精品解析：湖南省衡阳市第三中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年上期衡阳市三中（衡铁一中初中部） 期末考试七年级数学试题 分值：120分 时量：120分钟 一、选择题（12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 正四边形与其他正多边形组合可以铺设地板，则该多边形可以是（　　） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 3. 下列解方程的步骤正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 如图，在△ABC中，∠C＝67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为(　　) A. 56° B. 50° C. 46° D. 40° 5. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A 3cm，3cm，6cm B. 12cm，4cm，7cm C. 5cm，6cm，2cm D. 2cm，7cm，4cm 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费元．其中毛笔每支元，围棋每副元，共有多少种购买方案．（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 不等式组无解，则m的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 如图，将若干个全等的正五边形按图排列组成一个圆圈，图中只排列了前两个正五边形．若要完成这一个圆圈共需要（ ）个这样的正五边形． A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 11. 如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，分别是中点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（6个小题，每小题3分，共18分） 13. 如果关于的方程是一元一次方程，那么_____． 14. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 15. 已知：若关于的二元一次方程组的解是，则a+b的值为_______ 16. 如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，绿化的面积为 _____平方米． 17. 如图，第个图案是由同样规格的黑白两种颜色的正方形地砖组成，第个、第个图案可以看做是第个图案经过平移得到的，那么第个图案中需要黑色正方形地砖________块（用含的式子表示）． 18. 如图，，分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（填序号） 三、解答题（8个小题，共66分） 19. 解方程：． 20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来： 21. 某机械厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，恰好能是每天生产出来产品配成一套？ 22. 将沿方向平移，得到． （1）若，求的度数； （2）若，求平移的距离． 23. 为了丰富同学们的课余生活．某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需元． （1）求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共个，笔记本不低于个，并且投入资金不多于元，则最多可购买多少个笔记本？ 24. 如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，． （1）求的长度； （2）求度数． 25. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上，请按要求画图： （1）在网格中画出向下平移个单位得到的，再画出关于直线l对称的； （2）在网格中画出绕点按逆时针方向旋转得到的； （3）求的面积． 26. 如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． （1）求证：； （2）如图所示，，则的度数为______； （3）如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上期衡阳市三中（衡铁一中初中部） 期末考试七年级数学试题 分值：120分 时量：120分钟 一、选择题（12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键． 2. 正四边形与其他正多边形组合可以铺设地板，则该多边形可以是（　　） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌问题．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．两个或几个正多边形的组合能否平面镶嵌，可以从所给的选项中看其内角和是否能等于，并以此为依据进行求解． 【详解】解：A．正五边形每个内角，正四边形每个内角，显然不能组合成，所以不能铺设地板，不符合题意； B．正六边形每个内角，正四边形每个内角，不能组合成，所以不能铺设地板，不符合题意； C．正四边形每个内角，正八边形每个内角，，所以能铺设地板，符合题意； D．因为十边形的每个内角是，正四边形的每个内角是，不能组合成，所以不能铺设地板，不符合题意； 故选：C． 3. 下列解方程的步骤正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】根据移项法则，等式的性质，去分母和去括号法则进行计算，判断即可．本题考查了一元一次方程的解法，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 【详解】解：A、， ，故本选项错误； B、， ，故本选项错误； C、， ，故本选项错误； D、， ，故本选项正确； 故选：D． 4. 如图，在△ABC中，∠C＝67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为(　　) A. 56° B. 50° C. 46° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和∠C=67°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B的度数． 【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上， ∴AC=AC′，∠C=∠AC′B′， ∴∠C=∠AC′C， ∵∠C=67°， ∴∠AC′B′=67°，∠AC′C=67°， ∴∠B′C′B=180°-∠AC′B′-∠AC′C=46°， 故选C． 【点睛】考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3cm，3cm，6cm B. 12cm，4cm，7cm C. 5cm，6cm，2cm D. 2cm，7cm，4cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意， B、，不可以组成三角形，故本选项不符合题意， C、，能组成三角形，故本选项符合题意， D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意， 故选：C． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，再根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【详解】解：， ∴， 解得：，在数轴上表示为： 故选B． 【点睛】本题查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7. 国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费元．其中毛笔每支元，围棋每副元，共有多少种购买方案．（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费元”，列出二元一次方程是解题的关键． 设购买毛笔支，围棋副，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出购买方案的数量． 【详解】解：设购买毛笔支，围棋副，根据题意得， ，即， ． 又，均为正整数， ∴或或或或， ∴班长有5种购买方案． 故选：B 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 9. 不等式组无解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法．先求出两个不等式的解集，根据已知即可得出关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组无解， ， ． 故选：B． 10. 如图，将若干个全等的正五边形按图排列组成一个圆圈，图中只排列了前两个正五边形．若要完成这一个圆圈共需要（ ）个这样的正五边形． A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形内角和，得到正五边形的每个内角为，再利用三角形内角和定理，得到。最后根据圆心角为求解你，即可得到答案． 【详解】解：正五边形的内角和为， 正五边形的每个内角为， ， 圆心角为， ，即完成这一个圆圈共需要10个这样的正五边形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和，解题关键是掌握多边形内角和公式：． 11. 如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是求出． 根据全等三角形对应角相等，得到，根据，求出，在利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选D． 12. 如图，在中，分别是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，然后求出S△BCE＝S△ABC，再根据S△BEF＝S△BCE列式求解即可． 【详解】∵点D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC， ∵点E是AD的中点， ∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD， ∴S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝（S△ABD＋S△ACD）＝S△ABC， ∵点F是CE中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×S△ABC， ＝××8=2 故填：A. 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，需熟记． 二、填空题（6个小题，每小题3分，共18分） 13. 如果关于的方程是一元一次方程，那么_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， 解得：， 故答案为：2． 14. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 15. 已知：若关于的二元一次方程组的解是，则a+b的值为_______ 【答案】3 【解析】 【分析】把方程组解代入原方程组可得答案． 【详解】解：把代入： 得： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，掌握以上知识点是解题关键． 16. 如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，绿化的面积为 _____平方米． 【答案】540 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的应用，确定绿化部分的长变为米，宽为米的长方形，进而求出面积即可． 【详解】解：绿化的面积为（平方米 ）． 故答案为：540． 17. 如图，第个图案是由同样规格的黑白两种颜色的正方形地砖组成，第个、第个图案可以看做是第个图案经过平移得到的，那么第个图案中需要黑色正方形地砖________块（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【详解】第一个图形有黑色瓷砖3+1=4块， 第二个图形有黑色瓷砖3×2+1=7块， 第三个图形有黑色瓷砖3×3+1=10块， … 第n个图形中需要黑色瓷砖（3n+1）块， 故答案为（3n+1）． 【点睛】本题主要考查了图形的变化，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 18. 如图，，分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，根据各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系即可解题． 【详解】①∵分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确． ②∵， ∴，故②正确， ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ④∵， ∴ ∵， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 三、解答题（8个小题，共66分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去分母、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解答即可． 【详解】解： 去分母，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来： 【答案】-2≤x＜0，解集表示在数轴上解析. 【解析】 【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定两个不等式解集的公共部分，即可确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得x<0， 由②得x≥-2， 所以-2≤x＜0；表示在数轴上如下图所示： 21. 某机械厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，恰好能是每天生产出来的产品配成一套？ 【答案】每天安排20名工人生产螺栓,100名工人生产螺母，恰好能是每天生产出来的产品配成一套． 【解析】 【详解】试题分析：设每天安排多x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，根据共有120名工人及一个螺栓与两个螺母配成一套，可得出方程组，解出即可得出答案． 试题解析：设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母． 解得 答：每天安排20名工人生产螺栓,100名工人生产螺母，恰好能是每天生产出来的产品配成一套． 22. 将沿方向平移，得到． （1）若，求的度数； （2）若，求平移的距离． 【答案】（1）80° （2）1cm 【解析】 【分析】本题考查图形的平移： （1）根据平移的性质，得到，得到，利用三角形的内角和进行求解即可； （2）用，求解即可． 【小问1详解】 解：∵平移， ∴． ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∴平移的距离为1 cm． 23. 为了丰富同学们的课余生活．某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需元． （1）求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共个，笔记本不低于个，并且投入资金不多于元，则最多可购买多少个笔记本？ 【答案】（1）购买一个笔记本需要元，一个夹子需要5元 （2）最多可购买个笔记本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购买一个笔记本需要x元，一个夹子需要y元，根据“购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个笔记本，则购买个夹子，根据“购买笔记本不低于38个，并且投入资金不多于1000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设购买一个笔记本需要x元，一个夹子需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个笔记本需要15元，一个夹子需要5元； 【小问2详解】 解：设购买m个笔记本，则购买个夹子， 依题意得：， 解得：． 又∵m整数， ∴m最多40个． 则最多可购买40个笔记本． 24. 如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高、三角形的面积等.（1）求出，根据三角形的面积求出，再求出结果即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求，根据角平分线求出，再求出即可． 【小问1详解】 解：∵点F是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴, ∵为的角平分线， ∴， ∴. 25. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上，请按要求画图： （1）在网格中画出向下平移个单位得到的，再画出关于直线l对称的； （2）在网格中画出绕点按逆时针方向旋转得到的； （3）求的面积． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）利用平移和轴对称的性质分别作图即可； （）利用旋转的性质作图即可； （）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求出的面积； 本题考查了基本作图——平移，旋转和轴对称，解题的关键是依据旋转的性质，轴对称的性质，平移的性质正确画出图形． 【小问1详解】 解：如图， ∴，即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：． 26. 如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． （1）求证：； （2）如图所示，，则的度数为______； （3）如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据三角形的内角和即可得到结论； （）由三角形外角性质得，，则，由三角形外角性质得，则，所以，又由三角形外角性质得，则，即可求解； （）根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，两等式相加得到，即，然后把，代入计算即可； 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∵， ∴； 【小问2详解】 如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：以为交点“字型”中，有，以为交点“字型”中，有， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$