第10讲 热点题型精讲—实数-2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第10讲 热点题型精讲—实数 · 学习目标 1. 会利用有理数估计无理数的大小； 2. 会解决实数的大小比较问题； 3. 会解决流程图问题； 4. 会解决有关实数的规律探究问题； 5. 会解决新定义的实数相关问题； 6. 能熟练的进行实数的混合运算。 · 思维导图 · 知识详解 知识点1：实数的大小比较方法 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法四: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 知识点2：实数的估计方法 先找到离a最近的两个平方数，例如a的前面一个平方数为m,后面一个平方数为n,即m<a<n,则 知识点3：实数的混合运算 实数的运算有加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等几种运算。 有理数中的所有运算顺序和运算律在实数中都可以正常使用。 · 典型例题 题型1 实数的大小估计 下面是李老师带领同学们探索的近似值的过程． 因为面积是2的正方形的边长是，且，所以设，可画出如图所示的示意图． 由各部分面积之和等于总面积，可列方程． 因为，所以认为是个较为接近0的数，即，故略去，可得方程，解得，即． 请你仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 题型2 实数的大小比较 （1）比较大小：________（填“”、“”或者“”），我们发现可以利用数形结合法来解决问题，借助三角形三边关系，在方格纸上构造出以这三个数为三边的三角形，从而得出结论，请利用图①中三角形的三边关系比较大小（设小正方形的边长为1）； （2）用（1）中的方法在图②中画图比较大小：_____（填“”、“”或者“”） （3）用（1）中的方法在图③中画图比较大小：___（填“”、“”或者“”）． 题型3 实数的流程图问题 如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 题型4 实数的规律探究问题 观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 题型5 实数的新定义问题 定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算：__________；___________． (2)解方程组：． (3)当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值． 题型6 实数的混合运算问题 计算： · 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列选项中的整数，与接近的是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．下列整数中，与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 4．在，3，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B．3 C． D． 5．在0，，，，四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 6．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 7．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（    ） A． B．3 C．2 D． 8．数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题） 9．比较大小（填“”“”或“”）： ． 10．比较大小： 2； ． 11．若 (a为整数)，则a的值为 ． 12．比较大小： 6． 13．比较大小： ． 14．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 15．定义一种法则“”如下：，例如：，若，则的取值范围是 ． 16．如图，数轴上点A表示的实数是，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴滚动1周，圆上的点A到达点B处，则点B表示的数是 ． 17．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 18．观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 三、解答题（本大题共4小题） 19．（1）若关于的二元一次方程组的解是，试求关于的二元一次方程组的解． （2）阅读下列材料：我们知道面积是5的正方形边长是，因为，且更接近于2，所以设，将正方形边长分为2与两部分，如图所示．由面积公式，可得．因为较小，略去，得方程，解得．请类比所给方法，探究的近似值．（画出示意图，表明数据，并写出求解过程，结果保留两位小数） 20．【阅读材料】 同学们学习了完全平方公式后，发现以下结论： ∵， ∴． ∴． 【模仿练习】 （1）比较大小： _________； _________； _________（填“”，“”，或“”）； 【应用探究】 （2）如图，学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，若设为米，平方米，求的最小值． 21．计算： (1) (2) 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1) (2) 25．有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 26．先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 27．先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第10讲 热点题型精讲—实数 · 学习目标 1. 会利用有理数估计无理数的大小； 2. 会解决实数的大小比较问题； 3. 会解决流程图问题； 4. 会解决有关实数的规律探究问题； 5. 会解决新定义的实数相关问题； 6. 能熟练的进行实数的混合运算。 · 思维导图 · 知识详解 知识点1：实数的大小比较方法 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法四: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 知识点2：实数的估计方法 先找到离a最近的两个平方数，例如a的前面一个平方数为m,后面一个平方数为n,即m<a<n,则 知识点3：实数的混合运算 实数的运算有加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等几种运算。 有理数中的所有运算顺序和运算律在实数中都可以正常使用。 · 典型例题 题型1 实数的大小估计 下面是李老师带领同学们探索的近似值的过程． 因为面积是2的正方形的边长是，且，所以设，可画出如图所示的示意图． 由各部分面积之和等于总面积，可列方程． 因为，所以认为是个较为接近0的数，即，故略去，可得方程，解得，即． 请你仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】，图及过程见解析 【分析】本题考查了估算无理数的大小．利用面积法和方程的思想，构建一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵面积是的正方形的边长是，， ∴设， 画出示意图如图： 由各部分面积之和等于总面积，可列方程， ∵，所以认为是个较为接近0的数，即，故略去， 可得方程，，解得， 即． 题型2 实数的大小比较 （1）比较大小：________（填“”、“”或者“”），我们发现可以利用数形结合法来解决问题，借助三角形三边关系，在方格纸上构造出以这三个数为三边的三角形，从而得出结论，请利用图①中三角形的三边关系比较大小（设小正方形的边长为1）； （2）用（1）中的方法在图②中画图比较大小：_____（填“”、“”或者“”） （3）用（1）中的方法在图③中画图比较大小：___（填“”、“”或者“”）． 【答案】（1）（2）图见解析，（3）图见解析， 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，比较实数的大小关系： （1）根据三角形的三边关系比较实数的大小关系即可； （2）画一个边长分别为：的三角形，利用三角形的三边关系即可得出结果； （3）画一个边长分别为：的三角形，利用三角形的三边关系即可得出结果； 【详解】解：（1）如图，由图可知：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图，分别作，，， ∵， ∴， 故答案为：； （3）如图，分别作，，， ． 故答案为：． 题型3 实数的流程图问题 如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 题型4 实数的规律探究问题 观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 题型5 实数的新定义问题 定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算：__________；___________． (2)解方程组：． (3)当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)满足题意的不存在 【分析】本题考查了新定义运算，二元一次方程组，一元一次不等式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据新定义运算将式子化为加减运算，从而计算即可． （2）分和两种情况，再根据新定义运算将式子化为普通的二元一次方程，从而解方程组，判断所得结果是否分别满足和两种情况即可，即可求解． （3）分和两种情况，再根据新定义运算和可分别得到二元一次方程不等式组，解得的结果分情况判断其整数对的个数即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，， ∴， 故答案为，． （2）①当时，原方程组化为：， 解得：满足，符合题意．             ②当时，原方程组化为：， 解得：，不满足时，舍去． 综上所述：原方程组的解为． （3）①当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：有无数整数解，不符合题意．     ②当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：，                                整数对有对， 有个整数值，为，，， ，解得，                 ，都是整数，且， 也是整数， ．                                      故当时，符合题意； 但当时，若，则由①可知：， 得，且，整数对 有无数对，故不符合题意． 综上所述：满足题意的不存在． 题型6 实数的混合运算问题 计算： 【答案】1 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可． 【详解】解：原式：． · 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列选项中的整数，与接近的是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，直接利用夹逼法得出接近的数即可． 【详解】∵， ∴ ∵27与25更接近， ∴与接近的是5． 故选A． 2．下列整数中，与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的含义和无理数的估算．判断出的取值范围，推出表示实数a的点会落在数轴的哪个段上即可． 【详解】∵， ∵ ∴， ∴表示实数a的点会落在数轴的段④上． 故选：D． 4．在，3，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数大小比较的法则，解题的关键是牢记法则，正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小是本题的关键．根据实数大小比较的法则进行判断即可． 【详解】 解：在，3，，这四个数中，， 最大的数是3． 故选：B 5．在0，，，，四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，根据实数大小比较的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：C． 6．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数； 然后求得4的算术平方根是2，它是有理数； 则2的立方根为，它是无理数，输出答案； 故选：C． 7．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题关键，根据新定义计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ 故 故选：C 8．数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，根据所给算式总结规律计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【详解】解：由，，；； 则原式， ， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题） 9．比较大小（填“”“”或“”）： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较， 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．利用平方根的定义，以及实数性质判断即可． 【详解】解∶∵， ∴，即 又，， ∴， 故答案为： 10．比较大小： 2； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ， 故答案为：；． 11．若 (a为整数)，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查无理数的估算， 先估算出的大小，再估算出的大小，从而得出整数a的值． 【详解】解：， ， ∴， ∵ ∴． 故答案为：1． 12．比较大小： 6． 【答案】 【分析】此题考查了实数的大小比较，先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的运算及不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 14．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 15．定义一种法则“”如下：，例如：，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据新定义化简等式，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】根据新定义可得： 解得： 故答案为：． 16．如图，数轴上点A表示的实数是，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴滚动1周，圆上的点A到达点B处，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度， ∴此圆的周长， ∵从点A沿数轴滚动1周， ∴， ∵点A表示的实数是， ∴向右滚动，点B表示的数是，向左滚动，点B表示的数是． 故答案为：． 17．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 18．观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴ ； 故答案为： ． 三、解答题（本大题共4小题） 19．（1）若关于的二元一次方程组的解是，试求关于的二元一次方程组的解． （2）阅读下列材料：我们知道面积是5的正方形边长是，因为，且更接近于2，所以设，将正方形边长分为2与两部分，如图所示．由面积公式，可得．因为较小，略去，得方程，解得．请类比所给方法，探究的近似值．（画出示意图，表明数据，并写出求解过程，结果保留两位小数） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和估算无理数的大小，熟练掌握解二元一次方程组的常用方法，以及运用数形结合的思想，画出示意图是解题的关键． （1）根据题意，可知关于、的二元一次方程组的解为方程组的解，解该方程组，即可获得答案； （2）根据题意，画一个边长为的正方形，将正方形边长分为4与两部分，列方程并求出的值，从而得到的近似值． 【详解】解：（1）∵关于的二元一次方程组的解是， ∴关于、的二元一次方程组的解为方程组的解， 解方程组，可得， ∴关于、的二元一次方程组的解为； （2）因为，且更接近于4， 所以设， 如下图，将正方形边长分为4与两部分， 由面积公式，可得， 因为较小，略去，得方程， 解得， ∴． 20．【阅读材料】 同学们学习了完全平方公式后，发现以下结论： ∵， ∴． ∴． 【模仿练习】 （1）比较大小： _________； _________； _________（填“”，“”，或“”）； 【应用探究】 （2）如图，学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，若设为米，平方米，求的最小值． 【答案】（），，；（）的最小值为． 【分析】（）直接计算即可比较大小； 直接计算即可比较大小； （）根据三角形面积的计算方法得出，利用即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，实数的比较大小，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）∵，， ∴， 故答案为：； ∵，； ∴， ∵，。 ∴， 故答案为：；； （）中，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴的最小值为． 21．计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算． （1）先计算乘方和立方根，再计算除法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)9 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方、立方根、算术平方根、绝对值，再进行加减计算即可； （2）先计算立方根、算术平方根、绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合计算： （1）先计算算术平方根和乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 26．先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 27．先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$