精品解析：河北省沧州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

2023——2024学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷（人教版） 注意事项：1、本试卷共八页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 亲爱的同学，你好！今天是展示你才能的时候了，只要你仔细审题、认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有出色的表现，放松一点，相信自己的实力！ 一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题2分，7-16每小题3分，共42分．每小题后均给出了四个选项，请把最符合题意的选项序号填在题后的括号内．） 1. 已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（　　） A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 0或﹣2 【答案】A 【解析】 【详解】∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解， ∴4﹣4m+4=0， ∴m=2． 故选A． 2. 若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像是解题的关键．根据二次函数图像对称性解答即可． 【详解】解：点与关于二次函数的对称轴轴对称， 故该图像必经过点， 故选C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义去判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 答案：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某一条直线折叠，直线两旁的图形完全重合和中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形重合的识别，正确掌握定义是解题的关键． 4. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）． A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键． 5. 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ） A. 每2次必有1次正面向上 B. 不可能有10次正面向上 C. 必有5次正面向上 D. 可能有5次正面向上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币10次，每2次不一定有1次正面向上，原说法错误，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币10次，有可能有10次正面向上，原说法错误，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，原说法错误，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，原说法正确，符合题意； 故选：D． 6. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 7. 某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C. 布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 【答案】D 【解析】 【详解】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，正确理解利用频率估计概率是解题的关键． 解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头“的概率为，故选项不符合题意； 、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故选项不符合题意． 、暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故选项不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故选项符合题意； 故选：． 8. 已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入方程，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个非零根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 9. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可． 【详解】连接AC1， ∵四边形AB1C1D1是正方形， ∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1， ∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1， ∴∠B1AB=45°， ∴∠DAB1=90°-45°=45°， ∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线， ∵正方形ABCD的边长是1， ∴四边形AB1C1D1的边长是1， 在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1=， 则DC1=-1， ∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°， ∴∠C1OD=45°=∠DC1O， ∴DC1=OD=-1， ∴S△ADO=×OD•AD=， ∴四边形AB1OD的面积是=2×=-1， 故选C． 10. 如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图， 连接OC， ∵AO∥DC， ∴∠ODC=∠AOD=70°， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD=70°， ∴∠COD=40°， ∴∠AOC=110°， ∴∠B=∠AOC=55°． 故选D． 11. 在中，若，边上的高，则的周长为（　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解； 当是锐角三角形时，如图1， 由勾股定理得，，， ∴， ∴的周长为； 当是钝角三角形时，如图2， 同理，，， ∴， ∴的周长为； 综上所述，的周长为或， 故选：D． 12. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位， 抛物线的解析式为，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减． 13. 任意实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对72进行如下操作：[72]→= 8→[] = 2→[] = 1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地：对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据[a]表示不超过a的最大整数计算，可得答案． 【详解】900→第一次[]＝30→第二次[]＝5→第三次[]＝2→第四次[]＝1， 即对数字900进行了4次操作后变为1，即n的值为4． 故选B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力． 14. 某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（ ） A. 甲、丙 B. 甲、丁 C. 乙、丁 D. 丙、丁 【答案】D 【解析】 【详解】①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙； ②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁； 故选D． 15. 设计师以的图形为灵感设计杯子如图所示，若，则杯子的高（　　） A. 17 B. 11 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．将二次函数化简为顶点式，得出，再由二次函数的对称性得出点A的横坐标为，代入函数解析式确定，结合图形求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴点A的横坐标为， 当时，， ∴， ∴， 则杯子的高为11． 故选：B． 16. 如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2）， 当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF==（2＜x≤4）， 图象为： 故选A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分， 请把正确答案填在题后的横线上．） 17. 若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则=__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m-4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与-2，则有，然后两边平方得到=4． 【详解】由得，解得，可知两根互为相反数. ∵一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4， ∴m+1+2m－4=0，解得m=1， ∴一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2和-2， ∴， ∴=4. 18. 如图，A是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是_______． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此， ∵正方体的面共有6个，与A相邻的面有3个， ∴A与桌面接触的概率是． 19. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意求出扇形的弧长，然后根据扇形面积公式求出扇形面积即可． 【详解】∵扇形周长等于铁丝的长为8 cm，扇形的半径是2 cm， ∴扇形弧长是4 cm， ∴. 故答案为：4． 【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的求法，解题的关键是熟练掌握扇形弧长和面积公式． 20. 如图，所有正三角形的一边都与x轴平行，一顶点在y轴正半轴上，顶点依次用表示，坐标原点O到边的距离依次是1，2，3，…， 从内到外，正三角形的边长依次为2，4，6，…，则的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是点的变化规律的考查，主要利用了等边三角形的性质．先根据每一个三角形有三个顶点确定出所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及的纵坐标的长度，即可得解． 【详解】解：∵ ∴是第8个等边三角形的第2个顶点， 第8个等边三角形边长为， 点的横坐标为 ， 的距离依次是1，2，3，…， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共66分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 21. 已知一元二次方程有唯一实数根，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分式的化简求值．熟练掌握一元二次方程根的判别式，分式的化简求值是解题的关键． 由一元二次方程有唯一实数根．可得，可求，通分进行减法运算，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有唯一实数根． ∴， 解得，， ， 当时，原式． 22. 如图，点O是等边内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接OD． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：由旋转得 ，， ∴是等边三角形； （2） 为直角三角形，理由如下： 当，由旋转得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由旋转得 ，，即可证明； （2）由旋转得，根据是等边三角形，可，进而求得的度数即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是利用旋转得到对应边相等、对应角相等． 23. 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜． (1)请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果； (2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利． 【答案】（1） 所有可能的结果见解析； 列表得： 红1 红2 红3 黑1 黑2 红1 红1红2 红1红3 红1黑1 红1黑2 红2 红2红1 红2红3 红2黑1 红2黑2 红3 红3红1 红3红2 红3黑1 红3黑2 黑1 黑1红1 黑1红2 黑1红3 黑1黑2 黑2 黑2红1 黑2红2 黑2红3 黑2黑1 （2）不公平，对小军有利． 【解析】 【分析】（1）列表将所有等可能的结果一一列举出来即可； （2）根据列表里有概率公式求得小明获胜的概率即可判断是否公平． 【详解】解：（1）略 （2）共20种等可能的情况，其中颜色相同的有8种， 则小明获胜的概率为， 小军获胜的概率为1﹣=， ∵＜， ∴不公平，对小军有利． 【点睛】略 24. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD． （1）求∠D的度数； （2）若CD=2，求BD的长． 【答案】（1）45°；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根据切线性质求出∠OCD=90°，即可求出答案； （2）求出OC=CD=2，根据勾股定理求出BD即可． 试题解析：（1）∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO， ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A， ∵∠D=2∠A， ∴∠D=∠COD， ∵PD切⊙O于C， ∴∠OCD=90°， ∴∠D=∠COD=45°； （2）∵∠D=∠COD，CD=2， ∴OC=OB=CD=2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2， 解得：BD=． 考点：切线的性质 25. 如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 【答案】（1）（1，0）；（2）①[2，﹣3]；②原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可． （2）①首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案； ②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律． 【详解】解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）． （2）①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5， ∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到： y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3． ∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]． ②∵一个函数的特征数为[2，3]， ∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2， ∵一个函数的特征数为[3，4]， ∴函数解析式为：． ∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到． 考点：1．新定义和阅读理解型问题；2．二次函数图象与平移变换；3．二次函数的性质 【点睛】本题考查二次函数综合题、配方法、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 26. 某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第x月满足函数关系式，其变化趋势如图2． （1）求的解析式； （2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）把函数图象经过的点代入函数解析式，解方程组求出m、n的值即可解答； （2）根据图1求出每千克的售价与x的函数关系式，然后根据“利润=售价﹣成本”得到利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：由图可知经过点， ∴，解得． ∴． 【小问2详解】 解：设， 由图可知，函数图象经过点， 则，解得， 所以，， 所以，每千克所获得利润 ∵， ∴当时，所获得利润最大为元． 答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023——2024学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷（人教版） 注意事项：1、本试卷共八页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 亲爱的同学，你好！今天是展示你才能的时候了，只要你仔细审题、认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有出色的表现，放松一点，相信自己的实力！ 一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题2分，7-16每小题3分，共42分．每小题后均给出了四个选项，请把最符合题意的选项序号填在题后的括号内．） 1. 已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（　　） A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 0或﹣2 2. 若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）． A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ） A. 每2次必有1次正面向上 B. 不可能有10次正面向上 C. 必有5次正面向上 D. 可能有5次正面向上 6. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C. 布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 8. 已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 9. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 11. 在中，若，边上的高，则的周长为（　） A. B. C. 或 D. 或 12. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 13. 任意实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对72进行如下操作：[72]→= 8→[] = 2→[] = 1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地：对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 14. 某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（ ） A. 甲、丙 B. 甲、丁 C. 乙、丁 D. 丙、丁 15. 设计师以的图形为灵感设计杯子如图所示，若，则杯子的高（　　） A. 17 B. 11 C. 8 D. 7 16. 如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分， 请把正确答案填在题后的横线上．） 17. 若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则=__________. 18. 如图，A是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是_______． 19. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________． 20. 如图，所有正三角形的一边都与x轴平行，一顶点在y轴正半轴上，顶点依次用表示，坐标原点O到边的距离依次是1，2，3，…， 从内到外，正三角形的边长依次为2，4，6，…，则的坐标是________． 三、解答题（本大题共6个小题，共66分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 21. 已知一元二次方程有唯一实数根，求的值． 22. 如图，点O是等边内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接OD． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由． 23. 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜． (1)请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果； (2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利． 24. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD． （1）求∠D的度数； （2）若CD=2，求BD的长． 25. 如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 26. 某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第x月满足函数关系式，其变化趋势如图2． （1）求的解析式； （2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $