专题07 有理数42道压轴题型专训（7大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题07有理数42道压轴题型专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 数轴上的动点问题——距离问题 题型二 数轴上的动点问题——面积问题 题型三 数轴上的动点问题——定值问题 题型四 绝对值与数轴综合 题型五 绝对值的化简求值 题型六 绝对值中的最值问题 题型七 有理数中的规律探究问题 【经典例题一 数轴上的动点问题——距离问题】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 4．（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 5．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 6．（23-24七年级上·吉林·期中）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； (3)当点到点的距离为4时，求点到点的距离． 【经典例题二 数轴上的动点问题——面积问题】 7．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 9．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16．    （1）数轴上点表示的数为__________； （2）将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积记为．当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； 10．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图1，在数轴上有，两点，点表示的数为4，点在点的左边，且，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点，分别从，两点同时出发，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数为______，P所表示的数为_______（用含的代数式表示）． (2)问点运动多少秒与相距3个单位长度． (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半，请直接写出结论．______秒． 11．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点 表示数为 ，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为 ． (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形ABCD重叠部分面积记为S，当时，画出图形，求出数轴上点表示的数． 12．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图1，正方形的边在数轴上，为原点，正方形的面积为16. （1）数轴上点表示的数为 . （2）将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积记为，如图2，长方形的面积为，当恰好等于原正方形面积的时，求数轴上点表示的数 【经典例题三 数轴上的动点问题——定值问题】 13．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，； (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动，N为的中点，下列两个结论： ①长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 14．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 15．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 16．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 17．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 18．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    【经典例题四 绝对值与数轴综合】 19．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）已知，与两个数在数轴上对应的点分别为点A、点B．求A、B两点之间的距离． 【探索】 小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索： 因为，则有以下情况： 情况一、若，，如图①、A、B两点之间的距离：；    （1）补全小明的探索． 【应用】 （2）若点对应的数为，数轴上点到A、两点的距离相等，求．（用含、的代数式表示） （3）若点对应的数为，数轴上点到A的距离是点到的距离的倍，请探索的取值范围与点个数的关系，并直接写出、、、的关系． 20．（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 21．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点B，再把点A向左移动个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和______，B，C两点间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为______；如果A与B之间的距离为3，那么______； (3)若点A表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (4)若x为整数，当时，______． 22．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)满足的有理数x有______个． (4)当______时，代数式的最小值是2． 23．（2022七年级上·浙江·专题练习）【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中 ，求M、N两点之间的距离． 小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索： 解：因为m＞n，所以有以下情况： 情况1：若，，如图①，M、N两点之间的距离； 情况2：若，，如图②，M、N两点之间的距离； 情况3：若，，如图③，M、N两点之间的距离． 由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中，则M、N两点之间的距离． 【应用】 在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c． (1)若 ，，则a＝　　． (2)若，，点C到点A的距离是点C到点B距离的倍． ①当时，求c的值； ②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围 　　． (3)若，且a、b为整数，当的值最大时，求A、B两点之间的距离． 24．（23-24七年级上·北京怀柔·期末）阅读下面一段文字： 在数轴上点A，B分别表示数a，b.A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离. 例如：当a=2，b=5时，=5-2=3；当a=2,b=-5时，==7；当a=-2，b=-5时，==3.综合上述过程，发现点A、B之间的距离=(也可以表示为). 请你根据上述材料，探究回答下列问题： （1）数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； （2）表示数a和-2的两点间距离是6，则a= ； （3）如果数轴上表示数a的点位于-4和3之间，求的值. （4）是否存在数a，使代数式的值最小？若存在，请求出代数式的最小值，并直接写出数a的值或取值范围，若不存在，请简要说明理由. 【经典例题五 绝对值的化简求值】 25．（23-24七年级上·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 26．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 27．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 28．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于. (1)数轴上表示5和1的两点之间的距离是_______；表示和2两点之间的距离是_______； (2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)若数轴上表示数a的点位于和2两点之间，求__________； (4)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_______. (5)当_______时，的值最小，最小值是_______. (6)若x表示一个有理数，求的最小值是_______. 29．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是_________；表示和两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_________． (2)，求x； (3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_________； (4)若数轴上表示数a的点位于与5之间，________； (5)求的最小值． 30．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题： (1)若数轴上两点A、B表示的数为x、，则A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ； (2)①当代数式取最小值时，x的取值范围是 ． ②求的最小值为 ． (3)有理数，，，且． 在以下数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中，并化简：．    【经典例题六 绝对值中的最值问题】 31．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 32．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离______； ③当，时，A，B之间的距离______． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______； 【问题解决】 （3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 （4）拓展： ①若，则______． ②若，则______． ③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______． 33．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离与，与．并回答下列各题：    (1)你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与在数轴上的对应点的距离是 ． (2)若数轴上的点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离可以表示为 ． (3)结合数轴思考，的最小值为多少？ (4)满足，求的值为多少？ 34．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 35．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示和的两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______ ，如果，那么为______ ． (2)探索规律： ①当有最小值是______ ． ②当有最小值是______ ． ③当有最小值是______ ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台A、、、、、、、、，一只配件箱应该放在工作台______ 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______ 米 (4)知识迁移 最大值是______ ，最小值是______ ． 36．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ． (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为 ． (3)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是 ． ②当时，数a的取值范围是 ，这样的整数a有 个 ③有最小值，最小值是 ． 【经典例题七 有理数中的规律探究问题】 37．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 38．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 39．（23-24七年级上·天津津南·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 40．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合。研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P．Q两点都停止运动，设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)填空：A，B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______： (2)当t为何值时，P，Q两点间距离为3． (3)若点M为的中点，点N为的中点，在运动过程中，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出相应的数值． 41．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为， 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，    当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）探索规律： ①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______； ②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______； ③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______． （4）规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． （5）知识迁移 有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案． 42．（23-24七年级上·陕西西安·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)【综合运用】填空：A、B两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； (2)当t为何值时，？ (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07有理数42道压轴题型专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 数轴上的动点问题——距离问题 题型二 数轴上的动点问题——面积问题 题型三 数轴上的动点问题——定值问题 题型四 绝对值与数轴综合 题型五 绝对值的化简求值 题型六 绝对值中的最值问题 题型七 有理数中的规律探究问题 【经典例题一 数轴上的动点问题——距离问题】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【答案】(1)； (2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2）， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； …， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点M、N表示的数分别是、8， 所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点P表示的数为． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． （1）根据绝对值和二次方的非负性求出的值即可得到答案； （2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可； （3）分情况进行讨论列式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 点表示的数为，点表示的数为， 线段的长为， 故答案为：； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①当点在中间，，， ， ， 解得； ②当点在点左边，，， ， ， 解得； ③当点在点右边，不符合题意； 故答案为：或． （3）解：①当点位于木棒左侧时，， 解得， ②当点位于木棒左侧时，， 解得， 当点到达点时，木棒与点同时停止移动， ， 故舍去， 故点移动的时间为秒． 4．（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 5．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)，，，． 【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 6．（23-24七年级上·吉林·期中）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； (3)当点到点的距离为4时，求点到点的距离． 【答案】(1)当时，点到原点的距离为6 (2)点到原点的距离为2 (3)点到点的距离为6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）先计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）先计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）①点向左运动4个单位长度，②点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度，③点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，点到原点的距离为6． （2）解：当时，点运动的距离为， ， ∴点到原点的距离为2； （3）解：点到原点的距离为4时，分三种情况讨论： ①点向左运动4个单位长度，此时运动时间：（秒）， 点表示的数是，点表示的数是4； 此时点到点之间的距离是6． ②点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度， 则点运动的距离为：，运动时间：（秒） 点表示的数是，点表示的数是4； 此时点到点之间的距离是10． ③点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度， 则点运动的距离为：，运动时间：（秒） 点表示的数是，点表示的数是12； 此时点到点之间的距离是22． 综上，点到点的距离为6或10或22． 【经典例题二 数轴上的动点问题——面积问题】 7．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离： （1）根据长方形得，点表示的数为，则，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）由得，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系即可求解； （3）设经过秒后，，则点C表示的数为，点P表示的数为，，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系求得的值，进而可求解； 熟练掌握两点之间的距离公式及利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：是长方形，长为3，宽为2，点B与表示的点重合， ，，点表示的数为， 点P表示的数为， ， ． （2）是长方形，宽为2， ，， ， ， 即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 综上所述：点所表示的数为或． （3）设经过秒后，， 长方形各个点都向左移动了个单位长度， 则点C表示的数为， 点P向右移动了个单位长度， 则点P表示的数为， ，即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为， 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为，     综上所述：点P表示的数为或． 9．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16．    （1）数轴上点表示的数为__________； （2）将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积记为．当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； 【答案】（1）-5；（2）点表示的数为或． 【分析】（1）利用正方形ABCD的面积为16，可得AB长，再根据AO=1，进而可得点B表示的数； （2）先根据正方形的面积为16，可得边长为4，当S=4时，分两种情况：正方形ABCD向左平移，正方形ABCD向右平移，分别求出数轴上点A′表示的数． 【详解】（1））∵正方形ABCD的面积为16， ∴AB=4， ∵点A表示的数为-1， ∴AO=1， ∴BO=5， ∴数轴上点B表示的数为-5， 故答案为：-5； （2））∵正方形的面积为16， ∴边长为4， 当S=4时，分两种情况： 若正方形ABCD向左平移，如图1，    重叠部分中的A'B=4÷4=1， ∴AA'， ∴点A'表示的数为； ②若正方形向右平移，如图2，    重叠部分中的AB'=4÷4=1， ∴AA'， ∴点A'表示的数为； 综上所述，点A'表示的数为或2． 【点睛】此题主要考查了数轴以及两点间的距离公式的运用，解决问题的关键是正确理解题意，利用数形结合，注意分类讨论，不要漏解． 10．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图1，在数轴上有，两点，点表示的数为4，点在点的左边，且，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点，分别从，两点同时出发，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数为______，P所表示的数为_______（用含的代数式表示）． (2)问点运动多少秒与相距3个单位长度． (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半，请直接写出结论．______秒． 【答案】(1)； (2)点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度 (3)4.8或24 【分析】（1）根据两点间的距离可确定点表示的数，根据的运动规律可表示出点表示的数； （2）分别根据、两点的运动规律，用变量表示这两点所表示的数，求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得； （3）由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，由面积之间的关系列方程即可求得． 【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4， 点表示的数为， 动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为， 若点在点右侧时：， 解得：； 若点在点左侧时：， 解得：； 综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度； （3）解：如图1，均在线段上， 两正方形有重叠部分， 点在点的左侧， ， ， 重叠部分面积， 重叠部分的面积为正方形面积的一半， ， 解得（舍去），； 如图2，均在线段外， ， 重叠部分面积， ， 解得（舍去），， 故答案为：4.8或24． 【点睛】本题主要考查了数轴上求点表示的数及动点和由运动产生图形面积变化的题型，重点在于把握清楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键． 11．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点 表示数为 ，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为 ． (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形ABCD重叠部分面积记为S，当时，画出图形，求出数轴上点表示的数． 【答案】(1) (2)图见解析，2或 【分析】（1）根据正方形的面积求出边长，即可得出点B所表示的数； （2）分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为16， ∴， ∴点B所表示的数为：， 故答案为：； （2）解：当时， ①若正方形向右移动，如图1， 重叠部分中， 则点表示的数为：； ②若正方形向左移动，如图2， 重叠部分中， 则点表示的数为： 故点表示的数为2或−4. 【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的前提． 12．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图1，正方形的边在数轴上，为原点，正方形的面积为16. （1）数轴上点表示的数为 . （2）将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积记为，如图2，长方形的面积为，当恰好等于原正方形面积的时，求数轴上点表示的数 【答案】（1）4.（2）6.5或1.5 【分析】（1）由正方形的边长为4，即可知A的表示的数为4； （2）先求出重叠的面积为6，再根据长方形的面积公式知重叠长方形的长为1.5，故可求出A’ 表示的数，但是要分向左向右两种情况讨论； 【详解】（1）∵正方形的面积为16， ∴OA=4，故A的表示的数为4. （2）S==6， 故重叠长方形的长为1.5 ①向右平移时，O’A=1.5，则AA’=2.5 故OA’=OA+AA’=4+2.5=6.5，A’表示的数为6.5， ②向左平移时，OA’=1.5，则A’表示的数为1.5. 【点睛】此题主要考查数轴上的图像运动，解题的关键是熟知数轴上的点所对的数字特点. 【经典例题三 数轴上的动点问题——定值问题】 13．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，； (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动，N为的中点，下列两个结论： ①长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 【答案】(1)6秒 (2)24 (3)①，12 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴的两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． （1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2）表示出后，化简即可得出结论． （3），分别表示出的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：如图1， 设出发秒后， 当点P在点B左边时，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：∵， ∴； （3）解：选①； 如图2， ∵， ∴①（定值）； 或者②（变化）． 14．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【答案】(1)不是 (2)或者 (3) 【分析】（1）根据关联点的定义，即可； （2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值； （3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，的数量关系． 【详解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，， ∴， ∵不是整数， ∴原点不是“整关联点”． 故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，， ∴， 若点是“整关联点”， ∴， 当点在线段之间，， ∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，， ∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者． 故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴， 解得：， ∴整数，满足的数量关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，线段的数量关系，理解新定义的概念． 15．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 16．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或；存在，． 【分析】（）求出的长度和中点，然后求出中点到点的距离即中点到点的重合点的距离，即可求得点的重合点； （）分别以为中点，列出方程求解即可；使的值为定值，列出等式中的含项合并为，从而求出的值． 【详解】（1）， ， ∴的中点表示的数为：， ∵， 点B的重合点为， 故答案为：； （2）解：由题意可知，秒时，点所在的数为：，点所在的数为：，点所在的数为：， （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则， 解得； 综上，当或或时，三点中恰有一点为另外两点的中点； 假设存在． ∵在右侧，在右侧， ∴，， ∴， 当即时， ，为定值， 故存在常数使的值为定值． 【点睛】此题考查了数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是能用两点间的距离公式列出方程． 17．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)的值不随着时间的变化而变化，值为． 【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 解得：，， ∴线段的长为：， 故答案为：，，； （2）由（）得：， ∴， 设对应的数为， 由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，， 解得: ， 当在、中间时，， 解得: ， 故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键． 18．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    【答案】(1)①②或5 (2) (3)①，，②不变，2 【分析】（1）①根据两点之间的距离公式可得； ②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可； （2）的最小值，意思是到的距离与到2的距离之和最小，那么应在和2之间的线段上； （3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②如果，即， ∴， ∴或． 故答案为：①；②或5； （2）∵， ∴即为数轴上某点到的距离与该点到2的距离之和，如下图，   的最小值，即表示某点到的距离与到2的距离之和最小， 所以，当时，最小值是3． 故答案为：； （3）①∵是最大的负整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2． 理由如下： ∵点都以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 【经典例题四 绝对值与数轴综合】 19．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）已知，与两个数在数轴上对应的点分别为点A、点B．求A、B两点之间的距离． 【探索】 小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索： 因为，则有以下情况： 情况一、若，，如图①、A、B两点之间的距离：；    （1）补全小明的探索． 【应用】 （2）若点对应的数为，数轴上点到A、两点的距离相等，求．（用含、的代数式表示） （3）若点对应的数为，数轴上点到A的距离是点到的距离的倍，请探索的取值范围与点个数的关系，并直接写出、、、的关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①时，点有1个，；②时，有两个，，或；③时，有两个．或． 【分析】（1）补充情况二，若，；情况三，若，则，得结论若，则． （2）由（1），，得． （3）根据题意，，分情况讨论：①如图1，点在两点之间，且位于中点时，点有1个；②如图2，图3，令点是的中点，当点位于点的左侧时，,,可求得时，点有两个．③如图4，图5，令点是的中点，当点位于点的右侧时，,,可求得时，点有两个，分别根据距离公式求解参数间关系． 【详解】解（1）情况二，若，， 则；    情况三，若，则， 则    综上，若，则； （2）数轴上点到A、两点的距离相等，则， ∴，得； （3）根据题意，， ①如图1，点在两点之间，且位于中点时，，， 则，， ∴时，点有1个；    ②如图2，图3，令点是的中点，当点位于点的左侧时，，， 如图2，若点位于之间：，得，    如图3，若点位点的左侧：，得；    ∴时，点有两个； ③如图4，图5，令点是的中点，当点位于点的右侧时，，， 如图4，若点位于之间：，；    如图5，若点位点的右侧：，得；    ∴时，点有两个． 【点睛】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点间距离；注意动点的多情况讨论是解题的关键． 20．（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3)当时，的值不变． 【分析】（）根据绝对值的意义解方程即可求解； （）由得到所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离，根据两点间距离公式计算即可求解； （）根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变,分别求出点从点运动到点和到点的时间即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变, 点从点运动到点的时间为秒， 点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，的值不变． 21．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点B，再把点A向左移动个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和______，B，C两点间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为______；如果A与B之间的距离为3，那么______； (3)若点A表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (4)若x为整数，当时，______． 【答案】(1)图见详解，，1，； (2)，，； (3) (4)或； 【分析】（1）在数轴上找到的相反数并标出来，根据平移的规律左减右加得到C，结合数轴上两点距离关系求解即可得到答案； （2）根据题意数轴上两点间距离求解即可得到答案； （3）列式求解即可得到答案； （4）分x在的左侧和2的右侧两类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：的相反数是，如图所示， ， 故点B和点C表示的数分别为：，1， ∴B，C两点间的距离是：； （2）解：由题意可得， 数轴上表示x和的两点间距离是：， 当距离为3时， ，即：或， 解得：或； （3）解：由题意可得， ， 即：或， 解得：； （4）解：∵， ∴x在，2的两侧， 当x在的左侧时， ∵， ∴，解得：， 当x在2的右侧时， ∵， ∴，解得：， ∴或； 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离等于两点之差的绝对值． 22．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)满足的有理数x有______个． (4)当______时，代数式的最小值是2． 【答案】(1)15； (2)0或6 (3)无数 (4)当a为或时，最小值是2 【分析】（1）根据两点间距离公式计算； （2）根据数轴上两点间距离公式的定义，结合数轴求解； （3）由数轴上两点间距离公式，可判断，这样的有理数x有无数个； （4）由数轴上两点间距离公式，由题意得表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点），若，则，若，则． 【详解】（1）数轴上表示6与的两点之间的距离是；数轴上表示x与2的两点之间的距离是． （2）表示x与3的距离为3，则x=0或6． （3）表示x与的距离与它与3的距离之和为5，则，这样的有理数x有无数个． （4）的值为“表示x的点与表示的点的距离”与“表示x的点与表示的点的距离”之和． 当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值. ∴表示的点与表示的点的距离为2． 若，则， ∴． 若，则， ∴． 综上，当或时，原式的最小值是2． 【点睛】本题考查数轴上两点间距离计算；理解数轴上两点间距离计算公式是解题的关键． 23．（2022七年级上·浙江·专题练习）【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中 ，求M、N两点之间的距离． 小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索： 解：因为m＞n，所以有以下情况： 情况1：若，，如图①，M、N两点之间的距离； 情况2：若，，如图②，M、N两点之间的距离； 情况3：若，，如图③，M、N两点之间的距离． 由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中，则M、N两点之间的距离． 【应用】 在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c． (1)若 ，，则a＝　　． (2)若，，点C到点A的距离是点C到点B距离的倍． ①当时，求c的值； ②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围 　　． (3)若，且a、b为整数，当的值最大时，求A、B两点之间的距离． 【答案】(1)3或 (2)① 或；②且 (3) 【分析】（1）分两种情况讨论，即点A在点B的左侧，点A在点B的右侧； （2）①分两种情况讨论，即点C在线段之间，点C在点A的左侧；②分三种情况讨论，即点C在点A的左侧，点C在线段之间，点C在点B的右侧； （3）根据，的值最大，a，b两个数一定都是负数，又因为a、b为整数，所以a，b的值就确定了，即可求出． 【详解】（1）解：分两种情况： 当点A在点B的右侧，即 时， ∵， ∴，， 当点A在点B的左侧，即时， ∵， ∴，； （2）解：①分两种情况： 当点C在线段之间时， ，即，， 当点C在点A的左侧时，，即，， 所以，或； ②分三种情况： 当点C在点A的左侧时， ， 当点C在点B的右侧时；， 当点C在线段AB之间时，或， 又因为点C的个数始终有两个，n≠1， 所以 且； （3）解：∵，的值最大， ∴ ， 因为a、b为整数， 所以，或，， 所以． 【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴，绝对值的意义，在未画图类问题中，正确画图是解决问题的关键，同时本题渗透了分类讨论的思想． 24．（23-24七年级上·北京怀柔·期末）阅读下面一段文字： 在数轴上点A，B分别表示数a，b.A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离. 例如：当a=2，b=5时，=5-2=3；当a=2,b=-5时，==7；当a=-2，b=-5时，==3.综合上述过程，发现点A、B之间的距离=(也可以表示为). 请你根据上述材料，探究回答下列问题： （1）数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； （2）表示数a和-2的两点间距离是6，则a= ； （3）如果数轴上表示数a的点位于-4和3之间，求的值. （4）是否存在数a，使代数式的值最小？若存在，请求出代数式的最小值，并直接写出数a的值或取值范围，若不存在，请简要说明理由. 【答案】（1）2；（2）4或-8；（3）7；（4）2. 【分析】（1）根据数轴的特点即可求解； （2）根据题意得到=6，即可求解； （3）根据A，B两点之间的距离即可求解； （4）根据数轴上两点距离公式求出a的取值，即可求解. 【详解】解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是3-1=2 故填：2； （2）根据题意得到=6， 即=6 ∴a+2=±6 解得a=4或a=-8， 故填：4或-8； （3）∵表示数a的点位于-4和3之间， ∴=a+4，=3-a. ∴= a+4+3-a=7. （4）代数式的值存在最小， 表示a到1,2,3的距离之和， 故当a=2时，=1+0+1=2. 所以，最小值是2. 【点睛】此题主要考查数轴的应用，解题的关键是熟知数轴上的点之间距离的特点. 【经典例题五 绝对值的化简求值】 25．（23-24七年级上·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得：， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 26．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当接近时，取得最小值接近为； 当时，，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 27．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5 （2）或9 （3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：或， 有最小值7，求得，代入计算即可求解； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当时，；当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵， ∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， ∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为， 所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， ． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． 28．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于. (1)数轴上表示5和1的两点之间的距离是_______；表示和2两点之间的距离是_______； (2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)若数轴上表示数a的点位于和2两点之间，求__________； (4)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_______. (5)当_______时，的值最小，最小值是_______. (6)若x表示一个有理数，求的最小值是_______. 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) (5)， (6)2500 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算解题； （2）利用两点间的距离公式解方程计算； （3）直接化简绝对值计算即可； （4）分不同的情况去掉绝对值解方程； （5）分在不同的取值范围时的最小值进行计算解题； （6）根据（5）中结论可以得到时，有最小值，计算解题即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：， 即或， 解得：或， 故答案为：或； （3）∵数轴上表示数a的点位于和2两点之间， ∴， 故答案为：； （4）当时，原方程为，解得：（舍去）； 当时，原方程为，永远成立； 当时，原方程为，解得：（舍去）； 故满足的整数x为：，，， 他们的和为， 故答案为：； （5）当时，原式； 当时，原式，这时； 当时，原式； 当时，原式； 故当时，的值最小，最小值是， 故答案为：，； （6）由（5）可得，当时，的最小值，最小为， 故答案为：2500． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． 29．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是_________；表示和两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_________． (2)，求x； (3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_________； (4)若数轴上表示数a的点位于与5之间，________； (5)求的最小值． 【答案】(1)5，1，； (2)或． (3)12； (4)8； (5)最小值为9 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据绝对值可得：，即可解答； （3）根据绝对值分别求出，的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数的点到与5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【详解】（1）数轴上表示3和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． 故答案为：5，1，； （2）， 或， 或． （3），， 或，或， 当，时，则、两点间的最大距离是12， 则、两点间的最大距离是12， 故答案为：12； （4）若数轴上表示数的点位于与5之间， ． 故答案为：8； （5）当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值接近为 当时，原式，这时的最小值为 综上可得当时，式子的最小值为9 【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． 30．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题： (1)若数轴上两点A、B表示的数为x、，则A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ； (2)①当代数式取最小值时，x的取值范围是 ． ②求的最小值为 ． (3)有理数，，，且． 在以下数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中，并化简：．    【答案】(1) (2)①；②110 (3) 【分析】（1）根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为，代入即可解答； （2）①求的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当时，有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值； ②原式表示x的点到表示1、2、3．．．21的点的距离之和，根据两点的距离可得结论； （3）根据数轴上原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，又因为，，，所以即可确定这三个数的位置；根据数轴上点的位置，看绝对值里面的式子结果是正数还是负数，然后脱掉绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：A、B之间的距离可用含x的式子表示为； 故答案为：； （2）解：①的最小值为2，此时x的取值是； 故答案为：； ②表示x的点到表示1、2、3．．．21的点的距离之和， ∴当时，最小值是： ． 故答案为：110； （3）解：根据数轴上原点左边的数小于0，原点右边的数大于0， 又因为，，，，且， 所以数轴为：   ； 所以， 所以 ． 【点睛】本题考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题． 【经典例题六 绝对值中的最值问题】 31．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为:； （2）解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 32．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离______； ③当，时，A，B之间的距离______． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______； 【问题解决】 （3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 （4）拓展： ①若，则______． ②若，则______． ③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______． 【答案】（1）7，3；（2）；（3）或；（4）①4②0或8③7，0 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离； （1）利用数轴直接得到A，B之间的距离即可； （2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为； （3）解绝对值方程即可； （4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出，的取值范围，然后计算解题． 【详解】（1）②；                   ③； 故答案为：7，3． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为， 故答案为：． （3）∵ ∴， 解得： 或；               （4）①， 即， 解得：； 故答案为：4． ②若， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：8或0． ③由题可知，， 又∵， ∴，， 即，， ∴代数式的最大值是，最小值是， 故答案为：7，0． 33．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离与，与．并回答下列各题：    (1)你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与在数轴上的对应点的距离是 ． (2)若数轴上的点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离可以表示为 ． (3)结合数轴思考，的最小值为多少？ (4)满足，求的值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据题意，计算即可； （2）根据题意，与两点间的距离表示为，整理式子即可； （3）根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”，故当时，的值最小，计算即可； （4）由（3）知，的最小值5；可知分“当时”和“当时”两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：； （2）解：根据题意，与两点间的距离表示为， 故答案为：； （3）解：根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为； （4）解：∵由（3）知，的最小值5， ∴； ∴当时，， ∴； 当时，， ∴． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离、分类讨论是解题的关键． 34．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】（1）；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①；②8，；③ 【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案； （2）根据材料2填空，分情况讨论点的位置，得出到其他点的距离之和最小； （3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【详解】解：（1）， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 故答案为：． （2）①当点在点左边， 当点在点、点之间， 当点在点右边， ∴当点在点、点之间时才能使到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． ②当点在点左边， 当点在点、点之间时， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边，， ∴点应设在点时才能使到三点的距离之和最小． 故答案为：点． ③当点在点左边，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边时，， ∴当点在点、点之间时，到四点的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． （3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7． ∴有最小值，最小值为7． 故答案为：． ②由探究材料2得，这是在求点到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为8，8． 故答案为：． ③由探究材料2得，这是在求点到、、、5四点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为18，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 35．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示和的两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______ ，如果，那么为______ ． (2)探索规律： ①当有最小值是______ ． ②当有最小值是______ ． ③当有最小值是______ ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台A、、、、、、、、，一只配件箱应该放在工作台______ 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______ 米 (4)知识迁移 最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】(1)①；②；或 (2)①②③ (3)； (4)； 【分析】（1）由数轴上两点间的距离公式可直接得出答案； 先由数轴上两点间的距离公式得，进而得，据此解出即可； （2）根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离； 根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当数轴上表示数的点与表示的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离； 根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，的值为最小值，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离与数轴上表示数，两点之间的距离之和； （3）由（2）可知：当配件箱放在流水线的中点处，共作人员所走的路程最短，进而再求出最短路程即可； （4）根据的几何意义意义分三种情况进行讨论：当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即，可得；当在数轴上表示数的点在表示数，两点之间时，即，可得，当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即，可得，综上所述可得出，据此可得出答案． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：； 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：；． 数轴上表示和的两点和之间的距离是：， 当，则， 或， 由解得：， 由解得：， 的值为：或， 故答案为：；或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为， 即有最小值是． 故答案为：． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为， 即有最小值是， ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离与数轴上表示数，两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是． 故答案为：． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． 故答案为：；． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、两点间的距离之差， 当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ，， ； 当在数轴上表示数的点在表示数，两点之间时，即， 则，， ，， ， 当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ，， ， ， 的最大值是，的最小值是． 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离，理解题意，理解数轴上点A所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． 36．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ． (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为 ． (3)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是 ． ②当时，数a的取值范围是 ，这样的整数a有 个 ③有最小值，最小值是 ． 【答案】(1)5，2 (2) (3)①或8；②，6；③ 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的意义可得； （3）①利用绝对值定义知或，分别求解可得；②根据绝对值的几何意义可知时，，再由是整数，求出符合条件的的值即可；③根据绝对值的几何意义可知当时，的最小值是2026． 【详解】（1）解：数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是； 故答案为：5，2； （2）若，那么的值为5或， 故答案为：； （3）①数轴上点用数表示，若，则或， 或， 故答案为：或8； ②表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 时，， 是整数， 的值有，，0，1，2，3， 故答案为：，6； ③表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离；熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 【经典例题七 有理数中的规律探究问题】 37．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)7 (3)4 (4)①；② 【分析】（1）由题意可知，，再解方程即可； （2）由点P位于表示的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和的距离和，由，即可得到答案； （3）由题意得到，，则，即可得到答案； （4）①先确定点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短，然后求出运动的路程，然后求出时间即可； ②先求出同时都经过这5个点需要运动的次数，然后求出运动的总路程，最后求出时间即可． 【详解】（1）解：∵点P对应的数记为m，点P与表示有理数的点的距离是个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ∴表示点P到2和的距离和， ∵， ∴， 故答案为：7； （3）解：∵， ∴， 故答案为：4． （4）解：①∵点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25， ∴当点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短， ∵点Q从原点出发需要运动次才能到， ∴点Q运动的距离为：， ∴运动时间为：（秒）， 即Q点运动秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短； ②动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，且需要运动的次数为： （次）， ∴需要运动的路程为：， ∴运动时间为：（秒）， 即从出发到都经过这5个点的最短时间为秒． 【点睛】此题考查了数轴，用数轴上点表示有理数，数轴上两点间距离公式，有理数混合运算，规律探索，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 38．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)的最大值为秒 【分析】 （1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， （2）解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， （3）解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 39．（23-24七年级上·天津津南·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D；② (2)①2019；②，1010；③． 【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，，则点表示，点表示1010；③利用中点坐标公式即可解决问题； 【详解】（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为， 故选：D． ②一机器人从数轴原点处开始，第1次向左跳一个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：． （2）①对称中心是1， 表示的点与表示2019的点重合， 故答案为：2019； ②对称中心是1，， 则点表示，点表示1010， 故答案为：，1010； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、有理数的加减混合运算、中心对称等知识，利用数形结合的思想来找到规律，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 40．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合。研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P．Q两点都停止运动，设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)填空：A，B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______： (2)当t为何值时，P，Q两点间距离为3． (3)若点M为的中点，点N为的中点，在运动过程中，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出相应的数值． 【答案】(1)，； (2)当或或时，P，Q两点间距离为3； (3)当时，的值不会发生变化，相应的数值为；当时，的值会发生变化，理由见解析． 【分析】（1）根据A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为进行求解； （2）分两种情况：当Q点未到达A点前；当Q点到达A点返回后；分别表示出点P与点Q表示的数，结合已知条件列出方程并解答即可； （3）先利用中点公式求出点M和点N表示的数，分两种情况：①当点Q由B向A运动过程中，即时，②当时，分别进行求解即可得到答案． 此题考查了数轴上的动点问题，绝对值方程，弄清数轴上两点间的距离公式和中点公式是基础，分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：当Q点未到达A点前，， ∵t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当Q点到达A点返回后，则，点P表示的数为，点Q表示的数为，此时点P在前，点Q在后， 由得：， 解得：； ∴当或或时，P，Q两点间距离为3； （3）解：会发生变化， 由题意可知，点P整个过程的运动时间是秒，点Q整个过程的运动时间是 秒，分两种情况讨论如下： ①当点Q由B向A运动过程中，即时， ∵点M为的中点，点N为的中点，t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，． ∴， 故当时，的值不会发生变化，相应的数值为． ②当点Q由A向B运动过程中，即时， ∵点M为的中点，点N为的中点，t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，． ∴当时，的值会发生变化， 综上可知，当时，的值不会发生变化，相应的数值为；当时，的值会发生变化． 41．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为， 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，    当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）探索规律： ①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______； ②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______； ③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______． （4）规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． （5）知识迁移 有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案． 【答案】（2）①3；4；②；1或；（3）①小，1；②小，2；③小，4；（4）E；40；（5）有最大值9，最小值． 【分析】（2）①根据两点间距离的求法直接求解即可； ②根据两点间距离的求法直接写出即可； （3）①根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值1； ②根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值2； ③根据绝对值的几何意义可知，当或时，有最小值4； （4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； （5）分三种情况对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可． 【详解】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3，4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ∵， ∴， ∴或， 解得或3， 故答案为：；1或； （3）①∵表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1； ②表示数轴上有理数x所对应的点到1、2和3所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为2， 故答案为：小，2； ③表示数轴上有理数x所对应的点到1、2、3和4所对应的点的距离之和， ∴当或时，有最小值4， 故答案为：小，4； （4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40； （5）有最大值和最小值，理由如下： 当时，， 当时，， 当时，， ∴有最大值9，最小值． 【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． 42．（23-24七年级上·陕西西安·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)【综合运用】填空：A、B两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； (2)当t为何值时，？ (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)12，4； (2)当或时，； (3)不发生变化，． 【分析】（1）根据A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为进行求解； （2）根据数轴上两点间的距离公式得到，结合已知条件列出方程并解答即可； （3）先利用中点公式求出点M和点N表示的数，再用数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，线段的中点表示的数为， 故答案为：12，4； （2）解：∵t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴当或时，； （3）解：不发生变化，； ∵点M为的中点，点N为的中点，点P表示的数为， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】此题考查数轴上的动点问题，绝对值方程，解题的关键是弄清数轴上两点间的距离公式和中点公式． 学科网（北京）股份有限公司 $$