精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

建平县实验中学2023-2024学年高二下学期 期末考试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本套试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，根据子集关系列式运算得解. 【详解】由，解得，所以集合， 又，所以. 故选：C. 2. 已知向量，则“ ”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】向量，，解得， 所以“ ”是 “”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知等差数列的前15项之和为60，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式求得，再结合等差数列的性质求解. 【详解】，， 所以. 故选：C. 4. 统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用原则列出不等式，求解即得. 详解】按照原则可知，，解得， 所以的最大值为4. 故选：B. 5. 故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，符合题意的“吉数”的组合有：，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】由题意知，从5个阳数中和4个阴数中各取一个数组成的“吉数”的组合有：， 所以取到两位数为“吉数”的概率为. 故选：A 6. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可． 【详解】设直线l与曲线的切点为， 由，则， 则，，即切点， 所以直线l为，又直线l与圆都相切， 则有，解得或. 故选：D. 7. 在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由二面角的定义可得，从而，设，由三角形的面积相等和基本不等式得到，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】过作，垂足为，连接，则由三垂线定理可得， ∴即为二面角的平面角， ∴，，所以， 设，则， 在三角形中，， 又，所以， 所以，时等号成立， 所以三角形的面积为， 故截面PEF面积的最小值为. 故选：B. 8. 已知分别是双曲线的左，右顶点，是双曲线上的一动点，直线，与交于两点，的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】容易知道，设直线的方程为：，则直线的方程为：，求出，两点坐标，则，设的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值. 【详解】由已知得，，，由双曲线的对称性，不妨设在第一象限， 所以，， 所以， 设直线的方程为：，则直线的方程为：， 同时令，则，， 所以， 设的外接圆的半径分别为，， 由正弦定理得， ，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以. 故选：A 【点睛】结论点睛：若、分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上一动点，则直线与直线的斜率之积为定值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中，满足关系式，则（ ） A. B. 若数据，则 C. 数据，的平均数为 D. 若，数据不全相等，则这组数据的相关系数为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及相关系数的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，因为，故， 所以B正确； 对于C中，由， 其平均数，所以C错误； 对于D中，若，数据不全相等，则这组数据都分布在直线上， 根据样本相关系数的概念，可得相关系数为1，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的最小正周期为π，且对恒成立，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 函数的极大值点的集合是 D. 函数与函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定周期及最小值求出判断AB；求出极大值点判断C；利用对称求解判断D. 【详解】对于A，由函数的最小正周期为π，得，解得，A正确； 对于B，由恒成立，得是的最小值， 则，而，于是，B错误； 对于C，，由，得， 所以的极大值点的集合是，C正确； 对于D，由， 得函数与函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，在上可导，若，且关于对称，关于对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是上的偶函数 D. 是上的偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据原函数的对称性及周期性，再利用求导法则可得导函数的对称性及周期性，从而针对各个选项分别求解即可. 【详解】因为①，得②， 又因为关于对称，所以③， 由①②③得，所以④，则为偶函数， 又因为关于对称，⑤， 由④⑤得，则， 所以，得到，周期为， 因为，令，则， 又因为为偶函数，则，则， 所以，，故选项B错误； 因为， 得，， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 则，所以周期为， 由③知，，所以是上的偶函数，故选项C正确； 由选项B知，，，， 对三个式子分别关于求导可得，⑥，⑦，⑧， 由⑥得⑨，⑥-⑨结合⑧可得， 又因为，则，即， 则，周期为， 由知，，， 则，故A正确； 因为，则， 又因为，所以，则， 所以是上的奇函数，故D错误. 故选:AC. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用对称关系得出等量关系，两边求导数得出导数间的关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则的虚部为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质结合除法运算整理可得，即可得虚部. 【详解】因为，即， 可得， 所以的虚部是. 故答案为：. 13. 已知，则______________. 【答案】242 【解析】 【分析】利用二项展开式中系数的特点得到，从而利用赋值法即可得解. 【详解】因为， 所以， 对上式，令，得， 令，得， 故. 故答案为：242. 14. 已知抛物线E：的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（A点位于B点右方）.若为的角平分线，则______；直线l的斜率为______. 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】先根据抛物线得性质，求直线与轴所成得角，再利用焦半径公式，可求及点坐标，进一步可得直线即直线的斜率. 【详解】如图： 延长交抛物线E于点D，连接，过点A作轴于点H. 设直线：，代入得：， 设，，则，， 所以. 所以直线与关于x轴对称． 又因为为的角平分线，所以， 所以， 由抛物线定义可知：， 所以，则，. 又因为，所以或． 又因为，所以直线l的斜率或， 所以直线l的斜率为. 故答案为4；. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是推导直线，关于轴对称，求得，利用焦半径公式求解即可. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表（单位：只）： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 服用 合计 75 200 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论； （3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为，求的分布列及期望. 附表及公式：. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表见解析 （2）答案见解析 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据完成列联表即可； （2）由公式计算，然后根据临界值表进行判断； （3）由题意可得的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得的分布列与期望． 【小问1详解】 解：根据题意可得如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 90 服用 75 35 110 合计 125 75 200 【小问2详解】 由列联表可得， 在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效. 解释：由于，所以表示有小于的可能性证明这两个事件无关， 也就是在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效. 【小问3详解】 根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物， 所以的值可能为0，1，2，3，4，则，， ，，， 的分布列如下： 0 1 2 3 4 则． 16. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，即可证得； （2）计算出的边上的高，并求出点到平面的距离，由此可得出二面角的正弦值为. 【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面， 平面，则， ，则，为的中点，则， ，平面， 平面，因此，； （2），，，所以，， 同理可得， 取的中点，连接，则， 因为且，故四边形为矩形，则， 所以，， 由余弦定理可得，则， 所以，的边上的高， 平面，平面，则， ，，平面， 因为，平面，平面，故平面， ，故点到平面的距离， 设二面角为，则. 17. 已知函数. （1）讨论的最值； （2）若，且，求的取值范围. 【答案】（1）最小值为，无最大值. （2）. 【解析】 【分析】（1）求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间，进而求得其最值； （2）把不等式转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 .解：因为的定义域为，可得. 当时，令，可得； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值. 【小问2详解】 解：当时，由，可得， 整理得，即， 令， 则， 由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 18. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求的方程； （2）直线与交于两点，与轴交于点，与轴交于点，且. （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）当时，求点到的距离的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率建立方程求解即可； （2）（ⅰ）利用向量的坐标运算求得点的坐标，代入双曲线方程即可求解； （ⅱ）将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，根据向量坐标运算得，从而代入化简得，即过定点，进而根据几何性质求得点到直线最大距离. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得， 由，得，即， 由，得，即， 将的坐标分别代入的方程，得和， 解得，又，所以. （ⅱ）由消去，得， 其中， 设，则， 由， 得， 所以， 由，得， 即， 所以， 因此，又，所以. 所以的方程为，即过定点， 所以点到的最大距离为点与点的距离， 即点到的距离的最大值为2. 19. 对于数列把a₁作为新数列的第一项，把a₁或作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前n项和． （1）写出的所有可能值； （2）若生成数列满足，求数列的通项公式； （3）证明：对于给定的的所有可能值组成的集合为． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）列举出数列所有可能情况，分别计算和值即可； （2）根据与之间的关系分析可得：若，，进而分析可知当且仅当时，才成立．进而可得通项公式； （3）首先集合的个数最多有种情形，进而可知确定集合的表示形式，可知得分子必是奇数，进而可知只有当数列与数列的前项完全相同时，才有，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：，， 则， 由于， 所以可能值为． 【小问2详解】 因为， 当时，， 当时，， 可得，， 又因为是的生成数列， 则，，， 可得 在以上各种组合中， 当且仅当时，才成立． 所以． 【小问3详解】 因为共有种情形． 且，即， 又因为，分子必是奇数， 满足条件的奇数共有个． 设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为， 从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项． 由于，不妨设， 则 ， 所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有． 可知共有种情形，其值各不相同． 所以可能值必恰为，共个． 即所有可能值集合为． 【点睛】关键点点睛：第三问确定集合的表示形式，关键在于说明分子为奇数.由得分子必是奇数，奇数个数由范围确定. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建平县实验中学2023-2024学年高二下学期 期末考试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本套试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数取值范围为（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，则“ ”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列的前15项之和为60，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 7. 在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知分别是双曲线的左，右顶点，是双曲线上的一动点，直线，与交于两点，的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中，满足关系式，则（ ） A. B. 若数据，则 C. 数据，平均数为 D. 若，数据不全相等，则这组数据的相关系数为1 10. 已知函数的最小正周期为π，且对恒成立，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 函数的极大值点的集合是 D. 函数与函数图象关于直线对称 11. 已知函数，在上可导，若，且关于对称，关于对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是上的偶函数 D. 是上的偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则的虚部为____________． 13. 已知，则______________. 14. 已知抛物线E：的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（A点位于B点右方）.若为的角平分线，则______；直线l的斜率为______. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表（单位：只）： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 50 40 服用 合计 75 200 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论； （3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为，求的分布列及期望. 附表及公式：. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 16. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 17. 已知函数. （1）讨论的最值； （2）若，且，求的取值范围. 18. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求的方程； （2）直线与交于两点，与轴交于点，与轴交于点，且. （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）当时，求点到的距离的最大值. 19. 对于数列把a₁作为新数列的第一项，把a₁或作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前n项和． （1）写出的所有可能值； （2）若生成数列满足，求数列的通项公式； （3）证明：对于给定的的所有可能值组成的集合为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$