精品解析：河南省郑州市二七区郑州市第二初级中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试题

2023-2024学年上学期九年级开学检测数学试卷 （考试时间100分钟，满分120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －l B. 0 C. 1 D. 2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. a D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. x3﹣xy2＝x（x﹣y）2 B. （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C. a2﹣b2+1＝（a﹣b）（a+b）+1 D. ﹣2x2﹣2xy＝﹣2x（x+y） 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 12. 不等式组的解集为______． 13. 如图，，、是等边三角形，若，，则的长是_______． 14. 某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1 000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x（cm）的统计图，则此时该基地高度不低于300 cm的“无絮杨”品种苗约有_____棵． A．x<200 B．200≤x<250 C．250≤x<300 D．300≤x<350 E．x≥350 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 三、解答题 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 19. 如图，在中，D是边上一点，E是边上一点，连接． （1）过点A作的平行线，与的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若D是的中点，求证：． 20. 如图，在中，对角线相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），连接．，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，求四边形的周长． 21. 在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； 22. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比B种菜苗价格便宜5元，用400元在市场上购买的A种菜苗和500元购买B种菜苗的捆数相同． （1）求每捆A种菜苗的价格． （2）学校决定购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍．求如何购买本次购买花费最少，最少费用为多少？ 23. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是 ；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是 ． （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，，若正方形的边长为1，直接写出的周长c取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上学期九年级开学检测数学试卷 （考试时间100分钟，满分120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －l B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴最小的数是-1． 故选：A 【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【详解】解：这个花鹅颈瓶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键． 3. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：4.59亿． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 4. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键． 6. 化简的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. a D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 8. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. x3﹣xy2＝x（x﹣y）2 B. （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C. a2﹣b2+1＝（a﹣b）（a+b）+1 D. ﹣2x2﹣2xy＝﹣2x（x+y） 【答案】D 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进行分解即可 【详解】解：A选项x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），故A错． B选项不符合因式分解的概念，故B错， C选项不符合因式分解的概念，故C错， D选项﹣2x2﹣2xy＝﹣2x（x+y），故D正确， 故选D． 【点睛】此题考查了因式分解的意义，解题关键在于熟练掌握因式分解方法 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°， ∴OP＝＝， ∴A（1，）， 第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）； 第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）； 第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）； 第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）； ∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴4次一个循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，）， 故选：B 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴， 即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分母不为0以及被开方数为非负数建立不等式求解即可. 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且. 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 13. 如图，，、是等边三角形，若，，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接AE，证出，利用全等三角形的性质得到BD=AE，进而在中根据勾股定理求出DE的长即可． 【详解】解：如图，连接AE， ∵与均为等边三角形 ∴BC=AC，CD=CE， ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴BD＝AE 又∵ ∴ 在中，AE＝BD＝9，AD＝5， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了勾股定理、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据条件证出BD＝AE、是解题关键． 14. 某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1 000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x（cm）的统计图，则此时该基地高度不低于300 cm的“无絮杨”品种苗约有_____棵． A．x<200 B．200≤x<250 C．250≤x<300 D．300≤x<350 E．x≥350 【答案】280 【解析】 【详解】该基地高度不低于300 cm的“无絮杨”品种苗所占百分比为10%+18%=28%，则不低于300 cm的“无絮杨”品种苗约为1 000×28%=280（棵）． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可． 【详解】如图，连接， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ，， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键． 三、解答题 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂后进行加减法即可； （2）先计算括号内的减法，再计算除法即可． 【详解】（1） ． （2） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 即，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的方程用不同的解法． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1） 如图所示：为所求，为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换作图，也考查了平移变换作图，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键， （1）利用中心对称的点的坐标特征得到、、，再顺次连接即可；利用点与点的坐标特征得到平移的方式是先向右平移3个单位，再向下平移6个单位，据此作出另外两个点的对应点，顺次连接即可； （2）连接、、交于一点，这点即为旋转中心，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴旋转中心坐标为． 19. 如图，在中，D是边上一点，E是边上一点，连接． （1）过点A作的平行线，与的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若D是的中点，求证：． 【答案】（1） 如图：AF即为所求； （2） 证明：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）尺规作，延长即可； （2）证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】该题主要考查了尺规作相等角以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解答该题的关键是熟悉各种尺规作图的基本操作，熟练运用全等三角形的性质和判定解题． 20. 如图，在中，对角线相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），连接．，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ∵，， ， ， 四边形为平行四边形． （2）40 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合，，可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形； （2）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 是的垂直平分线， ． ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 21. 在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； 【答案】丝绸条带的宽度为5cm 【解析】 【分析】设丝绸条带的宽度为，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设丝绸条带的宽度为，由题意得： ， 整理得： ， ， （不合题意，舍去）， 答：丝绸条带的宽度为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键． 22. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比B种菜苗价格便宜5元，用400元在市场上购买的A种菜苗和500元购买B种菜苗的捆数相同． （1）求每捆A种菜苗的价格． （2）学校决定购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍．求如何购买本次购买花费最少，最少费用为多少？ 【答案】（1）每捆A种菜苗的价格为20元，每捆B种菜苗的价格为25元 （2）买A种菜苗75捆，B种菜苗25捆，本次购买最少花费2125元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设：菜苗基地每捆B种菜苗的价格为x元，根据题意列出分式方程，计算结果并检验即可得到答案； （2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据题意列出不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设：菜苗基地每捆B种菜苗的价格为x元， ，解得 经检验：是原方程的根 答：每捆A种菜苗的价格为20元，每捆B种菜苗的价格为25元． 【小问2详解】 解：设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，由题意可知： ，解得， 又， ， 随m的增大而减小 当时，花费最少， 此时（元） 答：买A种菜苗75捆，B种菜苗25捆，本次购买最少花费2125元． 23. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是 ；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是 ． （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，，若正方形的边长为1，直接写出的周长c取值范围． 【答案】（1）， （2） ①成立，理由如下： 如图2，在上取一点P，使，连接， 则， 由（1）得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）取的中点P，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论； （2）①在上取一点P，使，连接PE，证明，即可得出结论； ②过D作交于点H，连接、，证明是等腰直角三角形，则点H与D关于对称，得，，当A、F、H三点共线时，最短，当A、D、F三点共线，最长即可得出结论． 【小问1详解】 如图1，取的中点P． 则， ∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①略 ②如图3，过D作交于点H，连接、， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称， ∴， ∴， 当A、F、H三点共线时，最短，即最短， 此时， ， 在中，由勾股定理得：， 此时； 当点E与点C重合，即A、D、F三点共线，最长， 此时， ∴， 则； ∴的周长c的取值范围是． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $