精品解析：辽宁省铁岭市开原市2023-2024学年七年级下学期6月月考数学试题

2023—2024学年度下学期随堂练习 七年数学（三）北师大 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 雪花，又名未央花，是一种美丽的结晶体，李白曾用“燕山雪花大如席”来形容燕山雪花之大，但事实上，单个雪花的重量只有左右，用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列图形中，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 5. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表： 尺码/英寸 … 22 23 24 25 26 腰围/cm … 小华的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是（ ） A. 28英寸 B. 29英寸 C. 30英寸 D. 31英寸 6. 如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点.只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．则判定△OAB≌△OA′B′的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 7. 如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 8. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 9. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ） ①；②； ③． A. ①②③ B. ②③ C. ② D. ③ 10. 深高紫憩水吧购买了以下四款奶茶杯，小茗同学使用饮水机用恒定不变的水速往奶茶杯 子里注水，该杯子里的水位高度与注水时间的关系如图，则该奶茶杯的形状可能是（　　） A. B. C. D. 二．填空题 （共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 某班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为，已知这个长方形“学习园地”的长为3a，则宽为______． 12. 一杆古秤在称物体时状态如图所示，已知，则的度数是___． 13. 一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围）_________． 14. 如图，点D是边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，的面积为，则的面积________． 15. 如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动__________秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2）（简便算法） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： （1）画出所有与格点（顶点均在格点上）全等格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； （2）在上画出点，使得的周长最小； （3）若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 19. 如图，，射线与交于点F，射线与交于点H．若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：∵（已知） ∴____________（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴____________（_______________） ∴___________（等量代换） ∵（已知） ∴__________（_____________） ∴（_____________） ∴（_____________） 20. 端午节假期间，小亮一家到某度假村度假．小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．他爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村．如图是他们离家的距离与小亮离家的时间的关系图．请根据图回答下列问题： （1）图中的自变量是________，因变量是________． （2）爸爸比小亮和他妈妈晚________出发，爸爸驾车的速度是________． （3）请写出图中点表示的意义； （4）当________时，爸爸在驾车返回家里的途中与小亮和他妈妈相遇． 21. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 22. 若一个整数能表示成（，是整数）形式，则称这个数为“完美数”．例如，所以13是“完美数”．再如，（，是整数），所以也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是________； 判断：45________（请填写“是”或“不是”）“完美数”； （2）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． （3）如果数，都是“完美数”，，试说明也是“完美数”． 23. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期随堂练习 七年数学（三）北师大 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 雪花，又名未央花，是一种美丽的结晶体，李白曾用“燕山雪花大如席”来形容燕山雪花之大，但事实上，单个雪花的重量只有左右，用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式是解答的关键． 分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式、单项式乘单项式法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算正确，符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意， 故选：C． 4. 在下列图形中，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同位角的定义，掌握两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角是解题的关键． 根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：和是同位角的是C选项， 故选：C． 5. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表： 尺码/英寸 … 22 23 24 25 26 腰围/cm … 小华的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是（ ） A. 28英寸 B. 29英寸 C. 30英寸 D. 31英寸 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 依题意可设腰围的长度为与裤子的尺寸之间存在一种换算关系为，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意可设腰围的长度为与裤子的尺寸之间存在一种换算关系为， ， 解得：， ， 当腰围为，即时，则有， ． 故选：C． 6. 如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点.只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．则判定△OAB≌△OA′B′的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】根据SAS证明△AOB≌△A′OB′（SAS）即可； 【详解】解： ∵O是AA′，BB′的中点， ∴AO=A′O，BO=B′O， 又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角， ∴∠AOB=∠A′OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴A′B′=AB， ∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准， ∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 7. 如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边垂直平分线的交点的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边垂直平分线的交点的性质． 根据到三个村庄的距离相等，即确定一个点到三角形三个顶点都相等，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得这个点是三角形三个垂直平分线的交点． 【详解】解：∵由三条公路连接的A，B，C三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等， 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点， ∴这个集贸市场应建在三角形三边垂直平分线的交点处． 故选：D． 8. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：C． 9. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ） ①；②； ③． A. ①②③ B. ②③ C. ② D. ③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线和垂线段的画法，全等三角形的判定与性质，根据尺规作图痕迹可知，为的角平分线，为的垂线，可得，可判断结论Ⅱ，再由，，可得结论②正确．由无法得到判断①即可得解． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知， 为的角平分线，为的垂线， ∴，为直角三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵ ∴ 故结论③正确； ∵， ∴ 故结论②正确， ∵无法得到， ∴不能得到，故①错误， 故选：B． 10. 深高紫憩水吧购买了以下四款奶茶杯，小茗同学使用饮水机用恒定不变的水速往奶茶杯 子里注水，该杯子里的水位高度与注水时间的关系如图，则该奶茶杯的形状可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系，从图象可知，相同注水速度下，水面上升的速度随着注水时间的增加而减小，即可得出结论． 【详解】解：图象可知，相同注水速度下，水面上升的速度随着注水时间的增加而减小， ∴容器的形状可能是下窄上宽， 故选D． 二．填空题 （共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 某班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为，已知这个长方形“学习园地”的长为3a，则宽为______． 【答案】2a﹣3b+1 【解析】 【分析】根据宽＝面积÷长列出算式，再利用多项式除以单项式的运算法则计算可得． 【详解】解：根据题意，宽为（6a2﹣9ab+3a）÷3a＝2a﹣3b+1， 故答案为：2a﹣3b+1． 【点睛】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则． 12. 一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是___． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质∶两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，内错角相等得到，由的度数求出的度数，即可得到的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围）_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，根据“油箱内剩油量油箱内原有油量耗油量”写出y与x的关系式，将代入y与x的关系式，求出x的最大值，从而写出x的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 当时，得，解得， ， 与x的关系式为． 故答案：． 14. 如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，的面积为，则的面积________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分面积，得到，，进而得到，又因为，即可求出的面积． 【详解】解：点E是线段的中点， ，， ， F是线段的中点， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 15. 如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动__________秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【答案】0或6或12或18 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．此题要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在射线上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，与全等， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，与全等， 这时，，因此时间为秒； ③当P在射线上，时，与全等， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）； ④当P在射线上，时，与全等， ∵， ∴， ∴， 点P的运动时间为（秒）， 故答案为：0或6或12或18． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2）（简便算法） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、平方差公式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别计算即可； （２）根据平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算入化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用平方差公式，多项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： （1）画出所有与格点（顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； （2）在上画出点，使得的周长最小； （3）若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 【答案】（1）；， （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查作全等三角形的综合问题，轴对称最短问题以及利用网格求三角形的面积问题。 根据全等三角形的判定方法以及题目要求作出图形即可； 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； 把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，，即为所求． 故答案为：，，； 【小问2详解】 如图，点即为所求； 【小问3详解】 的面积． 故答案为：． 19. 如图，，射线与交于点F，射线与交于点H．若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：∵（已知） ∴____________（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴____________（_______________） ∴___________（等量代换） ∵（已知） ∴__________（_____________） ∴（_____________） ∴（_____________） 【答案】；；角平分线的定义；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换 【解析】 【分析】根据角平分线的定义、平行线的判定与性质等进行作答即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线的定义） ∴（等量代换） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） 故答案为：；；角平分线的定义；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 端午节假期间，小亮一家到某度假村度假．小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．他爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村．如图是他们离家的距离与小亮离家的时间的关系图．请根据图回答下列问题： （1）图中的自变量是________，因变量是________． （2）爸爸比小亮和他妈妈晚________出发，爸爸驾车的速度是________． （3）请写出图中点表示的意义； （4）当________时，爸爸在驾车返回家里的途中与小亮和他妈妈相遇． 【答案】（1）时间，距离 （2）1，60 （3）小亮出发小时后，离度假村的距离为 （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象以及常量与变量、函数关系式，利用函数图象获取正确信息是解题关键． （1）直接利用常量与变量的定义得出答案； （２）利用函数图象求出爸爸晚出发1小时，再根据“速度=路程时间”可得答案； （3）根据函数图象的横纵坐标的意义得出点的意义； （4）根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：自变量是时间或，因变量是距离或； 故答案为：时间；距离； 【小问2详解】 小爸爸比小亮和他妈妈晚出发，爸爸驾车的速度是； 故答案为：1，60； 【小问3详解】 图中点表示：小亮出发小时后，离度假村的距离为； 【小问4详解】 妈妈的速度为； 根据题意得：， 解得， 即当时，爸在驾车返回家里的途中与小亮和他妈妈相遇． 故答案为：． 21. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 解：是的平分线 理由如下：在和中，， ∴ ∴， ∴平分． 小问2详解】 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． 22. 若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，所以13是“完美数”．再如，（，是整数），所以也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是________； 判断：45________（请填写“是”或“不是”）“完美数”； （2）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． （3）如果数，都是“完美数”，，试说明也是“完美数”． 【答案】（1）5（答案不唯一）， （2），详见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用、完全平方公式的应用，解题关键是理解新定义，利用配方法进行解答． （1）根据新定义，判断，并写出一个小于10“完美数”即可求解； （2）先运用完全平方公式将s进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可； （3）设，则，根据多项式乘多项式法则去括号，再利用配方法化简得，以此即可说明． 【小问1详解】 解：∵， ∴是“完美数”， ， ∴是“完美数”； 故答案为：5(答案不唯一)，是； 【小问2详解】 ， ∵s为“完美数”， ， ； 【小问3详解】 设， ， 为整数， ∴是“完美数”． 23. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于． （3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线(已知)， ∴， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， ． （3）解：如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$