精品解析：2024年辽宁省沈阳市初中学业水平考试模拟试卷数学试题（一）

2024年辽宁省初中学业水平考试（模拟卷一） 数 学 试 卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2023年12月24日，上海市慈善基金会的第三批赈灾物资发车运往甘肃积石山．该批赈灾物资总价值达万余元，包括件保暖冲锋衣、个睡袋、件Canada Goose加拿大鹅羽绒服、副手套、包暖贴和个保温水杯．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 几种液体在标准大气压下的沸点如表所示，其中沸点最低的液体是（ ） 液体名称 液态氧 液态氮 液态酒精 液态二氧化碳 沸点/℃ 78 A. 液态氧 B. 液态氮 C. 液态酒精 D. 液态二氧化碳 4. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．若不考虑图中阴影及拼接线的情况下，下列由七巧板拼成的图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 若，，则与的面积之比为1∶2 C. 若，则 D. 若，则 7. 在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，，．将线段平移至线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 凸透镜是根据光的折射原理制成的．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能刻画y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 12. 如图，在中，，的平分线交于点E，连接，若，则的度数为__________． 13. 分式方程的解为__________． 14. 如图，在中，，是的中线，E是的中点，连接．若，，则的长为__________． 15. 如图，抛物线的顶点为对称轴为直线．点的坐标为，是抛物线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点落在直线上时，点的坐标为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 夏季展演活动在即，文艺团准备从商店一次性购买若干个花束和彩球用于装饰．已知购买3个花束和2个彩球共需49元，购买2个花束和3个彩球共需46元． （1）求花束和彩球的单价； （2）根据文艺团的实际需要，需一次性购买花束和彩球共100个．若要求购买花束和彩球的总费用不超过920元，则该文艺团最多可以购买多少个花束？ 18. 某校对直播软件功能进行筛选，最终选定了“钉钉”和“直播”两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分（分数为整数，满分5分）．其余部分信息如下：抽取的位教师对“钉钉”和“直播”这两款软件打分的平均分分别为分和分．请根据信息，解答下列问题： 信息一：名同学打分情况的折线统计图如图所示． 信息二；学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示． 软件 平均数 众数 中位数 钉钉 直播 （1）填空：__________，__________； （2）学生对这两款软件评价较高的是哪一款直播软件？请说明理由； （3）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 19. 鞍山南果梨是辽宁省鞍山市最具代表性的地方特产，也是国家地理标志保护产品．因其色泽鲜艳、果肉细腻、爽口多汁、风味香浓而深受赞誉，被誉为“梨中之后”．某农户在网络平台上直播销售南果梨．已知该南果梨的成本为5元，且每售卖需向网络平台支付1元的相关费用．经过一段时间的直播销售发现，日销售量y（单位：）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中． 销售单价元 … 8 10 12 … 日销售量 … 50 40 30 … （1）求y关于x的函数解析式； （2）当南果梨的销售单价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图1是一款不倒翁玩偶，如图2是该玩偶的主视图，其中半圆O与直线m相切于点C，直径，且，，，线段的延长线过圆心O． （1）求点A到直线m的距离； （2）如图3是该玩偶的内部结构，已知线段的中点 H 在上，在点 H 处悬挂了一个小铃铛，小铃铛左右两侧对称的位置安装金属板 和，点 N，Q在半圆O上．当不倒翁正立时，小铃铛恰好位于圆心O处；当不倒翁倾斜置小铃铛刚好碰到右侧金属板时(如图4)，点Q与切点C重合，此时悬线．所在直线与直线m垂直．已知两块金属板之间的距离与线段的长相等，悬线的长为5cm，小铃铛的摆动角度为，求此时小铃铛与直线m的距离．(结果精确到，参考数据：，，，，，) 21. 如图1， 为的直径，且，与为内的一组平行线，弦交于点G．点A在上，点B在上，． （1）求证：； （2）如图 2，用尺规作关于弦所在直线的对称图形交于点K(不要求写作法，保留作图痕迹)，点为点K关于弦所在直线的对称点，连接，若求 的长． 22. 如图1．在中，，，．点E在射线上（点E不与点B重合），连接，作点B关于的对称点F，连接，，点G在线段上，连接EG，作点F关于的对称点H，连接、，并延长交线段所在直线于点M，连接． （1）探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E在线段上，点H恰好在线段上，且时，求的长； （3）已知． ①如图3，当点E在线段上，且时，求BE的长； ②如图4，当点E在的延长线上，且时，直接写出的长． 23. 若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”． （1）如图，在矩形中，轴，，． ①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________． ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标． （2）若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴． ①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围； ②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年辽宁省初中学业水平考试（模拟卷一） 数 学 试 卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2023年12月24日，上海市慈善基金会的第三批赈灾物资发车运往甘肃积石山．该批赈灾物资总价值达万余元，包括件保暖冲锋衣、个睡袋、件Canada Goose加拿大鹅羽绒服、副手套、包暖贴和个保温水杯．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：万． 故选：B． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到图形分为两层，下面一层有3个小正方形，上面一层中间有1个小正方形，即看到的图形为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知主视图是从正面看到的图形是解题的关键． 3. 几种液体在标准大气压下的沸点如表所示，其中沸点最低的液体是（ ） 液体名称 液态氧 液态氮 液态酒精 液态二氧化碳 沸点/℃ 78 A. 液态氧 B. 液态氮 C. 液态酒精 D. 液态二氧化碳 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正负数的大小比较能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．根据正负数大小比较的方法进行求解． 【详解】解：，，， 且， ， ， 沸点最低的液体是液态氮， 故选：B 4. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．若不考虑图中阴影及拼接线的情况下，下列由七巧板拼成的图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称的概念依次判断即可． 【详解】A：不是轴对称图形，不符合题意； B：不是轴对称图形，不符合题意； C：是轴对称图形，符合题意； D：不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，根据单项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法法则分别判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 若，，则与的面积之比为1∶2 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，涉及了相似三角形性质、平行线的性质，绝对值化简、分式有意义的条件，数的开方，根据相关性质和定理求解即可． 【详解】解： A选项：两直线平行，同旁内角互补，该命题成立，是真命题． B选项：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可知，与的面积之比为1：4，该命题不成立，是假命题． C选项：若，则，该命题不成立，是假命题． D选项：当时，；当时，a和b没有算术平方根，该命题不成立，是假命题． 故答案：A． 7. 在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，，．将线段平移至线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中的平移，由题意，线段由线段向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，即可得出点的坐标． 【详解】解析 点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，，， ，． 线段平移至线段．点的坐标为， 点A向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∵点B向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后为 ． 故答案：D． 8. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 9. 凸透镜是根据光的折射原理制成的．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析时解题的关键． 先利用对顶角相等得，利用三角形外角性质得，最后利用平行线得性质即可得出答案． 【详解】解析 ， ． ． 根据题意，得． ， ． 故答案：B． 10. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能刻画y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质；难点在于利用三角形的三边关系求自变量的取值范围． 先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出 x 的取值范围，即可得出答案． 【详解】解析 根据题意，得，即． ， ． 故答案：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提取公因式和公式法进行因式分解，掌握基本的因式分解方法是解题关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，的平分线交于点E，连接，若，则的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质．根据平行四边形的性质，可得，，再由角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的性质可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程转化为整式方程求解，注意解分式方程一定注意要验根． 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解析 方程两边同乘， 得．解得． 检验：当时，． 原分式方程的解为． 故答案：． 14. 如图，在中，，是的中线，E是的中点，连接．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解直角三角形．根据直角三角形的性质，可得，，从而得到是等边三角形，进而得到．然后在中，解直角三角形，即可求解． 【详解】解： 是的中线， 为的中点． ， ， ． ，E是的中点， ， ． 是等边三角形． ． 在中， ， ． 故答案：． 15. 如图，抛物线的顶点为对称轴为直线．点的坐标为，是抛物线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点落在直线上时，点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解一元二次方程，先求出抛物线解析式为，设，过点作于点，过点作交的延长线于点，证明，然后根据性质和解一元二次方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解析 ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵是抛物线上一点， ∴设， 如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，解得，， ∴点的里沶为或， 故答案：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算、绝对值的性质、二次根式的化简、零次幂以及配方法解一元一次方程，熟知它们的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的运算、绝对值的性质、二次根式的化简、零次幂的运算法则得出各项然后进行相加减即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； 【详解】解：（1）原式 ． （2）移项，得． 配方，得，即． ． ，． 17. 夏季展演活动在即，文艺团准备从商店一次性购买若干个花束和彩球用于装饰．已知购买3个花束和2个彩球共需49元，购买2个花束和3个彩球共需46元． （1）求花束和彩球的单价； （2）根据文艺团的实际需要，需一次性购买花束和彩球共100个．若要求购买花束和彩球的总费用不超过920元，则该文艺团最多可以购买多少个花束？ 【答案】（1）花束的单价是11元，彩球的单价是8元 （2）40个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用； （1）设花束的单价是x元，彩球的单价是y元，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设该文艺团购买m个花束，则购买个彩球，根据题意列出不等式，求不等式的最大整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设花束的单价是x元，彩球的单价是y元． 根据题意，得 解得 答：花束的单价是11元，彩球的单价是8元． 【小问2详解】 设该文艺团购买m个花束，则购买个彩球． 根据题意，得． 解得． 的最大值为40． 答：该文艺团最多可以购买40个花束． 18. 某校对直播软件功能进行筛选，最终选定了“钉钉”和“直播”两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分（分数为整数，满分5分）．其余部分信息如下：抽取的位教师对“钉钉”和“直播”这两款软件打分的平均分分别为分和分．请根据信息，解答下列问题： 信息一：名同学打分情况的折线统计图如图所示． 信息二；学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示． 软件 平均数 众数 中位数 钉钉 直播 （1）填空：__________，__________； （2）学生对这两款软件评价较高的是哪一款直播软件？请说明理由； （3）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 【答案】（1）；； （2） 学生对这两款软件评价较高的是“钉钉”，理由如下： ∵学生对“钉钉”打分的平均数和中位数都比“直播”高， ∴学生对这两款软件评价较高的是“钉钉”；（答案不唯一） （3）学校会采用“直播”软件进行教学． 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和加权平均数，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （）根据学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对直播打分的中位数和平均数高即可得到答案； （）分别计算出两款软件的得分即可得到答案； 【小问1详解】 解：将“钉钉”软件的得分按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的两个得分都是分， ∴中位数， 由图可知，“直播”软件得分出现次数最多的是分． ∴众数为， 故答案：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：“钉钉”软件的得分为（分）． “直播”软件的得分为（分）． ∵， ∴学校会采用“直播”软件进行教学． 19. 鞍山南果梨是辽宁省鞍山市最具代表性的地方特产，也是国家地理标志保护产品．因其色泽鲜艳、果肉细腻、爽口多汁、风味香浓而深受赞誉，被誉为“梨中之后”．某农户在网络平台上直播销售南果梨．已知该南果梨的成本为5元，且每售卖需向网络平台支付1元的相关费用．经过一段时间的直播销售发现，日销售量y（单位：）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中． 销售单价元 … 8 10 12 … 日销售量 … 50 40 30 … （1）求y关于x的函数解析式； （2）当南果梨的销售单价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当南果梨的销售单价为12元时，日销售利润最大．最大利润是180元 【解析】 【分析】（1）设y关于x的函数解析式为，选择自己喜欢的点确定方程组解答即可． （2）构造二次函数模型，运用二次函数的最值解答即可． 本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为． 将点，代入， 得 解得， 关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元． 根据题意，得． ，， 当时，w取得最大值，最大值为180． 当南果梨的销售单价为12元时，日销售利润最大，最大利润是180元． 20. 如图1是一款不倒翁玩偶，如图2是该玩偶的主视图，其中半圆O与直线m相切于点C，直径，且，，，线段的延长线过圆心O． （1）求点A到直线m的距离； （2）如图3是该玩偶的内部结构，已知线段的中点 H 在上，在点 H 处悬挂了一个小铃铛，小铃铛左右两侧对称的位置安装金属板 和，点 N，Q在半圆O上．当不倒翁正立时，小铃铛恰好位于圆心O处；当不倒翁倾斜置小铃铛刚好碰到右侧金属板时(如图4)，点Q与切点C重合，此时悬线．所在直线与直线m垂直．已知两块金属板之间的距离与线段的长相等，悬线的长为5cm，小铃铛的摆动角度为，求此时小铃铛与直线m的距离．(结果精确到，参考数据：，，，，，) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角函数的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得出，证明四边形是矩形，结合三角形的内角和性质得，因为等腰三角形的三线合一性质，所以，然后根据解直角三角函数的性质列式计算，即可作答． （2）依题意，得出，然后在中，，算出，根据在中，，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图：过点A作，与交于一点H，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴， ∴在中， 即 ∴ 解得 ∴ 【小问2详解】 解：如图：过H作于点G， ∵不倒翁倾斜置小铃铛刚好碰到右侧金属板 ∴点在上 过H作于点I， 由题意得出 ∴在中， 则 解得 ∴ ∴在中， ∴ 得 解得 ∴此时小铃铛与直线m的距离为 21. 如图1， 为的直径，且，与为内的一组平行线，弦交于点G．点A在上，点B在上，． （1）求证：； （2）如图 2，用尺规作关于弦所在直线的对称图形交于点K(不要求写作法，保留作图痕迹)，点为点K关于弦所在直线的对称点，连接，若求 的长． 【答案】（1） 证明： 连接交于点． ∵， ∴， ∵， ∴ ． ∴ ． ∵， ， ∴． ∴ ， 即 ． 又是的半径， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1） 连接交于点．根据和， 推出 ， 再根据， ，得出 ，根据垂径定理即可证明． （2）分别以点为圆心， 大于的长为半径画弧， 两弧分别相交于点， 作直线交于点， 即为的垂直平分线； 再以点为圆心，长为半径画弧， 交直线于点， 即为所在圆的圆心； 最后以点为圆心，长为半径画弧即可得到． 连接．根据点为点关于弦所在直线的对称点，得到．证明，得出．再根据四边形为的内接四边形，得出．从而证明，．根据圆周角定理得出，在中， 根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别以点为圆心， 大于的长为半径画弧， 两弧分别相交于点， 作直线交于点， 即为的垂直平分线； 再以点为圆心，长为半径画弧， 交直线于点， 即为所在圆的圆心； 最后以点为圆心，长为半径画弧即可得到． 连接． ∵点为点关于弦所在直线的对称点， ∴． ∵， ． ∴． ∵四边形为的内接四边形， ∴． ∵， ∴， ． ∵为的直径， ∴． 在中， 根据勾股定理， 得． 【点睛】该题主要考查了复杂作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线和对应图形． 22. 如图1．在中，，，．点E在射线上（点E不与点B重合），连接，作点B关于的对称点F，连接，，点G在线段上，连接EG，作点F关于的对称点H，连接、，并延长交线段所在直线于点M，连接． （1）探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E在线段上，点H恰好在线段上，且时，求的长； （3）已知． ①如图3，当点E在线段上，且时，求BE的长； ②如图4，当点E在的延长线上，且时，直接写出的长． 【答案】（1） ． 理由如下： 如图1．过点E作于点P．作于点Q．， 根据对称的性质，得，， ，，，． ，． 又， ， ． 在与中， ， ， ． （2） （3）①3；② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、对称的性质、平行四边形的性质、三角函数、直角三角形的性质、勾股定理、解一元二次方程、矩形的性质、平行线的性质，灵活运用以上知识是解题的关键． （1）过点E作于点P．作于点Q，则根据对称的性质，得，，从而得到，，可证明则有，则可证明，最后可得． （2）过点E作于点N，根据三角函数得到，，又因为，设，得到，，，．再根据勾股定理求出即可解答； （3）①根据平行线的性质与等量代换得到，再求出，，．最后根据直角三角形的性质即可求解； ②先证明四边形为矩形，然后根据（3）中的①求出，根据等边对等角可得，再根据三角函数得到，，最后根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，过点E作于点N，． ，，． 设，则，． 由（1），得． ，．． ，． 在中，根据勾股定理，， ，解得（负值已舍去）． ，． 【小问3详解】 ①，． ，． 由（1）．知． ，． 由（1），知， ． ，． 在中，， ． ②GC的长为． 如图3，分别过点G，H作的垂线．垂足分别为P，Q． 设交于点I，． ，，四边形为矩形． ，． 由（3）的①可知，． ．． ，， ．． 在中，． ，，． 设，则，． 在中，， ，． ，． ，． 在中，根据勾股定理，． ．解得，． 23. 若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”． （1）如图，在矩形中，轴，，． ①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________． ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标． （2）若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴． ①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围； ②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值． 【答案】（1）①或；②或 （2）①或；②m的值为或 【解析】 【分析】（1）①分两种情况：一次函数经过A、C两点时；一次函数经过B、D两点时；分别利用待定系数法即可求解； ②设，则可得点B的坐标，由点B在图象上，可求得t的值，进而求得点A的坐标； （2）①由待定系数法求出抛物线的解析式，并求出其顶点坐标，由题意得两个不等式组：或，解不等式组即可； ②分四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：点A的坐标为，轴，，， ； 当一次函数经过A、C两点时， ，解得：， ； 同理，当一次函数经过B、D两点时，； 故答案为：或； ②设， 轴，，， 点B的坐标， 点B在图象上， ， 解得：； 当时，，此时； 当时，，此时； 点A的坐标为或； 【小问2详解】 解：①，，轴， ； 经过A，C两点， ，解得：， ； ， 顶点坐标为； ∵抛物线与矩形有且仅有两个交点， 或， 解得：或； ②由（2）①知，， 当时，；当时，； 下面分四种情况考虑： （一）当，即时， 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数在处取得最大值，在处取得最小值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （二）当，即，且时， 当时，函数值随自变量的增大而增大，此时函数在处取得最小值，在处取得最大值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （三）当，即时， 当时，函数值在顶点取得最小值， 若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； （四）若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； 综上，m的值为或． 【点睛】本题是三种函数的综合，考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，涉及分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $