精品解析： 浙江省宁波市奉化区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023学年第二学期期末抽测八年级数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共7页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为100分钟． 2．请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，请将试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列方程中为一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 4. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．西山区某中学组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，以下是根据进入决赛的15位选手的比赛成绩制成的统计表： 成绩（分） 88 90 92 95 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 92，95 B. 95，98 C. 95，95 D. 96，95 5. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 7. 用反证法证明命题“在中，的对边分别是a，b，若，则 ．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 8. 某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数，的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. 两函数图象的交点坐标为 B. 直线分别与两函数图象交于，两点，则线段长为3 C. 当时， D. 当时，的值随着x值的增大而增大，的值随着x值的增大而减小 10. 如图，点E、F分别是平行四边形边上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，，，则阴影部分四边形的面积为（ ） A. 17 B. 19 C. 18 D. 25 试题卷Ⅱ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是8环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，由此可知________的成绩更稳定． 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则________． 14. 已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是________． 15. 如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为__________． 16. 如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为________． 三、解答题（共8小题，共72分，第17-21题8分，第22-23题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表： 笔试 面试 体能 甲 82 79 91 乙 84 80 76 丙 81 90 72 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序； （2）该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按的比例计入总分，总分最高者将被录用．根据规定，请你说明谁将被录用． 19. 如图是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．不写作法，保留作图痕迹． （1）在图1中画出的中点O； （2）图2中画一个，使点C在格点上． 20. 如图，中，点在上，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若为的角平分线，且，，求的周长． 21. 某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克． （1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？ 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 23. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 当检测距离为5米时，根据图1中数据，求出视力值n关于“E”形图边长b（）的函数表达式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长b． 素材2 图2为标准视力对照表，在检测视力时，眼睛能看清的最小“E”形图所对应的视力值n往往可以判断视力情况，近年来，随着电子产品的普及化，我国青少年近视现象越来越普遍，视力测试中大多青少年的视力值n低于1.0，属于视力不良． 探究2 视力测试中，当检测距离为5米时，低度近视区的视力值n的范围为，根据函数增减性直接写出低度近视的人眼睛能看清的最小“E”形图的边长范围． 素材3 图3为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．如图4，当θ确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为2.5米，求视力值1.2所对应行“E”形图边长． 24. 如图，点、、分别在正方形的边、、上，与相交于点． （1）如图1，当， ①求证：； ①平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，当，边长，，则的长为________（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期期末抽测八年级数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共7页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为100分钟． 2．请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，请将试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算结果正确的是（    ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、C、D进行判断． 【详解】解：A、，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算及算术平方根的定义，正确运用二次根式的乘法法则及识别平方根与算术平方根的区别是解题的关键． 3. 下列方程中为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A、是分式方程，不是一元二次方程； B、2（x-1）+x=2的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程； C、x2=2+3x只有一个未知数且未知数最高次数为2，是一元二次方程； D、x2-x3+4=0的未知数的最高次数是3，不是一元二次方程． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．西山区某中学组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，以下是根据进入决赛的15位选手的比赛成绩制成的统计表： 成绩（分） 88 90 92 95 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 92，95 B. 95，98 C. 95，95 D. 96，95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握众数、中位数的计算方法是解决问题的关键． 先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵95出现的次数最多，4次， ∴众数为95； ∵， ∴中位数是第8个数据：95． 故选：C． 5. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式可算出的值，由多边形外角和的定义和性质即可求解． 【详解】解：一个正边形的内角和为， ∴，解得，， ∵正六边形的外角和为， ∴每个外角的度数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查多边形内角和、外角和的综合运用，掌握内角和公式，正多边形外角和为的计算方法是解题的关键． 6. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形对角线互相平分和勾股定理是解题的关键．可求得，，由求，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， 故选：C． 7. 用反证法证明命题“在中，的对边分别是a，b，若，则 ．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的第一步“假设命题结论的反面成立”即可选择． 【详解】解：由反证法的步骤可知第一步应假设． 故选B． 【点睛】本题考查反证法．掌握反证法的第一步为“假设命题结论的反面成立”是解题关键． 8. 某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由一个主干长出个支干且每个支干又长出同样数目的小分支，可得出共长出个小分支，再结合主干、支干和小分支的总数是111，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：一个主干长出个支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 9. 函数，的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. 两函数图象的交点坐标为 B. 直线分别与两函数图象交于，两点，则线段的长为3 C. 当时， D. 当时，的值随着x值的增大而增大，的值随着x值的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据正比例函数和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、将点分别代入两个解析式得，，正确，不符合题意； B、将分别代入两个函数解析式，，，，正确，不符合题意； C、当时，，原说法错误，符合题意； D、当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小，正确，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，点E、F分别是平行四边形边上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，，，则阴影部分四边形的面积为（ ） A. 17 B. 19 C. 18 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质．利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ∴， 设，，，则，，， ∴， ， 即阴影部分四边形的面积为25； 故选：D． 试题卷Ⅱ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案． 【详解】解：∵次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是8环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，由此可知________的成绩更稳定． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定．据此即可求解． 【详解】解：∵甲、乙两名运动员次射击的平均成绩都是8环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为， ∴甲的成绩更稳定． 故答案为：甲． 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．由矩形的性质可得，由可得是等边三角形，，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故答案为：10． 14. 已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x＋2，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DQ∥BC， ∴∠Q＝∠BEF， ∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE， ∴△QFA≌△EFB（AAS）， ∴AQ＝BE＝x，QF＝EF， ∵∠EFD＝90°， ∴DF⊥QE， ∴DQ＝DE＝x＋2， ∵AE⊥BC，BCAD， ∴AE⊥AD， ∴∠AEB＝∠EAD＝90°， ∵AE2＝DE2−AD2＝AB2−BE2， ∴（x＋2）2−4＝6−x2， 整理得：2x2＋4x−6＝0， 解得x＝1或−3（舍弃）， ∴BE＝1， ∴AE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16. 如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与四边形的综合，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识点．延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，证明，得到，．根据四边形是菱形，，得到，设，则，根据勾股定理求出，求出点，即可求出，证四边形为矩形，得到，求出点，根据，，，即可求出的值，则可以得出点的坐标，根据点F在反比例函数图象上，即可得到答案． 【详解】解：延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，如图所示， ∵轴，，， ∴轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ， 解得：， ∵， ∴， ∴点， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分，第17-21题8分，第22-23题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 详解】（1）计算： （2）解方程：． 或 ， 18. 某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表： 笔试 面试 体能 甲 82 79 91 乙 84 80 76 丙 81 90 72 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序； （2）该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按的比例计入总分，总分最高者将被录用．根据规定，请你说明谁将被录用． 【答案】（1）甲、丙、乙 （2）乙将被录用． 【解析】 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，理解平均数公式是关键． （1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断； （2）利用加权平均数公式求解，即可判断． 【小问1详解】 解：甲、乙、丙三人的平均分分别是， ，，， 所以三人的平均分从高到低是：甲、丙、乙； 【小问2详解】 解：因为甲的面试分不合格，所以甲首先被淘汰． 乙的加权平均分是：； 丙的加权平均分是：； 因为乙的加权平均分最高，因此，乙将被录用． 19. 如图是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．不写作法，保留作图痕迹． （1）在图1中画出的中点O； （2）在图2中画一个，使点C在格点上． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计、菱形的性质等知识， （1）根据菱形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质即可得到结论； 解题的关键是灵活运用菱形的性质解决问题． 【小问1详解】 如图所示，连交于点O， 由图和菱形的性质知：，， ∴四边形为平行四边形， ∴对角线和互相平分， ∴点O为线段的中点， ∴点O即为所求； 【小问2详解】 如图所示，连，与格点交于点C， 由图和菱形的性质知：，， ∴， ∴为直角三角形， ∴点C即为所求． 20. 如图，在中，点在上，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若为的角平分线，且，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，结合题意可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据等角对等边可得，求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 21. 某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克． （1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？ 【答案】（1）土豆平均亩产量的年增长率为 （2）该合作社增加土豆种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x，根据2023年土豆的平均亩产量达到1440千克，列出方程进行求解即可； （2）设增加土豆种植面积a亩，根据土豆种植的总成本不变，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x． 根据题意，得． 解得，．（不合题意，舍去） 答：土豆平均亩产量的年增长率为． 【小问2详解】 解：设增加土豆种植面积a亩． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去），． 答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变． 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求最值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为． 23. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 当检测距离为5米时，根据图1中数据，求出视力值n关于“E”形图边长b（）的函数表达式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长b． 素材2 图2为标准视力对照表，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所对应的视力值n往往可以判断视力情况，近年来，随着电子产品的普及化，我国青少年近视现象越来越普遍，视力测试中大多青少年的视力值n低于1.0，属于视力不良． 探究2 视力测试中，当检测距离为5米时，低度近视区的视力值n的范围为，根据函数增减性直接写出低度近视的人眼睛能看清的最小“E”形图的边长范围． 素材3 图3为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．如图4，当θ确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为2.5米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究1：视力值n关于“E”形图边长b（mm）的函数表达式为；视力值1.2所对应行的“E”形图边长； 探究2：视力值n的范围为时，“E”形图的边长范围为 探究3：若检测距离为2.5米，视力值1.2所对应行的“E”形图边长 【解析】 【分析】（1）由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得，将代入得：； （2）根据反比例函数的增减性求解即可； （3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系， 设 将代入得：，解得： ∴，将其余各点一一代入验证，都符合关系式， 将代入得： ∴视力值n关于“E”形图边长b（）的函数表达式为；视力值1.2所对应行的“E”形图边长； 探究2：由探究1得： 当时，；当时，； ∴视力值n的范围为时，“E”形图的边长范围为； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的， ∴ 由探究1得： ∴ ，解得： ∴若检测距离为2.5米，视力值1.2所对应行的“E”形图边长 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 24. 如图，点、、分别在正方形的边、、上，与相交于点． （1）如图1，当， ①求证：； ①平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，当，边长，，则的长为________（直接写出结果）． 【答案】（1）①见解析；①见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，则，，通过证得，即可证得结论；②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，．再证明是三角形的中位线即可解决问题； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出，，根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设．则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【小问1详解】 证明：①作交的延长线于点， ∵正方形， ∴，四边形是平行四边形，则，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，． 同①， ， ，， ， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：过点作交于点，则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 设．则， 在中，，解得， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理、勾股定理的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $