精品解析：福建省漳州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（北师大版A卷）

2023-2024学年福建省漳州市八年级（下）期末数学试卷（北师大版A卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，熟记“分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式”是解题关键． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、中分子与分母含有公因式，不是最简分式，不符合题意； C、中分子与分母含有公因式，不是最简分式，不符合题意； D、中分子与分母含有公因式，不是最简分式，不符合题意； 故选：A 2. 如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作的作品《飞马》，该作品运用的数学方法是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用平移设计图案，平移变换不改变图形的形状、大小和方向，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移， 故选：A． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，并在数轴上表示．解出该不等式，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴该不等式的解集在数轴上表示为： 故选D． 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、，原不等式错误，不符合题意； B、，，原不等式正确，符合题意； C、，原不等式错误，不符合题意； D、，原不等式错误，不符合题意； 故选：B 5. 等腰三角形中，一个角为40°，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　） A. 100° B. 40° C. 40°或70° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论. 【详解】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数= ； 当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°， 故它的底角的度数是70°或40°. 故选C 【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想. 6. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、左边不是多项式，不符合因式分解定义，故本选项不符合题意； C、是恒等变形，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 7. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查的是分式值为零的条件以及分式有意义的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键． 8. 小丽同学学了物理《浮力》这一章后，明白了浸没在水中物体，当浮力大于重力时，物体会上浮，最终会漂浮在水面．现有一实心木块（不吸水）的密度为a千克每立方米，把它浸没在水中后放手，木块最终漂浮在水面，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据当浮力大于重力时，物体会上浮，最终会漂浮在水面．得出，再化简，即可作答． 【详解】解：依题意，设木块的体积为立方米， ∵当浮力大于重力时，物体会上浮，最终会漂浮在水面．且水的密度为千克每立方米 ∴ 则 则a的取值范围是 故选：D 9. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（ ） A. 60 B. 48 C. 36 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质、矩形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：点，分别为，的中点， 是的中位线，， ， 在和中， ， ， ∴， 长方形面积为：， 的面积是48， 故选：B． 10. 如图，在平行四边形中，平分，交于点，，垂足为点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质，得出，因为平分，所以，结合等腰三角形的判定与性质，得出，运用勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点A作 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ ∴ 则 ∵ ∴在 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若代数式有意义，则实数x取值范围是______． 【答案】x≠3 【解析】 【分析】根据分母不等于0解答． 【详解】∵有意义， ∴x-3≠0， ∴x≠3． 故答案x≠3． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解决此类问题的关键是分母不等于0． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．提公因式即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为： 13. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形内角问题，利用正多边形的内角和除以边数即可得到答案 【详解】解：， 即这个正八边形的一个内角是， 故答案为： 14. 如图，在中，，点在内部，，则点到的距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据题意得出是解题关键．延长交于点，根据题意可知在的垂直平分线上，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由勾股定理可得，进而得出的长，即可求出点到的距离． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， 在的垂直平分线上， ， ，， ， 在中，， ， 即点到的距离是， 故答案为： 15. 如图，的顶点坐标分别为，将绕某一点旋转可得到的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，图形与坐标，根据对应点的连线的垂直平分线会经过旋转中心，作图后运用数形结合思想，即可作答． 【详解】解：如图所示： 连接，然后作的垂直平分线，这两条垂直平分线交于一点，记为点P，为旋转中心，此时旋转中心的坐标是 故答案为： 16. 在平面直角坐标系内，一次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②当时，；③关于的不等式的解集是；④关于的不等式的解集是．其中正确的是______．（写出所有正确的结论的序号） 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】结合图象信息，运用数形结合思想，再根据一次函数图象与图象上点的坐标特征进行判断即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，一次函数的平移问题，难度适中． 【详解】解：由图象可知一次函数与轴交于一点 ∴把代入 得出 故①是正确的； ∴当时， 则②是错误的； 对于，当时，；当时，； 如图所示： 结合图象，关于的不等式的解集是； 故③是错误的； 令，则看做是向左平移一个单位得出 如图所示： ∴关于的不等式的解集是 故④是正确的 故答案为：①④． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共解集，即可作答． 【详解】解： 由得出 由得出 ∴不等式组的解集为 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内得出，再把除法化为乘法，然后化简得出 【详解】解： 把代入，得 19. 如图，，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20. 为了创建干净整洁、文明和谐的社区环境，某社区准备购买A、B两种分类垃圾桶．购买A种垃圾桶共花费1600元，B种垃圾桶共花费1200元．已知A种垃圾桶的单价是B种垃圾桶单价的2倍，且购买A种垃圾桶的数量比B种垃圾桶的数量少10个，求A，B两种垃圾桶买的单价． 【答案】A种垃圾桶的单价是80元，B种垃圾桶的单价是40元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设种垃圾桶的单价是元，则种垃圾桶每组的单价是元，利用数量总价单价，结合用1600元购买种垃圾桶的数量比用1200元购买种垃圾桶少10个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出种垃圾桶每组的单价，即可作答． 【详解】解：设种垃圾桶的单价是元，则种垃圾桶的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：B种垃圾桶的单价是40元，A种垃圾桶的单价是80元． 21. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，______． 求证：______． 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了数学语言，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理易证四边形是平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分，即可证明结论． 【详解】解：已知：如图，在中，点、分别是、的中点，是边上的中线． 求证：与互相平分． 证明：如图，连接、， 是边上的中线， 点是的中点， 点、分别是、的中点， 、是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 22. 根据以下思考，探索完成任务． 完全平方的思考 素材1 “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 如：分解因式． 解：原式 ． 素材2 若，则． 任务1 分解因式 用素材1的方法分解因式：． 任务2 方案选择 为发展教育事业，某市计划连续两次加大对教育经费的投入，现有两种方案： 方案1：第一次投入的增长率为，第二次投入的增长率为； 方案2：两次投入的增长率均为． 若，则连续投入两次后，哪一种方案的教育经费较多？为什么？ 【答案】任务1：；任务2：方案2的教育经费较多，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，正确理解素材，掌握配方法是解题关键． 任务1：仿照素材1，利用配方法分解因式即可； 任务2：由题意可知，连续投入两次后，方案1的教育经费为，方案2的教育经费为，作差后利用完全平方式求解即可． 【详解】解：任务1： ； 任务2：方案2的教育经费较多，理由如下： 由题意可知，连续投入两次后，方案1的教育经费为，方案2的教育经费为， ， ， ， ， 方案2的教育经费较多． 23. 已知：如图，在中，，把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点． （1）求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质、作一个角等于已知角，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，且把绕点按顺时针方向旋转，即先作出，再结合旋转性质，，以点C为圆心，为半径画弧交射线于一点，即为点，结合旋转性质，，分别以点D为圆心，的长为半径，以点C为圆心，的长为半径，画弧交于一点，即为点，再连接，即可作答． （2）根据旋转性质得出，证明是等边三角形，再结合线段关系运算，即可作答． 【小问1详解】 解：即为所求，如图： 【小问2详解】 解：依题意，连接 ∵把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点． ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴． 24. 阅读以下材料，回答问题． 对于三个数，用表示这三个数中最小的数，用表示不小于的最小整数，则．例如：，，，． （1）______． （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义以及一元一次不等式的运算， （1）根据表示这三个数中最小的数，进行作答即可． （2）结合用表示不小于的最小整数，则，且为整数，即可作答． （3）要进行分类讨论，分三种情况，然后解出的范围，再为整数选择的值，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，∵，， ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：∵，， ∴ 即 解得， 又∵为整数， ∴或 【小问3详解】 解：①当时， 则，时，即， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ②当时， 则时，即， ∴ ∵ ∴ ∴， 又∵是整数， ∴或． ③当时， 则，，时，即， ∵， ∴，即， 又∵是整数， ∴， 综上所述：，则或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． （1）求出点的坐标； （2）一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； （3）点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见详解 （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及图形与坐标，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平行四边形的性质，得出，因为，则点的坐标； （2）依题意，把代入，得出，把代入，得，根据线段关系，分别表达，进行比较，即可作答． （3）结合以为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，即当为对角线时，当为边时，运用平行四边形的性质：对边平行且相等等性质内容进行线段的运算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴点的坐标； 【小问2详解】 解：∵，且由（1）得点的坐标， ∴， ∵一次函数的图象分别与线段交于两点， ∴把代入，得出，即， ∴把代入，得出，即， 则， ∴； 【小问3详解】 解：存在： 已知，点在轴上， 当为对角线时，四边形是平行四边形， ∴， 如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∴点与点重合， ∴，， ∴； 当为边时，且当N在轴的负半轴时，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的坐标，， ∴点的纵坐标与的纵坐标相等，即为， ∵点是直线上一动点， ∴此时点与点重合的， ∴，则， ∵当N在轴的负半轴， ∴； 当为边时，且当N在轴的正半轴时，如图所示： 设点N的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的坐标，， ∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到点， ∴点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴点的纵坐标为， ∵点是直线上一动点， ∴设的解析式为， 把，代入， 则， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 解得， ∴， ∵点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴， ∴； 综上：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年福建省漳州市八年级（下）期末数学试卷（北师大版A卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作作品《飞马》，该作品运用的数学方法是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形中，一个角为40°，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　） A. 100° B. 40° C. 40°或70° D. 70° 6. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 8. 小丽同学学了物理《浮力》这一章后，明白了浸没在水中的物体，当浮力大于重力时，物体会上浮，最终会漂浮在水面．现有一实心木块（不吸水）的密度为a千克每立方米，把它浸没在水中后放手，木块最终漂浮在水面，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（ ） A 60 B. 48 C. 36 D. 24 10. 如图，在平行四边形中，平分，交于点，，垂足为点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 分解因式：______． 13. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是______ 14. 如图，在中，，点在内部，，则点到的距离是______． 15. 如图，的顶点坐标分别为，将绕某一点旋转可得到的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是______． 16. 在平面直角坐标系内，一次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②当时，；③关于的不等式的解集是；④关于的不等式的解集是．其中正确的是______．（写出所有正确的结论的序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组． 18. 化简求值：，其中． 19. 如图，，，，．求证：． 20. 为了创建干净整洁、文明和谐的社区环境，某社区准备购买A、B两种分类垃圾桶．购买A种垃圾桶共花费1600元，B种垃圾桶共花费1200元．已知A种垃圾桶的单价是B种垃圾桶单价的2倍，且购买A种垃圾桶的数量比B种垃圾桶的数量少10个，求A，B两种垃圾桶买的单价． 21. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，______． 求证：______． 证明： 22. 根据以下思考，探索完成任务． 完全平方的思考 素材1 “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 如：分解因式． 解：原式 ． 素材2 若，则． 任务1 分解因式 用素材1的方法分解因式：． 任务2 方案选择 为发展教育事业，某市计划连续两次加大对教育经费的投入，现有两种方案： 方案1：第一次投入的增长率为，第二次投入的增长率为； 方案2：两次投入增长率均为． 若，则连续投入两次后，哪一种方案的教育经费较多？为什么？ 23. 已知：如图，在中，，把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点． （1）求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若，求的长． 24. 阅读以下材料，回答问题． 对于三个数，用表示这三个数中最小的数，用表示不小于的最小整数，则．例如：，，，． （1）______． （2）若，求的值； （3）若，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． （1）求出点的坐标； （2）一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； （3）点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$