精品解析：安徽合肥第四十五中学2026-2027学年上学期九年级数学 10月绿色调研

第21章《二次函数与反比例函数》绿色调研2026.10 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数需满足三个条件：解析式为整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0，据此逐一判断选项. 【详解】解：A选项，未说明，当时函数不是二次函数，不符合要求； B选项，的右边为分式，不是整式，不符合二次函数定义； C选项，满足二次函数的所有条件，符合要求； D选项，化简得，是一次函数，不符合要求. 2. 将二次函数化为的形式，则，的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法整理求解即可．利用配方法先提出二次项的系数，凑成完全平方式即可求解． 【详解】解：. ∵顶点式为， ∴，． 3. 如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位， 得，即； 再向上平移1个单位，得，即. 4. 已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 5. 若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由其符号决定，已知顶点坐标，选用顶点式求解． 【详解】解：∵抛物线与形状相同，方向相反， ∴二次项系数为3, ∵抛物线顶点坐标为， ∴该抛物线的函数表达式为． 6. 将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 该函数表达式为 B. 当时， C. 当面条的总长度不超过3200时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，根据反比例函数的性质逐项判断. 【详解】解：设函数表达式为    图象过点     ，故 A 说法正确； 当  时，，故 B 说法正确； 当  时，，解得 ，故 C 说法错误； 当  时， 随  的增大而减小，且  ，故 D 说法正确.  7. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象确定,，确定对称轴在轴右侧,排除、；利用交点横坐标建立与的关系式，利用抛物线解析式确定与与轴交点纵坐标大于，从而排除，得出答案． 【详解】解：从图象看，一次函数自左到右下降，故, 反比例函数图象在第二、四象限，故， 二次函数对称轴为直线，在轴右侧, 故选项、不符合题意； 只限于双曲线交点横坐标是，这个点既在一次函数上，也在反比例函数上， 代入一次函数和反比例函数得 ：, 整理得：, 将代入二次函数得,故二次函数的图象过, 当时，, 故抛物线与轴交点纵坐标大于，从而选项不符合题意，选符合题意． 8. 如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（ ）． A. 40 B. C. 60 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，鸭舍的面积为，则，根据矩形面积公式列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，鸭舍的面积为， 由题意得， ， ∵墙的长度为，且， ∴， ∴， ∵在中，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴鸭舍面积的最大值为． 9. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若无解，则；⑤若方程的解为，，则，．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号及关系；由对称轴求出，把代入解析式得，得，求出；由抛物线与轴交点在和之间（不包括这两点），得出，由可得结论；由得，最小值为，由无解得；由对称性得抛物线与轴的另一交点为，得方程的解为，对于方程，令，可求的值． 【详解】解：∵函数开口方向向上， ∴； ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴a、b异号，， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为， ∴， ∴； 把代入解析式得， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线与轴交点在和之间（不包括这两点）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵是抛物线的对称轴，且开口向上， ∴函数的最小值是， ∵无解， ∴，故④正确； 由对称性得抛物线与轴的另一交点为， ∴方程的解为， 对于方程，令，则， ∴，， ∴ 解得，或，故⑤错误． 综上，正确的结论是①④，共2个． 10. 在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（ ） A. 7 B. 11 C. 22 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】先将二次函数配方确定对称轴，结合开口方向与的取值范围确定最值对应的值，再根据最小值为列方程求出，进而计算； 【详解】解：将二次函数配方得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点处取得最大值， ∵，对称轴在取值范围内， ∴当时，取最大值，即， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，取最小值，即， 解得， ∴． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的对称轴为直线________． 【答案】## 【解析】 【分析】已知二次函数的一般式，利用二次函数一般式的对称轴公式计算即可得到结果． 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为直线． ，，代入公式得 因此该二次函数的对称轴为直线． 12. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得，故，利用函数交点的横坐标解答即可． 【详解】解：根据题意，得，故， 表示二次函数图象在直线的下方， 根据图象，得图象交点的横坐标为， 故的解集为：． 13. 如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，设，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，进而得到，，设，列出表示面积的等式，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 设， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵轴于点， ∴设， ∵点位于第二象限， ∴，， ∴， 解得：． 14. 已知二次函数． （1）当函数值时，的值为________ （2）当时，二次函数对应图象与直线有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 ①. 或 ②. 或 【解析】 【分析】(1) 将代入二次函数解析式求解一元二次方程即可得到的值； (2) 根据与二次函数的交点横坐标，要求交点落在区间内，分两种情况解不等式得到的取值范围． 【详解】解：(1) 把代入，得， 整理得， 因式分解得， 解得或； (2) 由(1)得，二次函数与直线的交点横坐标为和， ∵当时，二次函数对应图象与直线有公共点， ∴至少有一个交点的横坐标落在内，分两种情况讨论： 情况1： 解不等式得. 情况2： 解不等式得. 综上，的取值范围是或． 三、解答题（本题共9小题，满分90分） 15. 已知二次函数的图象与轴交于，且经过，求二次函数的表达式和抛物线的顶点坐标． 【答案】 二次函数的表达式为，抛物线的顶点坐标为. 【解析】 【分析】根据二次函数与轴的两个交点设交点式，代入已知点求系数得解析式，再利用抛物线的对称性求顶点坐标． 【详解】∵ 二次函数的图象与轴交于，， ∴ 设二次函数的表达式为（）． ∵ 函数图象经过点， ∴ 将，代入表达式， 得 ． ． 解得． ∴ 二次函数的表达式为． ∵ 抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称， ∴ 对称轴为直线． 将代入， 得 ． ∴ 抛物线的顶点坐标为． 16. 将函数的图象左右平移，使得新的函数图象经过点，求新函数的表达式和平移的方向和距离． 【答案】新函数的表达式为，向右平移1个单位；或新函数的表达式为，向左平移3个单位． 【解析】 【分析】根据函数的图象左右平移，设新函数的表达方式为：，利用待定系数法求出新函数解析式，再根据解析式判断平移方式即可． 【详解】解：设新函数的表达方式为：， ∵新的函数图象经过点， ∴， 解得：或， 当时，新函数的表达方式为：，向右平移1个单位； 当时，新函数的表达方式为：，向左平移3个单位． 17. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与的函数表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意设，，则，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中函数表达式中求解即可． 【小问1详解】 解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，． 18. 已知函数． （1）画出函数图象； （2）根据图象回答问题． ①方程的根为________． ②不等式的解集为________． 【答案】（1）解：画函数图象如下： 1 6 0 0 6 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据列表，描点，连线，即可画出图象； （2）根据图象即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由图可得，当，即时，． ∴方程的根为 ②由图可得，当，即时，． 19. 已知二次函数和一次函数． （1）求证：此二次函数和一次函数的图象总有交点． （2）若只有一个交点，求该交点坐标． 【答案】（1） 证明：联立和， 得， 整理得， ∵ ， ∴该一元二次方程总有实数根，即二次函数和一次函数的图象总有交点； （2） 该交点坐标为 【解析】 【分析】（1）将一次函数代入二次函数解析式，转化为一元二次方程，通过判别式非负证明两函数图象总有交点； （2）由两函数只有一个交点得判别式为0，求出后代入计算交点坐标； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵两函数图象只有一个交点， ∴联立得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即， 由（1）得， ∴， 解得， 将代入， 得， 解得：， 将，代入， 得， ∴该交点坐标为． 20. 某商品每件进价20元，当每件售价为35元时，日销售量为100件．若每件售价高于35元，则每涨1元，日销售量减少10件．若每件售价低于35元，每降1元，日销售量增加10件．物价局规定，该商品每件售价不得低于进价且不得高于50元．若每件商品售价为元（为整数）． （1）设日销售利润为元，求关于的函数表达式． （2）当售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）当且为整数时，；当且为整数时，． （2）售价定为32元或33元时，日销售利润最大，最大利润为1560元． 【解析】 【分析】（1）分售价不高于35元、高于35元两种情况计算日销售量，结合利润公式列函数表达式，注意销量非负的实际限制． （2）根据二次函数的开口方向与对称轴，结合自变量的整数限制和取值范围，求利润最大值． 【小问1详解】 解：每件商品利润为元． ① 当且为整数时， 日销售量为件， ． ② 当且为整数时， 日销售量为 件． ∵ 日销售量不能为负， ∴ 当 ，即时， ； 当时，日销售量为0，． 综上所述， 当且为整数时， ； 当且为整数时，． 【小问2详解】 解：当时，． 当时， ， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵ 为整数，且， ∴ 当或时，取最大值． 代入计算得． ∴ 日销售利润最大值为1560元，对应售价为32元或33元． 答：当售价定为32元或33元时，日销售利润最大，最大利润为1560元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． （1）求，的值； （2）在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； （3）关于的不等式的解集为________． 【答案】（1） （2）点的坐标是或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入和求出即可； （2）设此直线交轴于点C，求得，，再根据面积求出点P坐标； （3）的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方时对应的x的值． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于， ∴把代入和，得： ，， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知，直线表达式为，设此直线交轴于点C，如下图： ∴， 解得：， ∴， ∵直线，当时，， 解得：， ， ∵在轴上找一点，使得的面积等于12， ∴， ， ， ∴点的坐标是或； 【小问3详解】 解：由图可知，双曲线的图象在一次函数的图象的上方时满足不等式， ∴x的取值范围为或． 22. 已知抛物线与直线相交于，两点．点为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． （1）设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数表达式．并求出的最大值． （2）当点是的中点时，求点的坐标． 【答案】（1），的最大值为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）先由抛物线与直线相交于，两点，可得的取值范围，再由轴，可得，，即可求解； （2）由轴于点，可得，再根据中点坐标公式列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线相交于，两点， ∴令，整理得， 解得，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵点在直线上方， ∴， ∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵点在直线上方，点在直线上， ∴，即， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值为． 【小问2详解】 解：∵轴于点， ∴， ∵，， ∴当点是的中点时，， 整理得， 解得， 由（1）可知，， ∴， 当时，， ∴点的坐标为． 23. 已知二次函数（，，为常数且） （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且图象经过点，求函数的最小值； ②若该函数图象与轴只有一个交点，求证： （2）已知该函数图象经过，．若，且抛物线的对称轴在直线，之间，不包含这两条直线．求的取值范围． 【答案】（1）①函数的最小值为. ②证明：当时，二次函数为. ∵函数图象与轴只有一个交点， ∴，即． ∴． ∵， ∴，即． （2）的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）①把代入，利用对称轴公式求出，再将点代入解析式求出，写出二次函数，根据开口向上，在对称轴处取得最小值，计算最小值． ②函数与轴只有一个交点，得判别式，建立关系式；把转化为关于的二次函数，利用二次函数性质证明不等式． （2）由两点，构造方程，利用韦达定理得到与系数关系，结合已知求出；再根据对称轴范围列出不等式，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：①二次函数的，对称轴， ， ， ， 图象过点， ， 解得， ， ， 当时，； ②略 【小问2详解】 解：图象经过，， ，， ，， ，是方程的两个不等实数根， ， ， ， ， 对称轴，且， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章《二次函数与反比例函数》绿色调研2026.10 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数化为的形式，则，的值分别为（ ） A. B. C. D. 3. 如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 该函数表达式为 B. 当时， C. 当面条的总长度不超过3200时， D. 当时， 7. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（ ）． A. 40 B. C. 60 D. 9. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若无解，则；⑤若方程的解为，，则，．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（ ） A. 7 B. 11 C. 22 D. 26 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的对称轴为直线________． 12. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 13. 如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 14. 已知二次函数． （1）当函数值时，的值为________ （2）当时，二次函数对应图象与直线有公共点，则的取值范围是________． 三、解答题（本题共9小题，满分90分） 15. 已知二次函数的图象与轴交于，且经过，求二次函数的表达式和抛物线的顶点坐标． 16. 将函数的图象左右平移，使得新的函数图象经过点，求新函数的表达式和平移的方向和距离． 17. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与的函数表达式； （2）当时，求的值． 18. 已知函数． （1）画出函数图象； （2）根据图象回答问题． ①方程的根为________． ②不等式的解集为________． 19. 已知二次函数和一次函数． （1）求证：此二次函数和一次函数的图象总有交点． （2）若只有一个交点，求该交点坐标． 20. 某商品每件进价20元，当每件售价为35元时，日销售量为100件．若每件售价高于35元，则每涨1元，日销售量减少10件．若每件售价低于35元，每降1元，日销售量增加10件．物价局规定，该商品每件售价不得低于进价且不得高于50元．若每件商品售价为元（为整数）． （1）设日销售利润为元，求关于的函数表达式． （2）当售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． （1）求，的值； （2）在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； （3）关于的不等式的解集为________． 22. 已知抛物线与直线相交于，两点．点为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． （1）设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数表达式．并求出的最大值． （2）当点是的中点时，求点的坐标． 23. 已知二次函数（，，为常数且） （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且图象经过点，求函数的最小值； ②若该函数图象与轴只有一个交点，求证： （2）已知该函数图象经过，．若，且抛物线的对称轴在直线，之间，不包含这两条直线．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $