精品解析：浙江省宁波市江北区青藤书院强基班2023-2024学年七年级上学期分班数学试题

2023－2024学年浙江省宁波市江北区青藤书院强基班七年级（上）分班数学试卷 一．选择题（每题3分，共6分） 1. 若一个n位数中各数字的n次幂之和等于该数本身，这个数叫做“自恋数”，下面四个数中是自恋数的是（ ） A. 66 B. 153 C. 225 D. 250 2. 设a是有理数，用表示不超过a的最大整数，如：，，，，则下列四个结论中，正确的是（ ） A. B. 等于0或 C D. 等于0或1 二、填空题（每题4分，共48分） 3. 如果个不同的正整数m、n、p、q满足（7-m）（7-n）（7-p）（7-q）=4，那么m+n+p+q＝_______． 4. 用⊕表示一种运算，它的含义是：A⊕B＝，如果，那么3⊕4＝______. 5. 一个列数是按以下规律组成的：……则数第一次出现是数列中的第_________项． 6. 若a、b、c都为整数，满足，则_________． 7. 有依次排列3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作：做第二次同样的操作后也产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，相继依次操作下，则从数串：3，9，8开始操作第100次时所产生的那个新数串的所有数之和是____． 8. 已知，则最大值为_________；的最小值为_________． 9. A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在_________时_________分出发的． 10. 当_________时，取得最小值为_________． 11. 若四位数的各个数位上的数字具有如下特征：个位数是其余各个位上的数字之和，则称该四位数是和谐数，如2013满足，则2013是和谐数，又如2015不是和谐数，因为，那么在大于1000且小于2025的所有四位数中，和谐数的个数有_________个． 12. 黑板上写有1，，，，…，共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，则经过_____次操作后，黑板上只剩下一个数，这个数是_____． 13. 大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，，，，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是______． 14. a、b、c都是质数，且满足，则_________． 三、解答题（共46分） 15. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示， （1）用＜，＞，＝填空：a+c 0，c﹣b 0，b+a 0，abc 0； （2）化简：|a+c|+|c﹣b|﹣|b+a|． 16. （概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C.． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18 阅读探究：；；；＝；… （1）根据上述规律，求的值； （2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； （3）根据你发现规律，计算下面算式的值：． 19. 已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）求A、B两点对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位的长度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位的长度的速度向左运动，在点C追上了点A，求点C对应的数． （3）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动的过程中线段PO-AM的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年浙江省宁波市江北区青藤书院强基班七年级（上）分班数学试卷 一．选择题（每题3分，共6分） 1. 若一个n位数中各数字的n次幂之和等于该数本身，这个数叫做“自恋数”，下面四个数中是自恋数的是（ ） A. 66 B. 153 C. 225 D. 250 【答案】B 【解析】 【详解】A选项：66≠62+62，故是错误的； B选项：153＝13+53+33，故是正解的； C选项：225≠23+23+53，故是错误； D选项：250≠23+53+03，故是错误的. 故选B. 2. 设a是有理数，用表示不超过a的最大整数，如：，，，，则下列四个结论中，正确的是（ ） A. B. 等于0或 C. D. 等于0或1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，理解的定义，利用特值法解题是关键．分两种情况：是整数和不是整数，根据已知新定义分别求解即可． 【详解】解：若是整数时，， 若不是整数时，例如， 则，， 所以，， 综上可知等于0或， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共48分） 3. 如果个不同的正整数m、n、p、q满足（7-m）（7-n）（7-p）（7-q）=4，那么m+n+p+q＝_______． 【答案】28 【解析】 【分析】由已知可知7-m、7-n、7-p、7-q为4个不同的整数，再将4表示成4个不同整数相乘的形式，即可求得值． 【详解】解：∵m、n、p、q为4个不同的正整数， ∴7-m、7-n、7-p、7-q为4个不同的整数， 又∵4=2×2×1×1， ∴4=-1×（-2）×1×2， ∴7-m、7-n、7-p、7-q为-2、-1、1、2， ∴（7-m）+（7-n）+（7-p）+（7-q）=-2+（-1）+1+2=0， ∴m+n+p+q=28． 故答案为28. 【点睛】本题考查多项式乘多项式的性质，解题关键是把4表示成4个不同整数相乘的形式． 4. 用⊕表示一种运算，它的含义是：A⊕B＝，如果，那么3⊕4＝______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的新定义化简已知等式求出x的值，所求式子利用新定义化简后，将x的值代入计算即可求出值. 【详解】解：根据题中的新定义得：2⊕1＝+＝， 去分母得：2+x＝10，即x＝8， 则3⊕4＝+＝＝. 故答案为 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 5. 一个列数是按以下规律组成的：……则数第一次出现是数列中的第_________项． 【答案】2877 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，找出数的规律是解题关键．将这列数按照分子分母相加之和进行分组，观察发现若分子分母之和为，则这一组的数的个数为，从而得到所在这一组有个数，前一组有个数，即可求解． 【详解】解：将这列数按照分子分母相加之和进行分组， 则……， 观察发现，若分子分母之和为，则这一组的数的个数为， 因为的分子分母之和为， 所以所在这一组有个数，前一组有个数， 因为， 所以， 即数第一次出现是数列中的第项， 故答案为：2877． 6. 若a、b、c都为整数，满足，则_________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据绝对值的定义列出方程组求解即可． 【详解】解：a、b、c都为整数， 与都为整数， ，且，， 或， 若，则，，， ， 若，则，，， ， 故答案为：0 7. 有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作：做第二次同样的操作后也产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，相继依次操作下，则从数串：3，9，8开始操作第100次时所产生的那个新数串的所有数之和是____． 【答案】520 【解析】 【分析】先根据题意求出前几次操作后所得新数串的所有数的和，从中发现规律，进而求出第100次操作所产生的新数串的所有数的和即可． 【详解】解：设，，，操作第次以后所产生的那个新数串的所有数之和为，当时， ； 当n=2时， ； …， 故当n=100时， ， 故答案为：520． 【点睛】本题考查数字类规律探究、整式的加减混合运算，理解每一次操作的方法，得出每一次操作后所产生的那个新数串的所有数之和的规律是解答的关键． 8. 已知，则的最大值为_________；的最小值为_________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案：， 9. A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在_________时_________分出发的． 【答案】 ①. 9 ②. 20 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设10点钟时，走了分钟，则走了分钟，根据“10点24分时B正好位于A与车站距离的中点”列方程求解，得出10点钟时，走了分钟，即可得到答案． 【详解】解：设10点钟时，走了分钟，则走了分钟， 由题意得：， 解得：， （分钟）， 即10点钟时，走了分钟， 是在9时20分出发的， 故答案为：9，20． 10. 当_________时，取得最小值为_________． 【答案】 ①. 1012 ②. 1023132 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，再根据绝对值的意义化简求值即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，是数轴上表示的点与表示1的点之间的距离； 是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离； …… 是数轴上表示的点与表示2023的点之间的距离； 即在数轴上找出表示的点，使它到表示1、2、3……2023各点的距离之和最小， 当时，取得最小值， 此时 ， 故答案为：1012，1023132． 11. 若四位数的各个数位上的数字具有如下特征：个位数是其余各个位上的数字之和，则称该四位数是和谐数，如2013满足，则2013是和谐数，又如2015不是和谐数，因为，那么在大于1000且小于2025的所有四位数中，和谐数的个数有_________个． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了利用排列规律解决实际问题，理解和谐数的定义是解题关键，注意做到不重不漏．根据和谐数的额定义，按个位数从分别列出满足条件的和谐数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，个位数为1时，和谐数有，共1个； 个位数为2时，和谐数有、、，共3个； 个位数为3时，和谐数有、、、，共4个； 个位数为4时，和谐数有、、、、，共5个； 个位数为5时，和谐数有、、、、，共5个； 个位数为6时，和谐数有、、、、、，共6个； 个位数为7时，和谐数有、、、、、、，共7个； 个位数为8时，和谐数有、、、、、、、，共8个； 个位数为9时，和谐数有、、、、、、、、，共9个； 即和谐数的个数有个， 故答案为：48 12. 黑板上写有1，，，，…，共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，则经过_____次操作后，黑板上只剩下一个数，这个数是_____． 【答案】 ①. 99 ②. 【解析】 【分析】将所给数化为＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，再根据题意可知，在操作的过程中，这100个数都要求和，操作99次后剩余一个数，则可得黑板最后剩下的是+99＝． 【详解】解：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣， 每次取两个数a，b，删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1， ∵这100个数的和是1++++…+=1+1﹣﹣﹣﹣＝2﹣＝， 则黑板上的数求和后，每次再加1， 每次都是去掉2个数，添加一个数，故黑板最后剩一个数，则操作99次， ∴黑板最后剩下是+99＝． 故答案为：99；． 【点睛】本题考查数字的变化规律以及有理数的加法等知识，理解题意并将所给式子进行拆项相加是解题的关键． 13. 大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，，，，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是______． 【答案】45 【解析】 【分析】根据题目中的式子，可以发现“分裂”后式子的特点，然后即可写出“分裂”后第一个奇数为，再根据“分裂”后，其中有一个奇数是，即可得到的值． 