴，； （2）， 或， ∴，． 12．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴或； （2）解： ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 13．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如果一元二次方程的两根均为正数，其中．且满足，那么称这个方程有“友好根”． (1)方程____________“友好根”（填“有”或“无”）； (2)若，则关于x的有无“友好根”？请说明理由． 【答案】(1)有 (2)这个方程有“友好根”，理由见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及根的判别式． （1）先解方程，求出两根，再求出两根的差，进行判断即可； （2）先根据t的取值范围，解方程，求出方程的解，再求出两根的差，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 或， ， ∵， ∴， ∴方程有“友好根”， 故答案为：有； （2）解：关于x的有“友好根”，理由如下： ， ∵， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴这个方程有“友好根”． 14．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (2)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． 【答案】(1)小， (2)大，13 (3)当时，此代数式有最小值 【分析】本题考查了配方法的应用，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答； （2）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答； （3）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ∵， ∴当时，此代数式有最小值， 故答案为：小，； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，此代数式有最大值13， 故答案为：大，13； （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，此代数式有最小值． 15．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）（1）解方程： ； （2）解方程，这是一个一元四次方程， 根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，，． 当时，，． 原方程有四个根：，，，． 请参照例题解方程． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）设，那么，原方程可变为，解得，．再分别解关于x的方程即可． 【详解】解：（1） ∴， 两边都加上1得，， ∴， 开平方得，， ∴，； （2） 设，那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，，即， ∵， ∴当时原方程没有实数根． 当时，，即，∴，． 原方程有两个根：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和换元法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$