精品解析：甘肃省天水市张家川回族自治县第二高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

张家川县第二中学第二学期期中试卷 高一 数学 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 1. 若，，则的坐标是 A. （1，2） B. （-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 2. 已知向量，，若与方向相反，则（ ） A. 54 B. 48 C. D. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ）． A. 若都是单位向量，则 B. 向量与是两平行向量 C. 若，则四点构成平行四边形 D. 两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同 6. 已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 7. 已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列是函数图象的对称轴方程的是（ ） A. B. C. D. 12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，且，则 C. 若，则为的垂心 D. 若为的内心，且，则 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13. ，，则______． 14. 已知向量，若，则___________. 15. 已知向量，方向相反，且，，则在方向上的投影向量为______. 16. 为测量河对岸一建筑物的高度，测量人员选取与建筑物底部C在同一水平面内的两个测量基点A与B，并测得：，，，且在B处测得建筑物顶部仰角为30°，则这个建筑物的高度为______m； 四、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 化简下列各向量的表达式： （1）； （2）； （3）； 18. （1）若，求的值； （2）化简求值：. 19. 计算 （1） （2） （3） 20. 化简： （1） （2）. 21. 已知. （1）化简; （2）若求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家川县第二中学第二学期期中试卷 高一 数学 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 1. 若，，则的坐标是 A. （1，2） B. （-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，求得的坐标． 【详解】∵的坐标等于的坐标减去的坐标， ∴. 故选：B． 2. 已知向量，，若与方向相反，则（ ） A. 54 B. 48 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再求即可. 【详解】向量，，若与方向相反， 所以，解得. 所以， . 故选：D 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，再根据数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C. 4. 下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项判断即可. 【详解】对于A，是零向量，不可以作为平面向量一组基底； 对于B， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底； 对于C， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底； 对于D，因为，所以是一组不平行的非零向量，可以作为平面向量一组基底. 故选：D. 5. 下列命题正确的是（ ）． A. 若都是单位向量，则 B. 向量与是两平行向量 C. 若，则四点构成平行四边形 D. 两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的概念、共线向量的性质、向量相等的充要条件逐项判断即可. 【详解】对A，若都是单位向量，则，但是的方向不确定，故A不正确； 对B，因为，故向量，故B正确； 对C，若，则四点构成平行四边形，或四点共线，故C不正确； 对D，两向量相等的充要条件是它们的大小和方向相同，与向量的起点与终点位置无关，故D不正确. 故选：B. 6. 已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 故选：B 7. 已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点为，利用表达，利用向量数量积运算公式计算，得到，从而得到与反向共线时取得最小值，当与同向共线时，取得最大值，从而得到取值范围. 【详解】， 设的中点为，在半径为的圆中，，得，， ， 即， 当与反向共线时，取得最小值； 当与同向共线时，取得最大值； 即的取值范围是； 故选：D 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案. 【详解】设，则 . 故选：A 二、多选题：本大题共4小题，每题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，“马”走一步可能到达E，F，G三点中的一点，利用平面向量运算法则计算出结果. 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，-2），B（-3，0），C（3，-2），D（-2，1）， “马”走一步可能到达E，F，G三点中的一点，因为E（1，-1），F（2，0），G（4，0）， 所以=（4，-1），=（5，0），=（7，0）.又=（-2，3）， 所以·=-11，·=-10，·=-14. 故选：ACD 10. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示，结合基底的定义依次求解即可. 【详解】对于A，零向量与任意向量共线，则向量与共线，不能作为基底，A不是； 对于B，由，得与不共线，能作为基底，B是； 对于C，由，得与不共线，能作为基底，C是； D：由，得与不共线，能作为基底，D是. 故选：BCD 11. 下列是函数图象的对称轴方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简，然后直接求解即可. 【详解】， 因为函数的图象的对称轴方程为，即， 所以的图象的对称轴方程为，易知BC正确． 故答案为：BC 12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，且，则 C. 若，则为的垂心 D. 若为的内心，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意得到，A错误，计算，根据比例关系得到B正确，确定得到C正确，根据面积公式得到，得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，则，错误； 对选项B：，， 故，，正确； 对选项C：，即，故， 同理可得，，故为的垂心，正确； 对选项D：，故，设内接圆半径为， ，，，即， 即，，正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13. ，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式，结合的范围进行求值 【详解】因为，所以，又，所以，所以. 故答案为： 14. 已知向量，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示进行求解. 【详解】因为，所以； 因为，所以，即. 故答案为：. 15. 已知向量，方向相反，且，，则在方向上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算求解即可. 【详解】因为向量，方向相反,所以，夹角, 所以在方向上的投影向量为. 故答案为: 16. 为测量河对岸一建筑物的高度，测量人员选取与建筑物底部C在同一水平面内的两个测量基点A与B，并测得：，，，且在B处测得建筑物顶部仰角为30°，则这个建筑物的高度为______m； 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出BC，再在直角三角形中计算作答. 【详解】在中，，，则，而，如图， 由正弦定理得：， 在中，。，则（m） 所以建筑物的高度为m. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 化简下列各向量的表达式： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）. （2）. （3） 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 18. （1）若，求的值； （2）化简求值：. 【答案】（1）；（2）18 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式求解即可； （2）根据指数幂的运算性质求解即可； 【详解】（1） . （2）原式 . 19. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用复数的四则运算即可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 20. 化简： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和（差）的正弦公式计算可得； （2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系及诱导公式计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 21. 已知. （1）化简; （2）若求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式即可化简； （2）利用同角三角函数的基本关系可求的值，进而根据二倍角公式化简，即可得出答案． 【小问1详解】 根据诱导公式得： . 【小问2详解】 因为所以，， 所以由可得：， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $