精品解析：2024年辽宁省本溪市中考数学二模试题

2024年辽宁省本溪市中考数学二模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：51270000000用科学记数法表示为． 故选：C． 2. 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：俯视图是． 故选：C． 3. 《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键． 把《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》分别记为A、B、C、D，画树状图，然后求概率即可． 【详解】解：把《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》分别记为A、B、C、D，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》共有2种等可能的结果， ∴抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式的运用，合并同类项等知识，直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、合并同类项法则、平方差公式分别计算，进而判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：B． 5. 辽宁省博物馆是我国著名的博物馆之一，藏品以辽宁地区考古出土文物和传世的历史艺术类文物为主体，总量达11.5万件，分为考古、书画、陶瓷、甲骨等17 类文物．下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据中心对称图形及轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 6. 下列命题是真命题的是（　　） A. 等角的补角相等 B. 若，则 C. 角平分线上的点到角两边上的点距离相等 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据补角的概念、二次根式的性质、角平分线的性质、绝对值的性质判断即可． 【详解】解：A、等角补角相等，是真命题，符合题意； B、若，则，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、角平分线上的点到角的两边的距离相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、若，则，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别过点和点作轴和轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， 又点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：D． 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，且，则k的值为（　　） A. 4.5 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等．连接，根据反比例函数k的几何意义可得出， ，再结合，即可求出，最后根据反比例函数的图象在第四象限，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接． ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ． ∵， ∴， ∴． ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， ∴． 故选B． 9. 如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为（　　） A. 9 B. 18 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质等知识．作于点，交于点，则，，所以，，再证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交于点， ∴， ∵， ， ， ，，且，， ， ，， ∵， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，ACD都是等边三角形， ∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°． 如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x， 作PE⊥AB于E， ∴， ∴， 故D选项不正确； 如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2， 作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H， ∴， ， ∴， 故B选项不正确； 当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4， ∴PQ=x-2， 作AG⊥CD于G， ∴， ∴， 故C不正确． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则K的值为_______． 【答案】24 【解析】 【详解】根据点在反比例函数关系的图象上，可以求得的值．本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 【分析】解：点在反比例函数关系的图象上， ， 解得， 故答案为：24． 13. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ____________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．利用一元二次方程的定义及根的判别式建立关于k的不等式组，解之即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，且． 故答案为：且． 15. 小明要网购一个七巧板墙上置物架，如图是他在上网时看到的实物图和示意图，并获得如下信息（边框厚度忽略不计），正方形边长为（边框厚度忽略不计），在图③中，若点E是的中点，则点F到的距离是_________． 【答案】 【解析】 【分析】知七巧板所组成的正方形边长为，连接，可知正方形的边长等于2倍的小正方形对角线的长度，，交于点S，交于点T，交于点H，为小正方形对角线的一半，即可求解． 【详解】解：已知七巧板所组成的正方形边长为， ， 连接， 可知正方形的边长等于2倍的小正方形对角线的长度， 点E是的中点， 有， ， 作，交于点S，交于点T，交于点H， ， ，， ， ， ， 为小正方形对角线一半， 即， ， ， 点F到的距离是． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形性质，七巧板特点，解题关键在于熟练掌解直角三角形的运用． 三、解答题（本题共8小题共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）利用因式分解法求出的值即可． 本题考查的是解一元二次方程，实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2）原方程可化为， ，， 方程的解为，． 17. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元 （2）购买吊兰的数量最多为17盆 【解析】 【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解． 【小问1详解】 解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：当时，则， ∴是原方程的解， ∴， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得： ， 解得：， ∵m是整数， ∴m取最大值17； 答：购买吊兰的数量最多为17盆． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键． 18. 习总书记指出：“航天梦是强国梦的重要组成部分．随着中国航天事业快速发展，中国人探索太空的脚步会迈得更大、更远．”作为当今世界最具挑战性和带动性的高科技领域之一，航天以其所蕴含的科学精神，到“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“天宫”遨游星辰，60多年来始终逐梦星辰大海，某校为进一步激发师生探索宇宙、逐梦星辰的热情，提高科技创新意识和能力，科学逐梦星辰”的活动．八、九年级各200名学生举行了一次知识竞赛（百分制），随机抽取了八，部分信息如下： a．抽取九年级20名学生的成绩如表： 90 88 97 91 94 62 51 94 87 71 90 78 92 55 97 92 94 94 85 98 b．抽取八年级20名学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成5组：，，，，）； c．九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表： 年级 平均数 中位数 方差 九年级 85 m 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的九年级20名学生的成绩的中位数是 ； （2）若90分及以上为优秀，估计此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀学生的总人数； （3）通过分析随机抽取的八年级20名学生的成绩发现：这20名学生成绩方差为205，且八、九两个年级随机抽取的学生成绩的总平均数是． ①求八年级这20名学生成绩的平均数； ②你认为哪个年级的成绩较好，说明理由（至少从两个不同角度说明推断的合理性）． 【答案】（1）分 （2）此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀的学生总人数约为230人 （3）①八年级这20名学生成绩的平均数为分；②选择九年级，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）用八、九年级的人数分别乘样本中成绩优秀学生所占比例，再求和即可； （3）①利用加权平均数公式解答即可； ②比较平均数、方差可得答案． 【小问1详解】 解：把抽取的九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是90和91， 故中位数为， 故答案为：分； 【小问2详解】 （人）， ∴此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀的学生总人数约为230人； 【小问3详解】 ①； 答：八年级这20名学生成绩的平均数为分； ②选择九年级， 理由：因为八年级的平均分数比九年级的平均分数低，八年级成绩的方差比九年级的小，所以九年级成绩好，且稳定． 【点睛】本题考查了众数、中位数、加权平均数、方差以及用样本估计总体，掌握众数、中位数以及加权平均数的定义是解题的关键． 19. 垃圾回收站雇用甲、乙两个清洁公司共同承担A、B两个工地的垃圾清运任务．甲公司清运的垃圾比乙公司清运的垃圾少10万，回收站补贴给甲公司每的燃油补贴是补贴给乙公司每的燃油补贴的2倍，回收站补贴给甲、乙公司的燃油补贴总费用分别为800元和600元．A、B两个工地需要清运的垃圾分别是40万和10万．经过测算，甲、乙两个公司在两个工地完成清运垃圾需要的费用（不含燃油补贴）如下： 在A工地清运垃圾所需的费用 在B工地清运垃圾所需的费用 甲公司 50元 45元 乙公司 48元 46元 设甲公司在A工地清运垃圾为x万，完成A、B两个工地的垃圾清运所需的总费用（不含燃油补贴）为y万元． （1）求甲、乙公司清运垃圾各是多少？ （2）求y与x的函数关系式； （3）若在实际清运过程中，甲公司在A工地上投入新机械化设备，使清运的费用减少a元，但仍高于甲公司在B工地清运垃圾的费用，求如何分配任务，使清运垃圾的总费用（不含燃油补贴）最小 【答案】（1）甲、乙两个公司分别清运了垃圾20万和30万； （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的实际应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数解析式求解，一元一次不等式通过分类讨论求解是解决问题的关键． （1）设甲公司清运垃万，则乙公司清运垃圾万，，根据“回收站补贴给甲公司每的燃油补贴是补贴给乙公司每的燃油补贴的2倍”列方程，解方程即可； （2）根据完成A、B两个工地的垃圾清运所需的总费用A，B俩个垃圾站费用之和列出函数解析式即可； （3）因为清清公司在甲公司清理1立方米的费用减少a元，所以在甲公司费用单价变为元，方法同（2）即可得关系式，但是注意根据a的取值范围进行分类讨论． 【小问1详解】 解：设甲公司清运垃万，则乙公司清运垃圾万， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 此时， 答：甲、乙两个公司分别清运了垃圾20万和30万； 【小问2详解】 解：由题意得： ∴y与x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得， ∵， 解得， ①当时，，y随x的增大而增大， ∴时，y最小， 此时，甲公司在A地清运垃圾12万，在B地清运垃圾5万；乙公司在A地清运垃圾28万，在B地清运垃圾5万； ②当，清运垃圾总费用与甲乙公司在A地清运的垃圾数量无关，均为2360万元； ③当时，，y随x的增大而减小， ∴时，y有最小值， 此时，甲公司在A地清运垃圾16万，在B地清运垃圾4万；乙公司在A地清运垃圾24万，在B地清运垃圾6万． 20. 在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． （1）在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； （2）光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）根据平行线的性质得到，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，根据折射率可求，即可求解； （2）根据（1）中，可得出，根据，先求出，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，进而求得答案． 【小问1详解】 解： 根据题意，得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，，以为直径作与交于点，交于点，且为中点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1）详见解析 （2）π 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和弧长公式． （1）连接，如图，先根据切线的性质得到，根据圆周角定理得，再证明，所以平分，接着利用等角的余角相等得到，然后利用等量代换得到结论； （2）连接、，如图，先利用为等边三角形得到，再利用等腰三角形的性质得到，接着证明，从而得到，然后根据弧长公式计算． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 为的切线， ， ， 为的直径， ， 为中点， 垂直平分， ， 平分， 即， ，， ， ； 【小问2详解】 解：连接、，如图， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 即的半径为3， 劣弧的长． 22. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． （1）如图（一），探究出，的数量关系为 ； （2）如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； （3）深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①详见解析；②详见解析 （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）通过折叠平行线得出等腰三角形； （2）①识别出和是8字型倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等线段线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边即可证出； （3）先利用勾股定理求的长，设，则，之后利用线段和差建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：． 四边形折叠得到四边形， ， ∵， ， ， ； 【小问2详解】 证明：①四边形是矩形， ，， ，， ， 由折叠 ， ， 又， ， ∵， ， ； ②， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ，， 在中，， 设，则， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ， ， 解得， ． 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 23. 定义： 在平面直角坐标系中，图象上任意一点的纵坐标与横坐标的差即的值称为点的“坐标差”；例如：点的“坐标差”为，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的“特征值”． 理解： （1）求二次函数的图象的“特征值”； 运用： （2）若二次函数的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴，轴的交点，且点与点的“坐标差”相等，求此二次函数解析式； 拓展： （3）如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，点在轴上，二次函数的图象的顶点在“坐标差”为的函数图象上． 当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式； 当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出的取值范围． 参考公式：． 【答案】（1） （2） （3）或； 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，矩形的性质等知识点，数形结合并分类求解是解题的关键． （1）写出的解析式，它是一个二次函数，将其改写为顶点式，即可求出其最大值，于是可得原二次函数的图象的“特征值”； （2）由题意可得点的坐标，根据点和点的“坐标差”相等，可得出点的坐标，将点、的坐标代入抛物线表达式可得，则；写出的解析式，它是一个二次函数，将其改写为顶点式，因其最大值等于，于是可得关于的一元二次方程，解得，即可得出，于是可得出原二次函数的解析式； （3）由“坐标差”为可得一次函数解析式为，又因二次函数的图象的顶点在该一次函数上，因此可将该二次函数解析式写为，此时分两种情况；第一种情况：当抛物线顶点为点时，抛物线与矩形有三个交点，把代入，求出，即可求出此种情况下的二次函数解析式；第二种情况：当抛物线经过点时，抛物线与矩形有三个交点，把代入，求出，即可求出此种情况下的二次函数解析式；当时，，当时，，据此即可求解． 【详解】解：（1）， 的“特征值”为； （2）由题意得：点的坐标为， 点和点的“坐标差”相等， 点的坐标为， 将点、的坐标代入抛物线表达式得：， 则， 的“特征值”为， 则， 解得：， ， 此二次函数解析式为； （3）“坐标差”为的一次函数， ， ， 二次函数的图象的顶点在该一次函数上， 设为：， 直线与交于点， 第一种情况：当抛物线顶点为点时，抛物线与矩形有三个交点， 把代入， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 此二次函数解析式为； 第二种情况：当抛物线经过点时，抛物线与矩形有三个交点， 把代入， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 此二次函数解析式为； 当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，此二次函数的解析式为或； 当时，，当时，， ， 当时，二次函数的图象与矩形的边有四个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁省本溪市中考数学二模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（　　） A. B. C D. 3. 《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 辽宁省博物馆是我国著名的博物馆之一，藏品以辽宁地区考古出土文物和传世的历史艺术类文物为主体，总量达11.5万件，分为考古、书画、陶瓷、甲骨等17 类文物．下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（　　） A. 等角的补角相等 B. 若，则 C. 角平分线上点到角两边上的点距离相等 D. 若，则 7. 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，且，则k的值为（　　） A 4.5 B. C. 7 D. 9. 如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为（　　） A. 9 B. 18 C. 36 D. 72 10. 如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则K的值为_______． 13. 已知关于x不等式的解集为，则a的取值范围为______． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ____________________． 15. 小明要网购一个七巧板墙上置物架，如图是他在上网时看到的实物图和示意图，并获得如下信息（边框厚度忽略不计），正方形边长为（边框厚度忽略不计），在图③中，若点E是的中点，则点F到的距离是_________． 三、解答题（本题共8小题共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 18. 习总书记指出：“航天梦是强国梦的重要组成部分．随着中国航天事业快速发展，中国人探索太空的脚步会迈得更大、更远．”作为当今世界最具挑战性和带动性的高科技领域之一，航天以其所蕴含的科学精神，到“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“天宫”遨游星辰，60多年来始终逐梦星辰大海，某校为进一步激发师生探索宇宙、逐梦星辰的热情，提高科技创新意识和能力，科学逐梦星辰”的活动．八、九年级各200名学生举行了一次知识竞赛（百分制），随机抽取了八，部分信息如下： a．抽取九年级20名学生的成绩如表： 90 88 97 91 94 62 51 94 87 71 90 78 92 55 97 92 94 94 85 98 b．抽取八年级20名学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成5组：，，，，）； c．九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表： 年级 平均数 中位数 方差 九年级 85 m 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的九年级20名学生的成绩的中位数是 ； （2）若90分及以上为优秀，估计此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀学生的总人数； （3）通过分析随机抽取的八年级20名学生的成绩发现：这20名学生成绩方差为205，且八、九两个年级随机抽取的学生成绩的总平均数是． ①求八年级这20名学生成绩的平均数； ②你认为哪个年级的成绩较好，说明理由（至少从两个不同角度说明推断的合理性）． 19. 垃圾回收站雇用甲、乙两个清洁公司共同承担A、B两个工地的垃圾清运任务．甲公司清运的垃圾比乙公司清运的垃圾少10万，回收站补贴给甲公司每的燃油补贴是补贴给乙公司每的燃油补贴的2倍，回收站补贴给甲、乙公司的燃油补贴总费用分别为800元和600元．A、B两个工地需要清运的垃圾分别是40万和10万．经过测算，甲、乙两个公司在两个工地完成清运垃圾需要的费用（不含燃油补贴）如下： 在A工地清运垃圾所需的费用 在B工地清运垃圾所需费用 甲公司 50元 45元 乙公司 48元 46元 设甲公司在A工地清运垃圾为x万，完成A、B两个工地的垃圾清运所需的总费用（不含燃油补贴）为y万元． （1）求甲、乙公司清运垃圾各是多少？ （2）求y与x的函数关系式； （3）若在实际清运过程中，甲公司在A工地上投入新机械化设备，使清运的费用减少a元，但仍高于甲公司在B工地清运垃圾的费用，求如何分配任务，使清运垃圾的总费用（不含燃油补贴）最小 20. 在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． （1）在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； （2）光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 21. 如图，，以为直径作与交于点，交于点，且为中点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求劣弧的长． 22. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． （1）如图（一），探究出，的数量关系为 ； （2）如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； （3）深入研究，当时，请直接写出的长． 23. 定义： 在平面直角坐标系中，图象上任意一点的纵坐标与横坐标的差即的值称为点的“坐标差”；例如：点的“坐标差”为，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的“特征值”． 理解： （1）求二次函数的图象的“特征值”； 运用： （2）若二次函数的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴，轴的交点，且点与点的“坐标差”相等，求此二次函数解析式； 拓展： （3）如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，点在轴上，二次函数的图象的顶点在“坐标差”为的函数图象上． 当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式； 当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出的取值范围． 参考公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$