精品解析：湖北省武汉市硚口区部分高中2025届高三起点考试数学试卷

2024年武汉市部分高中高三起点考试 数学试卷 考试时间：2024年7月24日下午14：00-16：00 试卷满分：150分 一､单选题 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C 第二象限 D. 第一象限 3. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. 20 D. 5 4. 若为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 若为等差数列，且，则 B. 若为等差数列，且，则 C. 若为等比数列，且，则 D. 若为等比数列，且，则 8. 已知奇函数定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 二､多选题 9. 下列论述正确的有（ ） A. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强 B. 数据的第60百分位数为38 C. 若随机变量，且，则 D. 若样本数据的方差为1，则数据的方差为4 10. 已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 的最大值为 C. 在上不单调 D. 在，方程（m为常数）最多有4个解 11. 已知圆，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是（ ） A. 若r为定值，则存在k，使得 B. 若k为定值，则存在r，使得 C. 若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 D. 若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 三､填空题 12. 设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，，则C的离心率为________． 13. 已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________． 14. 为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为__________. 四､解答题 15 如图，四棱锥中，底面，，，，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 16. 第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别 频数 5 30 40 50 45 20 10 （1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设分别为这200人得分平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求的值（的值四舍五入取整数），并计算； （2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望． （参考数据：；；．） 17. 已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点. （1）直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程； （2）曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由. 18. 已知函数与函数，其中. （1）求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若曲线与轴有两个不同的交点，求证：曲线与曲线共有三个不同的交点. 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若，求； （2）若，求正整数的最小值； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年武汉市部分高中高三起点考试 数学试卷 考试时间：2024年7月24日下午14：00-16：00 试卷满分：150分 一､单选题 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由，得或，而， 所以. 故选：B 2. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】借助复数的四则运算可计算出，即可得，即可得解. 【详解】， 故，故在复平面内对应的点在第四象限. 故选：A. 3. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. 20 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】借助模长与数量积的关系计算后结合已知条件代入即可得. 【详解】， ， 故. 故选：A. 4. 若为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助诱导公式、同角三角函数基本关系与二倍角公式计算即可得. 【详解】由，有为第二象限角，则， 故. 故选：B. 5. 已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，则，，借助余弦定理计算可用、表示出，即可得包含、的齐次式，再借助离心率定义计算即可得解. 【详解】不妨设该圆与渐近线分别交于、点， 则，故，则， 设，则， 则有， ， 即有，则有，即， 故，即， 即，即， 故有，即，故，即. 故选：B. 6. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算可得，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】，令，则，有， 即，即， 又为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立.， 故的取值范围是. 故选：C. 7. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 若为等差数列，且，则 B. 若为等差数列，且，则 C. 若为等比数列，且，则 D. 若为等比数列，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和与等差数列的性质，判断与正负，判断A,B；根据等比数列的前项和与等比数列的通项公式，分类讨论判断与正负，判断C,D； 【详解】设等差数列公差为， 对于A，若为等差数列，且， 则，， ，无法判断符号，A错误； 对于B，若， ，则， ，则，则，B错误； 设等比数列的公比为， 对于C，若为等比数列，且， 若时，则，故C错误； 对于D，若为等比数列，且， 当时，则， 当时，则； 若时，； 若时，； 若时，；D正确. 故选：D. 8. 已知奇函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中等式找到对称轴，结合函数为奇函数推得周期性和单调性，比较，利用周期性和单调性得出答案； 【详解】因为对任意的满足，所以关于对称， 又因为奇函数的定义域为，所以， 则，则的周期为4， 因为在区间上单调递增，所以在区间上单调递增， ， ， ， 又，， 所以，即， 故选：D. 【点睛】方法点睛：比较大小解决方法： 特殊值法；利用函数单调性比较大小；作差法；作商法；根据不等式性质比较大小； 二､多选题 9. 下列论述正确的有（ ） A. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强 B. 数据的第60百分位数为38 C. 若随机变量，且，则 D. 若样本数据的方差为1，则数据的方差为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合相关性的含义，可判定A不正确.根据百分位数的概念及求法，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据数据的方差性质的计算公式，可判定D正确； 【详解】对于A中，若两组成对数据的样本相关系数分别为，因为，所以组数据比组数据的相关性较强，A错误； 对于B，数据排序，共8个数据，则，所以数据的第60百分位数为38，B正确； 对于C，若随机变量，且，根据正态分布的对称性，，则，C正确； 对于D，样本数据的方差为1，则数据的方差为，D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 的最大值为 C. 在上不单调 D. 在，方程（m为常数）最多有4个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得，即可得函数图象，结合函数图象逐项判断即可得解. 【详解】若，则， 即，即，， 故，， 故其图象如图所示： 对A：由图象可得不关于直线对称，故A错误； 对B：由图象可得的最大值为，故B正确； 对C：当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C正确； 对D：由图象，当时，方程在有4个解， 在时，方程在少于4个解，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知圆，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是（ ） A. 若r为定值，则存在k，使得 B. 若k为定值，则存在r，使得 C. 若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 D. 若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 【答案】AC 【解析】 【分析】当P为弦AB中点时可判断AB选项，利用平行线间的距离及极限思想判定C，设直线OP与l的夹角为，求出满足条件时的取值范围即可判断D. 【详解】如图， 当P弦AB中点时，，A 正确，B错误； 因为与l距离为非零定值的所有点的轨迹是与l平行的两条平行线， 若r为定值，当k趋向于0时，两条平行线与l的距离趋向于0，都与圆相交，当k趋向于无穷大时，两条平行线与l的距离趋向于无穷大，都与圆相离. 由于P点在圆内且与O点不重合，前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平行线与圆相切的情况，此时圆O上恰有三个点到l的距离均为，符合题意，C正确； 若k为定值，当圆O上恰有三个点到l的距离均为时，l的两条平行线中一条与圆相切，一条与圆相交．设原点O与l的距离为d ，直线OP与l的夹角为 ，此时，即，由于，所以，所以，故当时，不存在圆O上恰有三个点到l的距离均为，故D错误. 故选：AC 三､填空题 12. 设椭圆C：左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，，则C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】 设，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半以及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可. 【详解】在中，设，因为，所以， . 故 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及离心率的求法，属于基础题. 13. 已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示， PF为三棱锥P-ABC外接球的直径，且,设正方体棱长为a，则， 由，得，所以，因为球心到平面ABC的距离为. 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力 14. 为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助正弦定理结合所给条件可将周长用表示，结合锐角三角形的性质可得的范围，即可得解. 【详解】由正弦定理可得， 则，， 则周长为 ， 由为锐角三角形，则，解得， 故，则， 即周长的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理结合所给条件将边用角表示出来后，可用表示周长，从而可由的取值范围得到周长的取值范围. 四､解答题 15. 如图，四棱锥中，底面，，，，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的性质可得线线垂直，结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）可建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 底面平面， ，， 又平面， 平面； 【小问2详解】 令，取的中点，由，，则， 又，故三角形是正三角形， ， 又底面平面， 在中，，所以， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，故， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，即， 所以， 即二面角的余弦值为. 16. 第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别 频数 5 30 40 50 45 20 10 （1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求的值（的值四舍五入取整数），并计算； （2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望． （参考数据：；；．） 【答案】（1），；；（2）分布列见解析；期望为． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X～N（65，142），根据3σ原则，计算P（51＜X＜93）即可； （2）列出Y所有可能取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望． 【详解】解：（1）由已知得， ， 由，则，而，所以，则X服从正态分布， 所以； （2）显然，， 所以所有Y的取值为15，30，45，60， ，， ，， 所以Y的分布列为： Y 15 30 45 60 P 所以. 17. 已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点. （1）直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程； （2）曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由. 【答案】（1）或或 （2）斜率之和为定值､斜率之积不是定值 【解析】 【分析】（1）由题意结合抛物线定义可得曲线的方程，结合抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系计算即可得； （2）设出直线方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，即可表示出直线的斜率之和､斜率之积，并可借助韦达定理计算出其是否为定值. 【小问1详解】 曲线上的点到点的距离比到直线的距离小， 故曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等， 故曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线， 即有， 过点的直线与抛物线仅有一个公共点， 若直线可能与抛物线的对称轴平行时，则有：， 若直线与抛物线相切时，易知：是其中一条直线， 另一条直线与抛物线上方相切时，不妨设直线的斜率为，设为， 联立可得：， 则有：，解得：， 故此时的直线的方程为：， 综上，直线的方程为：或或； 【小问2详解】 若与交于两点，分别设其坐标为，且， 由（1）可知直线要与抛物线有两个交点，则直线的斜率存在且不为0， 不妨设直线的斜率为，则有：， 联立直线与抛物线可得：，可得：， 即有， 根据韦达定理可得：， 则有：， 则，故为定值；故不为定值； 综上：为定值不为定值. 18. 已知函数与函数，其中. （1）求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若曲线与轴有两个不同的交点，求证：曲线与曲线共有三个不同的交点. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数研究其导函数的正负即可得其单调区间； （2）若，可得不等式恒成立，若，即，构造函数后借助导数求出其最大值即可得解； （3）根据题设先证两条曲线有，两个交点，再构造函数证明其除了这两个交点后还存在第三个交点即可得. 【小问1详解】 的定义域为：， 又已知，， 所以时，单调递减； 时，单调递增； 【小问2详解】 由题意：，即， 若，不等式恒成立，若，即， 令，， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 故，故的取值范围为； 【小问3详解】 曲线与轴有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点， 不妨令，由（2）知，的取值范围为， 且由得， 同理得曲线与曲线共有两个不同的交点，， 下面证明这两条曲线还有一个交点， 令， ， 令，则， ，令， 则恒成立，则单调递增， 又， 令，得， 故存在，使得在上单调递减，在单调递增， ， 故有两个零点， 令，即有且只有两个极值点， 所以在上单调增，在上单调减，在上单调增， 又，若， 由得与题设矛盾，所以， 同理不可能在同一单调区间，， 故有， 所以在间存在唯一的使得，即两条曲线还有一个交点， 故曲线与曲线共有三个不同的交点. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先得出曲线与曲线共有两个不同的交点，，再通过构造函数去证明其除了这两个交点后还存在第三个交点. 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若，求； （2）若，求正整数的最小值； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由. 【答案】（1）， （2）10 （3）存在，且或 【解析】 【分析】（1）由题意计算可得第二次“和扩充”后得到数列，计算即可得解； （2）由题意可得，计算出首项后，可得数列为等比数列，即可计算出，在解出不等式即可得； （3）计算出、、后，可得， 计算即可得，再借助等比数列的定义即可得需满足的关系. 【小问1详解】 ，第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ，； 【小问2详解】 数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到， 故，故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得，最小值为10； 【小问3详解】 因为， ，依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由题意可得，从而可结合等比数列求和公式得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$