平面向量过关检测卷-2025届高三数学一轮复习

（决胜高考）平面向量过关检测卷-2025届高三数学一轮复习 一、单选题 1．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的正六边形ABCDEF中，若，则（    ）    A．2 B．5 C．3 D．4 4．已知向量.若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．0 5．已知为坐标原点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．所在平面内一点满足：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设，点P是正八边形边上任一点，下列结论中正确的个数是（    ） ①与的夹角为； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； A．1 B．3 C．2 D．0 二、多选题 9．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．下列命题中正确的是（    ） A．若向量，，则的充要条件是 B．已知，是两个相互垂直的单位向量，，，且，则实数 C．已知正方形的边长为1，则 D．若O为四边形所在平面内一点，且，则四边形为平行四边形 11．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，即．在坐标系Oxy中，设，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．已知是实数，向量，不共线，若，则 ； ． 13．设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 14．如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 四、解答题 15．如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． (1)用，方表示； (2)若，求的值． 16．设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 17．在中，角的对边分别为，且 (1)求角A的大小； (2)若是线段的靠近点三等分点，且，求的面积. 18．如图，边长为6的正中，点D在边上，且，点M在线段上． (1)若，求的值； (2)若，求x及的值． 19．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．    (1)求； (2)求的坐标； (3)若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】先根据数量积的运算律求出，再根据投影向量的定义即可得解. 【详解】由，得， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 2．A 【分析】根据向量加法运算，即可求解. 【详解】由题意，. 故选：A. 3．D 【分析】建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF边长为， 则， ， 由， 则， 所以有，解得， 则. 故选：D.    4．A 【分析】由向量的数量积的运算性质结合向量的数量积的坐标运算公式可得答案. 【详解】由，则， 因为，所以，即，解得. 故选：A 5．B 【分析】设，得出点的轨迹方程为0.集合，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离，计算得出结果. 【详解】设， 点的轨迹方程为0. 又由，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离， . 故选：B. 6．B 【分析】根据平面向量线性运算得到，再由平面向量基本定理求出、，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，且、不共线， 所以，所以. 故选：B 7．D 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 8．C 【分析】根据平面向量夹角的定义即可判断①；根据正八面体的结构特征结合向量减法法则即可判断②；根据投影向量的定义即可判断③；以点为坐标原点建立平面直角坐标系，由正八面体的对称性，不妨设点在边上，再根据坐标公式计算即可判断④. 【详解】对于①，由题意， 则与的夹角为，故①错误； 对于②，由正八面体的结构特征得， 则，故②正确； 对于③，，即与的夹角为， 所以向量在向量上的投影向量为，故③正确； 故选：C. 【点睛】方法点睛：求向量的模的两种基本策略： （1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若，则，于是有. 9．AD 【分析】由数量积的定义和运算律可判断ACD；不一定等于可判断B. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，由于与的夹角不确定， 故不一定等于，故B错误； 对于C，与不一定相等，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD． 10．BD 【分析】对于A，由向量共线定理待定参数验算即可；对于B，由向量数量积的运算律列方程即可验算；对于C，由向量数量积的运算律即可验算；对于D，可以证明的中点重合，由此即可判断. 【详解】对于A，若，则设，即当且仅当，即当且仅当，故A错误； 对于B，由题意，解得，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，记的中点分别为，所以，即， 又共起点，所以重合，这表明的中点重合，即的互相平分，所以四边形为平行四边形，故D正确. 故选：BD. 11．AD 【分析】运用向量的加法运算，数量积运算法则，垂直和平行的结论，模长公式逐个求解即可. 【详解】由于Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则. ，A对； ，B错； ，则， 则， 即，C错； ，则，则， 消去化简得到.D对. 故选：AD. 12． 【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解. 【详解】因为不共线，由， 得，解得. 故答案为：；. 13．-7 【分析】求出，设，得到方程组，得到. 【详解】， A，C，D三点共线，设，则， 故，解得. 故答案为：-7 14． 【分析】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【详解】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得解； （2）由三角形相似得，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，， 所以； （2）如图，因为， 所以， 所以与相似， 所以, 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. 16．(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）证明和共线即可证三点共线； （2）由向量共线定理求解即可． 【详解】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 17．(1) (2)6 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，再求解角即可； （2）根据向量可得，结合模长以及数量积求出，再算面积即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理，则， 且，则，可得， 且，所以. （2）是线段的靠近点三等分点，即， 则，整理可得， 则， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 18．(1) (2)， 【分析】（1）直接分解向量即可求解； （2）由三点共线求得参数的值，然后求得各自的模、数量积，结合向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）∵，而， ∴，则即为所求． （2）∵，得，∴， 又∵，∴， ∵M、B、D三点共线，∴，则即为所求x的值． 则，∴， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴即为所求． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，即可得到是平行四边形，从而得到，即可得到，再根据计算可得； （3）设，，又三点共线，设，根据平面向量线性运算及基本定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意可得， ， - ； （2），，， ，，， ， 所以四边形是平行四边形，即， ， 是的中点， ， ， 又， ， ； （3）设，， 则，， 因为三点共线，则设， ， ， ， ，， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 或者：由，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是以平面向量基本定理得到，从而得到，再由基本不等式求出面积最小值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$