精品解析：青海省海南州贵德高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

海南州贵德高级中学2023~2024高二年级第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程即得. 【详解】因为圆的圆心为， 则圆的圆心坐标是. 故选：C． 2. 过点的等轴双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 3. 已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由方程得出的坐标，再由距离公式求解即可 【详解】因为椭圆的左顶点为A，上顶点为B， 所以，， 所以． 故选：D 4. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到直线与平面的法向量垂直，得出，进而求得的值. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 5. 两平行直线和之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 6. 已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和空间向量的相等向量的计算即可求解. 【详解】设设点D的坐标为， 由题意得 ， 因为四边形是平行四边形，所以， 所以，解得， 故选：A 7. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解. 【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为， 所以直线过定点， 所以点P到直线l的距离的最大值为， 故选：D 8. 已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，的最小值为，的最小值为，可求的最小值. 【详解】圆：，圆心坐标，半径为1， 抛物线：的焦点为，准线方程，如图所示， 点到直线的距离比点到准线的距离大2，即， 的最小值为，当三点共线时的最小值为， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 向量，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 10. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 11. 关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（ ） A 实轴长相等 B. 离心率相等 C. 焦距相等 D. 焦点到渐近线的距离相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可 【详解】双曲线中，实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 双曲线中实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 综上，两条双曲线只有焦距相等， 故选：ABD 12. 设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解， 则有，解出其范围结合选项即得. 【详解】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即， ∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得. 故选：BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可. 【详解】由， 有． 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可. 【详解】若圆和圆关于直线对称， 则直线为两个圆心的中垂线， 的圆心为， 的圆心为. ，中点为 可得直线为 ，整理得：. 故答案为：. 15. 已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设点C的坐标，求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，得直线BC的倾斜角为，而点B的横坐标为6，则， 又直线BH的斜率，， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 16. 已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为______. 【答案】1 【解析】 【分析】设出直线的方程，把直线与抛物线联立，表示出，运用韦达定理即可. 【详解】设直线：，，，则， 所以，，，， ，所以， 则直线：，直线恒过点，则点到直线的最大距离为1. 故答案为：1. 17. 已知直线经过直线与的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意求出交点P的坐标，利用两直线垂直求出的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）根据题意设直线方程，分别求出直线与坐标轴的截距，列方程，解之即可求解. 【小问1详解】 由解得即 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 显然，直线的斜率存在， 设直线的方程为，令，解得， 令，解得， 所以， 解得或，所以直线的方程为或. 18. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可； （2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值. 小问1详解】 方程可化为， ∵此方程表示圆， ∴，即，即. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 由弦长公式及，得，解得， ∴，得． 19. 已知抛物线C：过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度． 【答案】（1），准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程； （2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案. 【小问1详解】 ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为， 设直线AB：，，， 由，得：，则， 则． 20. 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【小问1详解】 ∵点是双曲线的一个焦点，∴， 又∵且，解得， ∴双曲线的方程为， ∴双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为且， 联立,可得， 则，∴，即， ∴ 解得，即由可得， 故双曲线的离心率为． 21. 如图，在长方体中，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系， 有，，，，，，， 则，，，，， 因此，，又，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 设平面的法向量为，由，， 有，取，得， 设直线与平面所成的角为，而 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 22. 已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）使用点差法进行求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的定义知，，∴， 又∵椭圆的离心率，∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点， 设，，当时，不合题意，故， ∵为线段的中点，∴，∴， 又∵，均在椭圆上，∴， 两式相减，得，即， ∴，∴，即， ∴直线的方程为，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南州贵德高级中学2023~2024高二年级第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 过点的等轴双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 4. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 两平行直线和之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中错误是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 11. 关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（ ） A. 实轴长相等 B. 离心率相等 C. 焦距相等 D. 焦点到渐近线的距离相等 12. 设点，分别为椭圆：左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则______． 14. 在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为________. 15. 已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为______． 16. 已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为______. 17. 已知直线经过直线与的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 18. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求值． 19. 已知抛物线C：过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度． 20. 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 21. 如图，在长方体中，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值. 22. 已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$