【详解】解：，，，， 可以分解为个连续奇数的和，且第一个奇数为， “分裂”后，其中有一个奇数是，当时，，当时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现“分裂”后式子的特点． 14. a、b、c都是质数，且满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了质数，奇数与偶数，绝对值，掌握所有的质数中只有2是偶数是解题关键．先假设a、b、c都是奇数，判断出与已知矛盾，得出a、b、c中必有两个偶数，从而令，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：若a、b、c都是奇数，则也是奇数， 那么为偶数，与已知矛盾， a、b、c中必有一个偶数， a、b、c都是质数， 中必有一个偶数2， 令，则， 若b、c都是奇数，则也是奇数， 那么偶数，与已知矛盾， b、c中必有一个偶数2， 令，则， ， ， 故答案为： 三、解答题（共46分） 15. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示， （1）用＜，＞，＝填空：a+c 0，c﹣b 0，b+a 0，abc 0； （2）化简：|a+c|+|c﹣b|﹣|b+a|． 【答案】（1）＜，＞，＜，＞；（2）0 【解析】 【分析】（1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解； （2）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可． 【详解】（1）根据数轴可知：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|， ∴a+c＜0，c﹣b＞0，b+a＜0，abc＞0， 故答案为＜，＞，＜，＞； （2）原式＝﹣（a+c）+（c﹣b）+（b+a） ＝﹣a﹣c+c﹣b+b+a ＝0． 【点睛】考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解决此题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c等字母的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用． 16. （概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C.． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 【答案】（1）C；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解除方的定义，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据除方的定义逐一判断即可； （2）根据除方的定义，结合有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解（1）A、设，则，说法正确，不符合题意； B、代表个1相除，结果仍为，说法正确，不符合题意； C、，，即，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不符合题意， 故答案为：C； （2） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分数的混合运算，有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将分数全部转化为分母为1的分数形式，再进行计算即可； （2）利用乘法分配律简便计算即可； （3）设，将原式转化为，再结合乘法分配律简便计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：设，则 18. 阅读探究：；；；＝；… （1）根据上述规律，求的值； （2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； （3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】（1）55 （2）能，（n为正整数） （3）1185 【解析】 【分析】（1）仿照阅读材料中方法计算即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式利用得出的规律计算即可求出值． 【小问1详解】 根据题意得：原式； 【小问2详解】 根据题意得：（n为正整数）； 【小问3详解】 根据题意得：①， ②， 则②－①得：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）求A、B两点对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位的长度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位的长度的速度向左运动，在点C追上了点A，求点C对应的数． （3）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动的过程中线段PO-AM的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）A对应-8，B对应20；（2）-22；（3）不变，定值为10 【解析】 【分析】（1）根据题意找出A与B点对应的数即可； （2）设经过x秒点A、B相遇，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出C点对应的数； （3）设运动时间是t秒，根据题意列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：（1）∵点A在原点的左边，距离原点8个单位长度， ∴点A表示的数为-8， ∵点A和点B之间的距离为28个单位长度，点B在原点的右边， ∴点B表示的数为：-8+28=20， 即A点所对应的数是-8；B对应的数是20； （2）设经过x秒点A、B相遇， 根据题意得：3x-x=28， 解得：x=14， 则点C对应的数为-8-14=-22； （3）设运动时间t秒，则AM=t，PO= ON=， 则PO-AM=-t=10． 即PO-AM为定值，定值为10． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$