精品解析：上海市宝山区世外学校（国内）2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

上海宝山世外学校高中国内部2023/2024学年第二学期 5月评估 高一数学 试卷 （考试时间: 120分钟 满分: 150分） 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知 则 等于________ 2. 若的终边所在直线经过点，则__________． 3. 向量在正方形网格中的位置如图所示，若 则 ___________ 4. 如图，是一平面图的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是__________ 5. 以下四个命题：①两个共轭复数差是纯虚数；②若，则；③若、，且，则；④，则.其中正确的有______个. 6. 单调增区间为_______ 7. 已知 则在上的投影向量为______ 8. 在不等边中，为最大边，若，则的取值范围为________. 9. 已知为复数，满足，则的值是________ 10. 自平面外一点向平面引垂线段及两条斜线段，它们在平面内的射影长分别为2和12，且这两条斜线与平面所成角相差45°，则垂线段的长为_______. 11. 在中，角的对边分别为，为边上的高，有以下结论：①； ②；③；④.其中所有的正确序号的是__________ . 12. 已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与有无数个公共点 D. 若，则与没有公共点 14. 下图是函数的部分图像，则（ ） A. B. C. D. 15. 在中，的对边分别记为，且，都是方程的根，则（ ） A. 等腰三角形，但不是直角三角形 B. 直角三角形，但不是等腰三角形 C. 是等腰直角三角形 D. 不是等腰三角形，也不是直角三角形 16. 下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形. 设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知，且与的夹角为 （1）求 与的夹角； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数k的取值范围. 18. （1）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面. （2）正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，求动点从沿表面移动到点时的最短的路程. 19. 2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 （1）若 ，求此花卉布展区域总面积； （2）求证： 一个定值； （3）在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，，BC=1，，PD=CD=2. （I）求异面直线PA与BC所成角正切值； （II）证明平面PDC⊥平面ABCD； （III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值． 21. 已知函数． （1） 试说明函数的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的； （2）若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是； （3）求函数的单调区间和值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海宝山世外学校高中国内部2023/2024学年第二学期 5月评估 高一数学 试卷 （考试时间: 120分钟 满分: 150分） 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知 则 等于________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量的加法运算及坐标运算可得 【详解】 故答案为： 2. 若的终边所在直线经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】直线经过二、四象限，又点P在单位圆上， 若的终边在第二象限，则， 若的终边在第四象限，则， 综上可知． 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单. 3. 向量在正方形网格中的位置如图所示，若 则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，再利用平面向量的坐标运算和向量相等求解. 【详解】建立如图所示平面坐标系： 则设， 则由 得， ①， ②， ①②联立得 故答案为 ： 4. 如图，是一平面图的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的几何性质，结合由斜二测画法得到的直观图与原图的面积关系，可得答案. 【详解】方法一： 是一平面图形的直观图，斜边， 直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是， 原平面图形的面积是. 方法二： 是一平面图形的直观图，斜边，直角三角形的直角边长是， 则，根据斜二测画法，原图如下图： 则，，则. 故答案为：. 5. 以下四个命题：①两个共轭复数的差是纯虚数；②若，则；③若、，且，则；④，则.其中正确的有______个. 【答案】0 【解析】 【分析】(1)设互为共轭复数的两个复数分别为及则,当时，即可判断出结果;(2)设, 则，即可判断出结果;(3)设, 则, 但不能比较大小，从而判断出结果;(4) 设,则，但并不相等，从而判断出结果. 【详解】(1)设互为共轭复数的两个复数分别为及则,当时，差不是纯虚数，故错误; (2)设, 则，故错误; (3)设, 则, 但不能比较大小，故错误; (4) 设,则，但并不相等，故错误. 综上所述，四个命题都错误，故正确的有0个. 故答案为：0. 6. 单调增区间为_______ 【答案】 【解析】 【分析】首先把函数的关系式，变形成正弦型函数，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】解：函数 ， 令 ， 整理得 ， 所以函数的单调递区间为 故答案为： 7. 已知 则在上的投影向量为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式即可得解. 【详解】因为，且 所以在 上的投影向量为 . 故答案为： . 8. 在不等边中，为最大边，若，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，再根据为最大边，即可得答案； 【详解】∵，∴，则. ∴.又∵为最大边，∴. 故的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查余弦定理的应用及三角形边角关系，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意大边对大角的应用. 9. 已知为复数，满足，则的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得为纯虚数，且虚部小于0，设，代入方程可得，解得y 即可得到答案. 【详解】由已知得，且，故为纯虚数，且虚部小于0， 设，代入方程可得， 解得或 （正根舍去）， 故，. 故答案为：. 10. 自平面外一点向平面引垂线段及两条斜线段，它们在平面内的射影长分别为2和12，且这两条斜线与平面所成角相差45°，则垂线段的长为_______. 【答案】4或6 【解析】 【分析】设与所成的角分别为，，则，由题意可得，然后利用两角和的正切公式即可得到结果. 【详解】设的长为两条斜线段在平面内的射影分别为,且，与所成的角分别为，，即,可得. 又，得或6. 故答案为：4或6 【点睛】本题考查线面角的定义，考查两角和的正切公式，考查计算能力，属于基础题. 11. 在中，角的对边分别为，为边上的高，有以下结论：①； ②；③；④.其中所有的正确序号的是__________ . 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据向量的线性运算和数量积运算一一检验，命题②还要用到余弦定理. 【详解】∵为边上的高，∴， ∴①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的线性运算，属于中档题. 12. 已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式得到＝sinC，结合余弦定理得到＋2cos C＝sin C＋2cos C，从而得到＝2sin C＋2cos C＝sin，求出最大值. 【详解】由三角形的面积公式得⇒＝sinC，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C⇒＝＋2cos C＝sin C＋2cos C， 所以＝2sin C＋2cos C＝sin，最大值是 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与有无数个公共点 D. 若，则与没有公共点 【答案】C 【解析】 【分析】根据点线面位置关系及平面的基本性质推理判断各个选项； 【详解】对于A，若 ，则 或 故A错误. 对于B，若 ，则 或a与b异面，故B错误. 对于C，若 ，则a上的所有点都是a与平面α的公共点，故a与平面α有无数个公共点，故C正确. 对于D，若，则 或a与平面α相交，若a与平面α相交，则a与α有且只有一个公共点，故D错误. 故选: C. 14. 下图是函数的部分图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象先求出函数的周期和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可. 【详解】解：由图象知函数的周期 ， 即 即 当 时，，解得， 所以， ， 当 时， ，解得， 所以， 故选： C. 15. 在中，的对边分别记为，且，都是方程的根，则（ ） A. 是等腰三角形，但不是直角三角形 B. 是直角三角形，但不是等腰三角形 C. 是等腰直角三角形 D. 不是等腰三角形，也不是直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】变形为 ， 三角形为直角三角形 16. 下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形. 设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】以AD 为x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ，由圆D 方程设 写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值. 【详解】骑行过程中，ABCDE 相对不动，只有P 点绕D 点作圆周运动. 如图，以AD 为x轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ， 由题意 圆D 方程为 设 则 ， 易知当 时，取得最大值36. 故选 ：C . 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知，且与的夹角为 （1）求 与的夹角； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出再由向量的夹角公式求解即可； （2）由题意得，且向量与不共线，从而可求出实数k的取值范围. 【小问1详解】 设与的夹角为θ， 因为，且与的夹角为 所以，， 所以 ， 因为，所以 ； 【小问2详解】 因为向量与的夹角是锐角， 所以，且向量与不共线， 由，得， 所以，即， 解得或， 当与共线时，设， 因为与不共线，所以，解得或， 当时，当时，， 综上， 18. （1）如图，在圆柱中，是圆柱母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面. （2）正六棱柱底面边长为，侧棱长为，求动点从沿表面移动到点时的最短的路程. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定得出结论； （2）根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较. 【详解】（1）底面，且底面， ， 又因为是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点， 所以，又，平面， 平面； （2）将所给的正六棱柱下图2表面按图1部分展开， 则， ， 所以， ，∴动点从沿表面移动到点的最短路程为. 19. 2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 （1）若 ，求此花卉布展区域总面积； （2）求证： 为一个定值； （3）在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出 面积，，在中用余弦定理求出 可以求出 面积，即可求出总面积； （2）分别在 和 中，用余弦定理表示出BD，即可证明为定值； （3）由，结合余弦定理可得，由正弦定理得，则 ，再由，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意，在 中，且 ， 则 ， 又由余弦定理，得 ， 解得 ， 又在 中，， 得 ， 所以 ， 所以 面积为 ， 所以花卉布展区域的总面积为 【小问2详解】 在 中，因为 ，所以 ， 在 中，，由余弦定理，得 ， 所以 ，则 ， 得 ，所以 为一个定值1. 【小问3详解】 因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c， 因为 ， 所以 ，则， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 则 ， 则 ， 故 所以的取值范围为. 20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，，BC=1，，PD=CD=2. （I）求异面直线PA与BC所成角的正切值； （II）证明平面PDC⊥平面ABCD； （III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】（I）2 (2)见解析 （3） 【解析】 【详解】（I）解：如图，在四棱锥P-ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC且AD∥BC，又因为,故为异面直线PA与BC所成的角.在中， 所以，异面直线PA与BC所成的角的正切值为2. （II）证明：由于底面ABCD为矩形，故，又由于，，因此而.所以. （III）解：在平面PDC中，过点P作交直线CD于点E，连接EB. 由于，而直线CD是平面PDC与平面ABCD所成的角. 在中，由于PD=CD=2，，可得. 中， 由AD∥BC，，得，因此. 在中， 在中， 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 21. 已知函数． （1） 试说明函数的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的； （2）若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是； （3）求函数的单调区间和值域. 【答案】（1）见解析；（2）偶函数，周期的证明见解析；（3）值域是，增区间为，减区间为． 【解析】 【分析】（1）先由二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据三角函数图象变换的规律求解； （2）求出的表达式，由奇偶性定义判断奇偶性，用反证法证明周期性； （3）根据（2）中得出的性质，在一个周期内求出函数的值域，即得函数在定义域内值域，求出一个周期内单调区间，根据函数的周期性可得所有单调区间（但要注意区间的连续性）． 【详解】（1）由题意， 把图象向右平移个单位得的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图象，最后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得的图象． （2）， ，∴是偶函数， ，是的一个周期，下面用反证法证明是最小正周期， 假设存在是的最小正周期，即恒成立，， 则，， ， 当时，，则，∴，即这与矛盾，∴假设错误， ∴是的最小正周期． （3）由（2），当时，， 由得，， ∴，， 此时当时，，单调递增，当时，，单调递减， ∵的最小正周期是，∴时，函数的值域是． 增区间为，减区间为． 【点睛】本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，考查三角函数的图象变换，考查函数的周期性与单调性．三角函数图象变换时要注意先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换时平移的单位不相同.三角函数是周期函数，研究它的性质有时可以在一个周期内研究，如求值域、单调区间、零点等等，然后加上周期的整数倍即可扩充到整个实数集上．但有些性质在一个周期上研究还不能得出正确结论，如对称性（对称轴，对称中心），除在含有一个周期的区间内的对称性外还必须考虑区间的端点处有没有相应的对称性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$