精品解析：山东省泰安肥城市老城街道初级中学（五四制）2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

九年级上学期数学开学检测试题 一、选择题（本答题共12个小题，共48分） 1. 在中，，若，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 2. 若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　） A. B. C. D. 3. 下列关于反比例函数，说法不正确的是（ ） A. 点(－2，1)、(－1，2)均在其图像上 B. 双曲线分布在二、四象限 C. 该函数图像上有两点A、B，若<，则< D. 当时，x的范围是0 < x < 1 4. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数y＝kx﹣k与y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，在中，于D，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）. A. 20海里 B. 10海里 C. 20海里 D. 30海里 10. 如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ） A 10 B. 24 C. 48 D. 50 12. 如图，已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为（，4），则的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 二、填空题（本大题共6小题，满分24分） 13. 若，则以为内角的的形状是 ___________． 14. 若函数是反比例函数，则______． 15. 如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 16. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的目标C，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台B的俯角，则飞机所处位置A与指挥台B的距离是______． 17. 如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若，则k的值为 ___________． 18. 如图，A、B是双曲线y＝上两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分） 19. （1）； （2）． 20. 如图，在中，AD是BC边上的高，，，求BC的长． 21. 如图，在四边形中，分别是的中点，若，，，求的值． 22. 在抗击新冠病毒期间，某公司为了员工们的身心健康，在休息日用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物释放过程中，y与x成反比例，如图所示，根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物燃烧到释放过程中，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量低到0.45毫克以下时，人员方可入室，那么从药物燃烧开始，至少需要经过多少分钟后，人员才能进入教室？ 23. 如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）． （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象另一个交点B的坐标，并求△A0B的面积． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． （3）若点是轴上的一点，的面积等于，求点坐标． 25. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期数学开学检测试题 一、选择题（本答题共12个小题，共48分） 1. 在中，，若，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直角三角形中，求出的度数，即可求． 【详解】解：如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 2. 若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，函数图象点的坐标特征，先利用点的坐标求出反比例函数解析式，再把点坐标代入计算即可求解，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 又∵点也在反比例函数图象上， ∴， 故选：． 3. 下列关于反比例函数，说法不正确的是（ ） A. 点(－2，1)、(－1，2)均在其图像上 B. 双曲线分布在二、四象限 C. 该函数图像上有两点A、B，若<，则< D. 当时，x的范围是0 < x < 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象与性质即可依次判断． 【详解】A.∵-2×1=-2，-1×2=-2， ∴点(－2，1)、(－1，2)均在其图像上，正确； B.∵k=-2＜0 ∴双曲线分布在二、四象限，正确； C. 该函数图像上有两点A、B，当<＜0时，<，当0＜<时， <，当<0＜时，＞，故错误； D. 当y=-2时，x=1 由图象可知当时，x的范围是0 < x < 1，正确； 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 4. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可得出答案. 【详解】 作AD垂直BC的延长线于点D 则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45° ∴ 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值. 5. 函数y＝kx﹣k与y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【详解】分类讨论①当时，的图象过第一、二、四象限， 的图象过第一、三象限， ②当时，的图象过第一、三、四象限， 的图象过经过第二、四象限． 综上，符合题意的选项为C． 故答案为：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键． 6. 一个钢球沿坡角斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当钢球沿斜坡向上滚动时，若过钢球向地面作垂线，作出图形，利用正弦函数来解． 【详解】如图所示，根据题意可知米， 在中，， 即米． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，掌握正弦的定义是解题的关键. 7. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使成立的取值范围是或， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 8. 如图，在中，于D，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理证明，求即可． 【详解】解：由勾股定理知，， ∴， 根据同角的余角相等，， ∴， 故选B． 【点睛】本题利用了等角进行转换求解，考查三角函数，准确的计算是解决本题的关键． 9. 如图，在某监测点B处望见一艘正在作业渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）. A. 20海里 B. 10海里 C. 20海里 D. 30海里 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度． 【详解】如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE， ∴∠DAB=15°， ∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°． 又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB=60°，∠CBA+∠ABE=∠CBE， ∴∠CBA=45°． ∴在直角△ABC中，sin∠ABC==， ∴BC=20海里． 故选C． 【点睛】解直角三角形的应用-方向角问题． 10. 如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠C=∠D=90°， 由折叠得AF=AD=BC=10，∠AFE=∠D=90°， 在Rt△ABF中，有AB=8，AF =10， ∴BF==6， ∵∠B=∠C=∠D=90°， ∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴tan∠EFC=tan∠BAF=． 故选A． 【点睛】考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．锐角三角函数的定义． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ） A. 10 B. 24 C. 48 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵菱形OABC的边OA在x轴上，点， ∴， ∵． ∴， ∴ ∴点C坐标 ∵若反比例函数经过点C， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标． 12. 如图，已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为（，4），则的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据点A的坐标可得△AOB的面积为12，点D的坐标为(－3,2)，根据点D的坐标可得反比例函数的解析式为：y=－，根据反比例函数k的几何意义可得：△BOC的面积为3，则△AOC的面积=△AOB的面积－△BCO的面积=12－3=9. 考点：反比例函数的性质 二、填空题（本大题共6小题，满分24分） 13. 若，则以为内角的的形状是 ___________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 14. 若函数是反比例函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】∵函数为反比例函数， ∴且． 解得． 故答案是：． 15. 如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 【答案】（﹣3，﹣4） 【解析】 【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可. 【详解】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案是：（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 16. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的目标C，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台B的俯角，则飞机所处位置A与指挥台B的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 17. 如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若，则k的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可设，表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴设， 则，点D坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∵反比例函数经过点D、E， ∴， 解得：或（舍）， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k． 18. 如图，A、B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】设．根据中点坐标公式和△ODC的面积确定mn=16，再结合反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：设． ∵D为OB中点， ∴． ∵AC⊥x轴， ∴，． ∵△ODC的面积为1， ∴． ∴mn=8． ∵点B在反比例函数上， ∴． ∴k=mn． ∴k=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查中点坐标公式，根据图形面积求反比例函数比例系数k，熟练掌握这些知识点是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分） 19. （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20. 如图，在中，AD是BC边上的高，，，求BC的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以分别求出的长，从而可以得到的长． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即BC的长． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，在四边形中，分别是的中点，若，，，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，三角形中位线的定义和性质和勾股定理的逆定理，连接，由中位线定理得，，求出，再利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，最后求即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 22. 在抗击新冠病毒期间，某公司为了员工们的身心健康，在休息日用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物释放过程中，y与x成反比例，如图所示，根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物燃烧到释放过程中，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量低到0.45毫克以下时，人员方可入室，那么从药物燃烧开始，至少需要经过多少分钟后，人员才能进入教室？ 【答案】（1）；（2）240分钟 【解析】 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（12，9）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点（12，9）代入即可； （2）把y≤0.45代入反比例函数解析式，求出相应的x的值即可． 【详解】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为， 代入为， 解得， 设药物燃烧后关于函数关系式为， 代入为， 解得． 所以药物燃烧时关于的函数关系式为，药物燃烧后关于的函数关系式为； （2）结合实际，令中，， 解得． 即从药物燃烧开始，至少需要经过240分钟后，学生才能进入教室． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 23. 如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）． （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△A0B的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+1；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）把点A坐标代入反比例函数的解析式中求出k的值，再把A点坐标代入一次函数解析式中求出b的值； （2）两个解析式联立列出方程组，求得点B坐标即可，再求出点C坐标，把△A0B的面积转化成△A0C的面积+△C0B的面积即可． 试题解析：（1）∵已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4），∴﹣k+4=k，解得k=2，故反比例函数的解析式为，又知A（1，2）在一次函数的图象上，故2=1+b，解得b=1，故一次函数的解析式为； （2）由题意得：，解得x=﹣2或1，∴B（﹣2，﹣1），令y=0，得x+1=0，解得x=﹣1，∴C（﹣1，0），∴S△A0B=S△A0C+S△C0B=×1×2+×1×1=1+=． 考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． （3）若点是轴上的一点，的面积等于，求点坐标． 【答案】（1）反比例解析式为，一次函数解析式为； （2）或； （3）点或． 【解析】 【分析】（）将坐标代入反比例函数解析式求出的值，确定出反比例解析式，将坐标代入反比例解析式求出的值，确定出M坐标，将与坐标代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （）由与横坐标，以及，将轴分为四个范围，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可； （）设，根据面积公式即可求解； 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：将代入反比例解析式得：， ∴反比例解析式为， 将代入反比例解析式得，即， 将与坐标代入一次函数解析式得 ，解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴根据图象可知，反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围为或； 【小问3详解】 设， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点或． 25. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 【答案】（1）24；（2）M点坐标为 【解析】 【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可； （2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可. 【详解】解：（1）∵点P纵坐标为4， ∴，解得， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 设，则， 当M点在P点右侧， ∴M点的坐标为， ∴（6+2t）（4-t）=24， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴M点的坐标为， 当M点在P点的左侧， ∴M点的坐标为， ∴（6-2t）（4+t）=24， 解得：，，均舍去． 综上，M点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$