精品解析：2024年河南省周口市郸城县九年级下册数学中考四模试题

2024年九年级第四次模拟试卷 数学 注意事项： 1.此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 了解一座城，从博物馆开始！2023年河南博物院全年共接待观众多万人次，数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，, ，则 度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，是 的直径，点C在 上．若 ，，则 长为（ ） A. B. C. 3 D. 2 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ） A. 4 B. C. 16 D. 8. “中原粮仓”河南麦浪滚滚，长势喜人．为了了解某种小麦的长势，随机抽取了 株麦苗进行测量，测量结果如下表： 苗高 株数/株 则麦苗高的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在边长为10的菱形中，分别以A、B为圆心，大于的长作弧，两弧分别交于P、Q两点，作直线，交于点M，交于点N，已知点A到 的距离为6，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，动点P从点A出发，沿运动到点B停止．设点P运动的路程为x， 面积为y，y关于x的函数图象如图2所示．有下列结论： ① ； ② ； ③； ④在运动过程中，面积逐渐变大； ⑤最大面积为80．其中结论正确的有（ ） 图1 图2 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 请写出一个图象与y轴的正半轴有交点的一次函数表达式________． 13. 现有四张正面分别标有数字8，9，10，11的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀后，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字差（较大数减较小数）是1的概率为________． 14. 如图，正方形内接于 ，直径 ，已知 的半径为，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，等边的边长为3，D为 上一点， ，P是线段上的动点，若点P和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程组； （2）化简：． 17. 为了加强手机管理，某校要求“禁止手机进校园”为了解该校学生对手机管理的满意程度，学校团支部对该校的学生进行了随机抽样调查调查分为四个类别：A．非常满意；B满意；C不满意；D．无所谓．根据调查数据绘制成如图所示的统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生共有 人，并补全条形统计图． （2）在扇形统计图中，B所在扇形的圆心角的度数是 ． （3）若本校有学生2000人，估计“满意”及“非常满意”的学生共有多少人？ （4）请对该校学生对手机管理的满意程度作出合理的评价． 18. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 250 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： （1）你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p关于S的函数表达式． （2）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． （3）结合图象，如果要求压强不超过 ，那么长方体A的受力面积至少为 ． 19. 开封铁塔（又称开宝寺塔）始建于公元1049年（北宋皇祐元年），素有“天下第一塔”之称，是国家重点保护文物之一．1957年6月11日开始动工修复开封铁塔，到10月底全部修复竣工，同时还安装了104个铁铸风铃，增装了洞门铁栏和避雷针，千年宝塔以崭新的面貌展现在世人面前．如图，周末，某中学九年级课外兴趣小组在老师的指导下测量铁塔的高度，他们先在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A处测得塔顶P点的仰角，然后走上台阶顶部B处，测得塔顶P点的仰角．若台阶的高，台阶斜坡的坡度为，求铁塔的高度．（点C，A，E在一条直线上，结果保留整数，参考数据：） 20. 如图，是 的直径，D是 上的一个动点，过点B作 的切线，连接并延长，交过点B的切线于点C，E是 的中点，连接 ． （1）求证：是 的切线． （2）连接 交 于点F，连接，当， 时，四边形 是菱形． 21. 汤山酥梨是安徽特产，以果实硕大、黄亮美色、皮薄多汁、肉多核小、甘甜酥脆等特点而闻名．已知甲、乙两果园预计今年酥梨的产量分别为100吨和150吨，打算成熟后运到 两个仓库存放，已知仓库可储存120吨，仓库可储存130吨．甲，乙两果园运送酥梨到 两仓库的费用如下表： 甲果园 乙果园 仓库 150元/吨 140元/吨 仓库 200元/吨 180元/吨 （1）设甲果园运往仓库的酥梨吨，则运往仓库的酥梨　　　　吨；乙果园运往仓库的酥梨　　　　吨，则运往仓库的酥梨　　　　吨． （2）求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围． （3）当甲果园运往仓库多少吨酥梨时，总运费最少？总运费最少是多少元？ 22. 如图，抛物线与直线 交于点A和点B，直线与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． （3）若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 23. 【发现问题】（1）如图1， 和是等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接 ． ① 的度数为 ； ②线段 之间的数量关系是 ． 【类比探究】（2）如图2， 和都是等腰直角三角形， ，点C、E、D在同一直线上，连接 ．求 的度数及线段 之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】（3）如图3， 和都是等腰直角三角形， ， ，连接 ，将绕点A旋转，当 时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级第四次模拟试卷 数学 注意事项： 1.此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对绝对值、正数、负数的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 根据正数大于0，负数小于0即可得出的答案． 【详解】解：A．，是正数，故此选项不符合题意； B.，是正数，故此选项不符合题意； C.，故此选项符合题意； D．0不是负数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 了解一座城，从博物馆开始！2023年河南博物院全年共接待观众多万人次，数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法； 科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万； 故选：B． 3. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形以及中心对称图形定义判断即可． 【详解】解：不是轴对称也不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 是轴对称图形但不是中心对称图形，故选项B不符合题意； 是轴对称图形但不是中心对称图形，故选项C不符合题意； 既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项D符合题意． 故选D． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、二次根式的加法法则、平方差公式分别计算判断即可．本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、二次根式的加法法则、平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，, ，则 度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和平行线的性质；熟练掌握平行线性质和判定是解题的关键． 由内错角相等得两直线平行，再利用平行线性质解题即可． 【详解】解：, ， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，是的直径，点C在上．若 ，，则长为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角、勾股定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵ ，， ∴， 故选：A． 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ） A. 4 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况． 根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，从而列出关于 a 的方程，解方程即可． 【详解】解：关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， ． 故选：A． 8. “中原粮仓”河南麦浪滚滚，长势喜人．为了了解某种小麦的长势，随机抽取了 株麦苗进行测量，测量结果如下表： 苗高 株数/株 则麦苗高的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数的定义，解题的关键是理解并掌握中位数、众数的定义．根据中位数、众数的定义即可解答． 【详解】解：随机抽取了 株麦苗进行测量， 一共有 个数据，将这一组数据从小到大进行排列位于第位，位的均是 ， 中位数为：； 出现次数最多的数是，则众数为：． 故选：C． 9. 如图，在边长为10的菱形中，分别以A、B为圆心，大于的长作弧，两弧分别交于P、Q两点，作直线，交于点M，交于点N，已知点A到的距离为6，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接 ，过点D作 于E，交于F，由作图知，；由菱形性质得 ，则得四边形是平行四边形，则，；由勾股定理可求得；设，则在中，由勾股定理建立方程即可求得x的值，从而求得结果． 【详解】解：如图，连接 ，过点D作 于E，交于F； 由作图知，直线是线段的垂直平分线， ； 四边形是菱形， ； ， 四边形是平行四边形， ，； ； ，点A到的距离为6， ， 由勾股定理得； 设，则； 在中，由勾股定理得， 解得：， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识． 10. 如图1，在矩形中，动点P从点A出发，沿运动到点B停止．设点P运动的路程为x， 面积为y，y关于x的函数图象如图2所示．有下列结论： ① ； ② ； ③； ④在运动过程中，面积逐渐变大； ⑤最大面积为80．其中结论正确的有（ ） 图1 图2 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关线段的长度，从而得出三角形的面积是解题的关键． 根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据三角形的面积公式得出的面积的最大值． 【详解】解：∵动点P从点A出发，沿运动至点B停止，而当点P运动到点之间时，的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程， 当时，y开始不变，∴ ， 当时，接着变化，说明， ，故①③正确，②④错误； 则的最大面积是：，⑤错误； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 请写出一个图象与y轴的正半轴有交点的一次函数表达式________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题关系，根据一次函数图象与y轴的交点坐标为求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为： （答案不唯一）． 13. 现有四张正面分别标有数字8，9，10，11的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀后，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字差（较大数减较小数）是1的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 8 9 10 11 8 1 2 3 9 1 1 2 10 2 1 1 11 3 2 1 由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上的数字差（较大数减较小数）是1共有6种结果， 所以抽取的两张卡片上的数字差（较大数减较小数）是1的概率为， 故答案为：． 14. 如图，正方形内接于，直径 ，已知的半径为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线间的距离，扇形面积等知识．正确表示阴影部分面积是解题的关键． 如图，连接，由正方形， ，可得 ， ，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形， ， ∴ ， ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，等边的边长为3，D为上一点， ，P是线段上的动点，若点P和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点D作 于点M，利用勾股定理和等边三角形的性质求出；根据题意，分两种情况讨论，即或，进而证明与，利用相似三角形的性质列出避雷线即可求出的长，进而求出的长． 【详解】解：如下图，过点D作 于点M， 等边的边长为3， ， ，， ∴， ∴， ， ， ； 分两种情况：①如下图，连接，若， ，， ， ，即，解得， ②如下图，连接，若， ，， ， ，即，解得， 综上所述， 的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程组； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，分式的混合运算，正确进行运算是解题的关键． （1）把方程②变形，再利用加减法求解即可； （2）按运算顺序先计算括号，再计算除法，最后约分即可． 【详解】解：（1）由②，得③， ③－①，得， 解这个方程，得， 将代入①，得． 所以原方程组的解是． （2）原式 ． 17. 为了加强手机管理，某校要求“禁止手机进校园”为了解该校学生对手机管理的满意程度，学校团支部对该校的学生进行了随机抽样调查调查分为四个类别：A．非常满意；B满意；C不满意；D．无所谓．根据调查数据绘制成如图所示的统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生共有 人，并补全条形统计图． （2）在扇形统计图中，B所在扇形的圆心角的度数是 ． （3）若本校有学生2000人，估计“满意”及“非常满意”的学生共有多少人？ （4）请对该校学生对手机管理的满意程度作出合理的评价． 【答案】（1）100， 补全条形统计图如图所示： （2） ； （3）“满意”及“非常满意”的学生共有1600人； （4）大部分学生对于学校的禁止手机进校园的制度是满意的，但是也有大约 的学生不满意． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、求扇形圆心角度数、画条形统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）首先根据的人数和所占的比例即可求得总人数，求出 的人数，即可补全条形统计图； （2）用 乘以 所占的比例即可得出圆心角度数； （3）由样本估计总体的计算方法计算即可得出答案； （4）结合题意，提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：本次接受调查的学生共有 （人）， 的人数为 （人）； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，B所在扇形的圆心角的度数是 ； 【小问3详解】 解： （人）， ∴“满意”及“非常满意”的学生共有1600人； 【小问4详解】 解：由题意得：大部分学生对于学校的禁止手机进校园的制度是满意的，但是也有大约 的学生不满意． 18. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 250 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： （1）你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p关于S的函数表达式． （2）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． （3）结合图象，如果要求压强不超过 ，那么长方体A的受力面积至少为 ． 【答案】（1）第四组的压强250错了，p关于S的函数表达式为 ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）计算每组的压强判断出第四组错了； （2）将格点在坐标系中描点，再连线作图； （3）代入 ，即可求出，解答此题． 【小问1详解】 解：通过数据发现：与p的积都是定值，第四组的压强 错了， 设， 把 代入得， ， 故p关于S的函数表达式为 ； 【小问2详解】 解：根据数据描点，连线即可； 【小问3详解】 解：令 代入关系中， ， 长方体A的受力面积至少为． 19. 开封铁塔（又称开宝寺塔）始建于公元1049年（北宋皇祐元年），素有“天下第一塔”之称，是国家重点保护文物之一．1957年6月11日开始动工修复开封铁塔，到10月底全部修复竣工，同时还安装了104个铁铸风铃，增装了洞门铁栏和避雷针，千年宝塔以崭新的面貌展现在世人面前．如图，周末，某中学九年级课外兴趣小组在老师的指导下测量铁塔的高度，他们先在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A处测得塔顶P点的仰角，然后走上台阶顶部B处，测得塔顶P点的仰角．若台阶的高，台阶斜坡的坡度为，求铁塔的高度．（点C，A，E在一条直线上，结果保留整数，参考数据：） 【答案】55米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设塔高，则，，在中，利用锐角三角函数求得，根据等腰三角形的判定可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：设塔高，则，， ∵台阶的高，台阶斜坡的坡度为， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， 答：铁塔的高度约为55米． 20. 如图，是的直径，D是上的一个动点，过点B作的切线，连接并延长，交过点B的切线于点C，E是的中点，连接 ． （1）求证：是的切线． （2）连接 交于点F，连接，当， 时，四边形 是菱形． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 是的直径， ， 在 中，点是的中点， ， ， ， ， ， 即 ， 是的切线， ， 点在上， 是切线； （2）9 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出 ，由直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，得出 即可得出结论； （2）证出 是等边三角形，得出，由直角三角形的性质得出即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形 为菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ∴ ， ， 时，四边形 是菱形． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了解直角三角形的运算，切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 21. 汤山酥梨是安徽特产，以果实硕大、黄亮美色、皮薄多汁、肉多核小、甘甜酥脆等特点而闻名．已知甲、乙两果园预计今年酥梨的产量分别为100吨和150吨，打算成熟后运到 两个仓库存放，已知仓库可储存120吨， 仓库可储存130吨．甲，乙两果园运送酥梨到 两仓库的费用如下表： 甲果园 乙果园 仓库 150元/吨 140元/吨 仓库 200元/吨 180元/吨 （1）设甲果园运往仓库的酥梨吨，则运往 仓库的酥梨　　　　吨；乙果园运往仓库的酥梨　　　　吨，则运往 仓库的酥梨　　　　吨． （2）求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围． （3）当甲果园运往仓库多少吨酥梨时，总运费最少？总运费最少是多少元？ 【答案】（1），， （2）总运费关于的函数解析式为； （3）甲果园运往仓库100吨酥梨时，总运费最少，最少的总运费是41200元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据运费=数量单价得出总运费关于的函数解析式； （3）利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲果园运往仓库的酥梨有吨，则甲果园运往 仓库的酥梨有吨；乙果园运往仓库的酥梨有吨，乙果园运往 仓库的酥梨有吨， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意得 ， 由题意，得， ∴， ∴总运费关于的函数解析式为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴随的增大而减小， ∴当 时，最小，最小值为41200． 答：甲果园运往仓库100吨酥梨时，总运费最少，最少的总运费是41200元． 22. 如图，抛物线与直线 交于点A和点B，直线与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． （3）若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） 或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入 求得 ，再求得，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，再根据图象求解即可； （3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入 ，得 ， ∴ ． 当时，， 解得， ∴点． 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵直线 与抛物线的交点在第三象限， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或 ， ∴ ， ∴ ， ∴点A的坐标为， 观察图象，得不等式的解集为 或 ； 【小问3详解】 解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点； 当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点， ∴n的取值范围为或． 23. 【发现问题】（1）如图1， 和是等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接 ． ① 的度数为 ； ②线段 之间的数量关系是 ． 【类比探究】（2）如图2， 和都是等腰直角三角形， ，点C、E、D在同一直线上，连接 ．求 的度数及线段 之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】（3）如图3， 和都是等腰直角三角形， ， ，连接 ，将绕点A旋转，当 时，直接写出的长． 【答案】（1）， ； （2） ， ． 理由： 和都是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ． ． 点C、E、D在同一直线上， ， ， °． （3）的长为7或17． 【解析】 【分析】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，证明 ，利用全等三角形的性质即可解答． （2）根据等腰直角三角形的性质与三角函数，证明 ，得到 ，求出 ，即可解答； （3）分两种情况进行讨论，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）； ； 和是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）的长为7或17； 如图1，当 时，同（2）知 ， 三点在一条直线上． 在 中， ， ， ； 如图2，当 时，同理 ， 三点在一条直线上． 在 中， ， ， ． 综上所述， 的长为7或17． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $