精品解析：山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试题

山东省青岛大学附中2023-2024学年九年级上学期 开学数学试卷 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客亿人次，将亿这个数据用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集是 x＞2，则m的取值范围是（　　） A. m＜1 B. m≥1 C. m≤1 D. m＞1 5. 如图，将向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 7. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3Cm的纸带边沿上，另一个顶 点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（3）， 则三角板的最大边的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A. 8 B. 6 C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. （1）计算：＝___________________； （2）分解因式： ____________． 10. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则方程为__________________________________ 11. 如图所示，若，则________． 12. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集是__________． 13. 如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 _________． 14. 对于正数x，规定，例如，则的结果是＝________． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15. 尺规作图： 已知线段a，b，求作菱形，使菱形边长等于a，对角线． 结论： 四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题） 16. 计算： （1）化简：； （2）解不等式组：． 17. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 “美团” ① 6 6 1.2 “滴滴” 6 ② 4 ③ （1）完成表格填空：①__________②__________③__________ （2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 18. 小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表： 类别 次数 购买A商品数量（件） 购买B商品数量（件） 消费金额（元） 第一次 4 5 320 第二次 2 6 300 第三次 5 7 258 解答下列问题： （1）第　　次购买有折扣； （2）求A、B两种商品的原价； （3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数； （4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件． 19. “节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的型自行车去年销售总额为元，今年该自行车每辆售价比去年降低元．若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加．请解答以下问题： （1）型自行车今年每辆售价为多少？ （2）该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型进货数量不超过型车数量的倍．型车和型车每辆的进价分别为元和元，型车每辆的售价为元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点C（3，4）． （1）求、的值； （2）若D点是线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E． ①设D点的横坐标为，线段DE的长为，则与的函数关系式为_______； ②连接AD，若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标； （3）在平面内是否存在点Q，使以O、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，E为中点，过点O作交的延长线于H，连接与． （1）求证：； （2）当四边形是怎样的特殊四边形时，四边形为菱形？请说明理由． 22. 甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息后再沿原路下山，他们离山脚的距离随时间（）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题： （1）甲同学上山过程中与的函数解析式为__________；点的坐标为__________． （2）若甲同学下山时在点处与乙同学相遇，此时点与山顶的距离为． ①求甲同学下山过程中与的函数解析式； ②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米． 23. 【问题提出】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？ 【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论. 探究一：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？ 当，时，显然有种不同的选择方法； 当，时，有，；，；，这种不同的选择方法； 当，时，有________种不同的选择方法； …… 由上可知：从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 探究二：如果从，个连续的自然数中选择个，个……个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？ 我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空. ... 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； …… 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； …… 由上可知：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法. 【问题解决】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题. （1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有______种不同的选择. （2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排号到号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有______种不同的选择方法. 【拓展延伸】如图，将一个的图案放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有______种不同的放置方法. 24. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒． （1）当点经过点时，求直线的函数解析式； （2）求的面积关于的函数解析式； （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛大学附中2023-2024学年九年级上学期 开学数学试卷 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．根据中心对称图形的定义（绕一个点旋转能够与自身重合的图形）判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中的图形都能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 选项B中的图形不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合． 故选：B． 2. 据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客亿人次，将亿这个数据用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：亿， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． 利用整式的混合运算法则计算并判断． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确． 故选：D． 4. 不等式组的解集是 x＞2，则m的取值范围是（　　） A. m＜1 B. m≥1 C. m≤1 D. m＞1 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解不等式的解集，再由不等式组的解集得到2≥m+1，据此进行解答. 【详解】解： 由①得，8＜4x，即x＞2， 故原不等式组可转化为：， 由不等式组的解集是x>2可得，m+1≤2，即m≤1， 故选择C. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，一元一次不等式的解法是解题的关键. 5. 如图，将向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移和旋转的性质画出旋转后的三角形，求出坐标即可． 【详解】如图所示，即为所求， 故点的坐标为． 故选A． 【点睛】本题考查平移和旋转的性质，解决本题的关键是正确画出旋转后的图形． 6. 如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，根据证明，得，，得到是的中位线，推出，即可得到的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 7. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3Cm的纸带边沿上，另一个顶 点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（3）， 则三角板的最大边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边． 【详解】解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3， 在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×3=6， 又三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6， ∴BC2=AB2+AC2=62+62=72， ∴BC=， 故选：D． 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连接，作于点H，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，由，求得，再证明四边形是矩形，则，因为，所以，则的最小值为4.8． 【详解】解：连接，作于点H， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. （1）计算：＝___________________； （2）分解因式： ____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分解因式，熟练掌握二次根式的乘法和因式分解方法是解题的关键． （1）计算乘方、负整数指数幂、二次根式的乘法后，进行加减法即可； （2）先提取公因式后利用完全公式分解因式即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 10. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则方程为__________________________________ 【答案】. 【解析】 【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程． 【详解】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由题意得： 故答案为 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间,然后根据时间关系来列方程． 11. 如图所示，若，则________． 【答案】##100度 【解析】 【详解】∵六边形的内角和为， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形内角和、三角形内角和定理等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于不等式（3+k）x≥b-1就是不等式kx+1≥-3x+b，观察图象，直线y=kx+1落在直线y=-3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求． 【详解】解：∵一次函数y=-3x+b和y=kx+1的图象交点为P（3，4）， ∴当x≥3时，kx+1≥-3x+b，即（3+k）x≥b-1， ∴不等式（3+k）x≥b-1的解集为x≥3． 故答案：x≥3． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 13. 如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 _________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 14. 对于正数x，规定，例如，则的结果是＝________． 【答案】2020.5 【解析】 【分析】根据题意计算出，，，，即可总结出规律…，由此即可计算． 【详解】∵， ∴ ， ， … ，． ∴ ， ． 故答案为：2020.5． 【点睛】本题考查了新定义运算，掌握规定的运算方法，运算中找出规律，利用规律，解决问题． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15. 尺规作图： 已知线段a，b，求作菱形，使菱形边长等于a，对角线． 结论： 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的作法、菱形的判定． ①作直线m，在m上截取线段； ②作线段的垂直平分线，交线段于点O； ③以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交直线于点B，D； ④分别连接； 则四边形就是所求作的菱形． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题） 16. 计算： （1）化简：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型． （1）先计算括号，再计算乘除即可； （2）分别求出两个不等式的解集，寻找公共部分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 由①可得， ∴， 由②可得， ∴， ∴不等式组的解集为：． 17. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 “美团” ① 6 6 1.2 “滴滴” 6 ② 4 ③ （1）完成表格填空：①__________②__________③__________ （2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 【答案】（1）①6；②4.5；③7.6；（2）选美团，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案； （2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【详解】（1）①美团平均月收入为：7×20%+8×10%+4×10%+5×20%+6×（1-20%-10%-10%-20%）=千元； ②滴滴中位数为4.5千元； ③方差为：=千元； 故答案为：6;4.5;7.6； （2）选美团，因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定． 【点睛】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大． 18. 小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表： 类别 次数 购买A商品数量（件） 购买B商品数量（件） 消费金额（元） 第一次 4 5 320 第二次 2 6 300 第三次 5 7 258 解答下列问题： （1）第　　次购买有折扣； （2）求A、B两种商品的原价； （3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数； （4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件． 【答案】（1）三 （2）A：30元/件，B：40元/件 （3）6 （4）7件 【解析】 【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣； （2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价=单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设折扣数为z，根据总价=单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价=单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论． 【详解】（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，∴第三次购买有折扣． 故答案为三． （2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据题意得： 解得：． 答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件． （3）设折扣数为z，根据题意得： 5×307×40258 解得：z=6． 答：折扣数为6． （4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据题意得： 30m+40（10﹣m）≤200 解得：m． ∵m为整数，∴m的最小值为7． 答：至少购买A商品7件． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 19. “节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的型自行车去年销售总额为元，今年该自行车每辆售价比去年降低元．若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加．请解答以下问题： （1）型自行车今年每辆售价为多少？ （2）该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型进货数量不超过型车数量的倍．型车和型车每辆的进价分别为元和元，型车每辆的售价为元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？ 【答案】（1）型自行车今年每辆售价为元 （2）购进型车辆，购进型车共辆，才能使这批自行车获利最多，获利最多元． 【解析】 【分析】（1）设型自行车今年每辆售价元，则去年每辆售价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进型车辆，则购进型车共辆，求得，设利润为元，根据题意，列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设型自行车今年每辆售价为元，则去年每辆售价为元，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解， 答：型自行车今年每辆售价为元； 【小问2详解】 解：设购进型车辆，则购进型车共辆， 依题意， 解得：， 根据题意，型车和型车每辆的进价分别为元和元，型自行车今年每辆售价为元；型车每辆的售价为元， 设利润为元，则 即 ∵， ∴当时取得最大值，最大值为（元） ∴购进型车辆，购进型车共辆，才能使这批自行车获利最多，获利最多元． 【点睛】本题考查了分式方程的意义，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程与不等式是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点C（3，4）． （1）求、的值； （2）若D点是线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E． ①设D点的横坐标为，线段DE的长为，则与的函数关系式为_______； ②连接AD，若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标； （3）在平面内是否存在点Q，使以O、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），b＝2；（2）①；②点D的坐标为（，）；（3）存在．点Q的坐标为（0，4），（6，4），（－6，－4）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法把点C的坐标分别代入两个解析式，解答即可； （2）①利用（1）得到的解析式，求得D、E两点的纵坐标，利用纵坐标之差求得； ②根据图象可知∠AOD是钝角，因此OA＝OD，进行计算解答； （3）根据平行四边形的性质画出图象，分情况分析即可． 【详解】（1）∵正比例函数的图象过点C（3，4）， ∴ ，解得：， ∴ 正比例函数为， ∵一次函数的图象过点C（3，4）， ∴，解得：， ∴ 一次函数解析式为：； （2）①∵D在正比例函数上， ∴ D点的纵坐标为：， ∵E点在一次函数上， ∴ E点的纵坐标为：， ∴ DE ＝； ②∵点A是一次函数与x轴的交点， ∴ A（－3，2），即OA＝3， 而D的坐标为（，）， ∵∠AOD是钝角，一定是等腰三角形的顶角， ∴OD＝OA， ∴OD＝，解得：， 则， ∴ 点D的坐标为（，）； （3）根据图象分析： ①当OA作为平行四边形的边时，则CQ∥OA，CQ＝OA， 此时Q（0，4），（6，4）， ②当OA作为平行四边形的对角线时，则OQ∥AC，OQ＝AC， 此时Q（－6，－4）， 综上所述，存在，点Q的坐标为（0，4），（6，4），（－6，－4）． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质，题目难度中等，熟练掌握运用坐标表示线段长度是关键． 21. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，E为中点，过点O作交的延长线于H，连接与． （1）求证：； （2）当四边形是怎样的特殊四边形时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）矩形， 理由如下： 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形菱形． 【解析】 【分析】（1）由证明即可； （2）先证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息后再沿原路下山，他们离山脚的距离随时间（）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题： （1）甲同学上山过程中与的函数解析式为__________；点的坐标为__________． （2）若甲同学下山时在点处与乙同学相遇，此时点与山顶的距离为． ①求甲同学下山过程中与的函数解析式； ②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米． 【答案】（1）， （2）①；②3km 【解析】 【分析】（1）由图可知，甲、乙两同学登山过程中路程s与时间t都成正比例函数，分别设甲、乙两同学上山过程中，路程与时间的函数解析式分别为，， 用待定系数法可求解，当S甲=4时，可得t=8，即可得D的坐标； （2）①把y=4-0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待定系数法求解即可； ②把y=4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系式求解即可． 【小问1详解】 设甲、乙两同学上山过程中，路程与时间的函数解析式分别为，， 由图象得，， ∴，， ∴解析式分别为，； 当时，， ∴甲到达山顶时间是，而甲同学到达山顶休息后再沿原路下山， ∴； 【小问2详解】 ①当时，， 解得， ∴点， 设甲同学下山过程中与的函数解析式为，将和代入，得 ，解得. ∴甲同学下山过程中与的函数解析式为； ②乙到山顶所用时间为， 当时，， ∴当乙到山顶时，甲与乙的距离是. 【点睛】本题考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求． 23. 【问题提出】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？ 【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论. 探究一：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？ 当，时，显然有种不同的选择方法； 当，时，有，；，；，这种不同的选择方法； 当，时，有________种不同的选择方法； …… 由上可知：从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 探究二：如果从，个连续的自然数中选择个，个……个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？ 我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空. ... 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； …… 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； …… 由上可知：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法. 【问题解决】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题. （1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有______种不同的选择. （2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排号到号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有______种不同的选择方法. 【拓展延伸】如图，将一个的图案放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有______种不同的放置方法. 【答案】探究一：；；探究二：；；；；【问题解决】【实际应用】（1）；（2）； 【拓展延伸】35. 【解析】 【分析】探究一: 观察规律可知，选择方法的数量比数的个数少1，由此可得结果； 探究二：选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少n-1 [问题解决]将探究二结论中的100换成m即可； [实际应用]（1）将m=7，n=2，代入之前的结论即可; （2）号到号总共13张电影票，将m=13，n=3，代入结论即可； [拓展延伸] 图案向右移动，每次一格，可得横向的放置方法数，图案向下移动，每次一格，可得纵向的放置方法数，两者相乘即为总数. 【详解】探究一: 当，时，由图可知有4种不同的选择方法，根据规律可知，从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法； 探究二：选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2, 选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3， 以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7， 选择n个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少n-1， 故从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有100-2=98种不同的选择方法； 故从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有100-3=97种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有100-7=93种不同的选择方法； …… 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有（100-n+1）种不同的选择方法. [问题解决] 由规律可知，从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法. [实际应用]（1）从连续7天选择连续2天，则m=7，n=2，总共有种选择； （2）号到号总共13张电影票，选择3连号，则m=13，n=3，总共有种不同选择； [拓展延伸] 图案向右移动，每次一格，可看作8选2，可得7种放置方法，图案向下移动，每次一格，可看作6选2，可得5种放置方法，故总共7×5=35种放置方法. 【点睛】本题考查探究规律问题，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论是解决此类问题的关键. 24. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒． （1）当点经过点时，求直线的函数解析式； （2）求面积关于的函数解析式； （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先利用长方形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法求的函数解析式； （2）分点P在上和点P在上两种情况，根据三角形面积公式列分段函数； （3）分，，三种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质分别求解． 【小问1详解】 解：长方形的顶点分别在轴与轴上，， ，，， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当点P在上时，，即， ，边上高为6， ； 当点P在上时，，即， ，边上高为， ， 的面积关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：存在，， 满足条件的点在上， 若为等腰三角形，分三种情况考虑： 当时， 在中，，， ， ， ； 当时，过点P作于点Q， ， ， ； 当时，过点D作于点E， 在中，， ， ， ， 综上可知，满足条件的P点坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，化为最简二次根式等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $