精品解析：山东省淄博市张店区实验中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试题

2023-2024学年 张店区实验第二学期初三年级数学试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 2. 如图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转和平移的性质逐个判断即可． 【详解】解：A选项可以通过旋转得到，不符合题意； B选项通过轴对称得到，不能通过旋转或平移得到，符合题意； C选项可以通过旋转和平移得到，不符合题意； D选项可以通过旋转和平移得到，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查了几何变换，解题关键是熟练掌握几何变换图形，树立空间观念，准确识图． 3. 下列分式中，从左到右变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，解题的关键是正确化简分式． 4. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由已知三个内角为，可判定该四边形为矩形，再根据正方形的判定，添加一组邻边相等即可推出该四边形为正方形，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，， ∴， ∴四边形四个内角均为， ∴四边形是矩形． A、添加时，矩形中一组邻边相等，可推出矩形是正方形，符合要求； B、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求； C、可由已知条件推出，仍只能得到矩形，不符合要求； D、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求． 5. 某班班主任调查了本班学生一周的居家体育锻炼时间，统计数据如下表所示，则该班学生一周的居家体育锻炼时间的中位数和众数分别是（　　） 时间（小时） 7 8 9 10 11 人数（人） 8 5 7 12 8 A. 9，10 B. 9.5，10 C. 10，10 D. 9.5，11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：根据表格得：由40个数据按照从小到大排列后，最中间的两个数据为第20个，第21个，分别为9小时，10小时， ∴该班学生一周的居家体育锻炼时间的中位数是（小时）， 由10小时出现的次数最多， 众数为10小时， 故选：B． 6. 如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了已知多边形的内角和求边数，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， ， 解得：， 故选A． 7. 已知一组数据4，，5，，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是（　　） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出，中至少有一个是5，再用平均数求出，即可得出结论． 【详解】解：一组数据4，，5，，7，9的众数为5， ，中至少有一个是5， 一组数据4，，5，，7，9的平均数为6， ， ， ，中一个是5，另一个是6， 这组数为4，5，5，6，7，9， 这组数据的中位数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数等概念，熟练掌握众数、平均数、中位数的概念，判断出，中至少有一个是5是解本题的关键． 8. 如果3x﹣2y＝0，那么代数式（+1）•的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，再化简代数式求值即可． 【详解】解：∵3x﹣2y＝0 ∴ ∴（+1）•=（+1）•=（+1）×=2 故选：B． 【点睛】本题考查分式的化简求值，正确地计算能力是解决问题的关键． 9. 如图是五边形的三个外角，若则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 10. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质，可以得到，，再根据等腰三角形性质得出，然后由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到， ∴，， ， ． 故选：C． 11. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．延长交于点，证明，得到，，则为的中点，从而得到为的中位线，即，从而得到． 【详解】解：延长交于点，如下图：     ∵ ∴ 又∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴ ∵， ∴ 故选：B． 12. 如图，在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】如图，作CH//AB，连接，延长交于，连接，首先证明，，解直角三角形求出，利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：作CH//AB，连接并延长交于，连接， ∵BD//CH， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二．填空题（共6小题） 13. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式m，再利用平方差公式即可分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉平方差公式． 14. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 15. 如图所示，，则______°． 【答案】200 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答． 【详解】如图， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ 故答案为200． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．掌握三角形的三个内角的和为是解题关键． 16. 如图，将沿BC方向平移得到，若，则BC的长为_________． 【答案】4cm 【解析】 【分析】根据平移的性质得出BE=CF=AD，进而解答即可． 【详解】解：由平移可得，BE=CF=AD=6cm， ∵BF=BE+EF=6+（CF-CE）=6+6-CE=5CE， ∴CE=2cm， ∴BC=BE-CE=6-2=4cm， 故答案为：4cm． 【点睛】此题考查平移的性质，关键是根据平移中连接各组对应点的线段平行且相等解答． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接CE，设DE=x，则AE=8-x，判断出OE是AC的垂直平分线，即可推得CE=AE=8-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出DE的长是多少即可． 【详解】详解：如图，连接CE， 设DE=x，则AE=8-x， ∵OE⊥AC，且点O是AC的中点， ∴OE是AC的垂直平分线， ∴CE=AE=8-x， 在Rt△CDE中， x2+42=（8-x）2， 解得x=3， ∴DE的长是3． 故答案为：3 【点睛】此题主要考查了矩形的性质、中垂线的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的对角线互相平分和中垂线的性质是解题的关键． 18. 如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BE，CD，M是BE的中点，若AM=，则CD的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长AM到F，使AM=MF，连接BF，证△AEM≌△FBM，得AE=FB，∠AEM=∠FBM，△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，得AB=AD，∠CAE=∠BAD=90°，再证AC=BF，∠CAD=∠ABF，得△BFA≌△ACD，即可得答案． 【详解】解： 如上图：延长AM到F，使AM=MF， ∵M是BE的中点， ∴BM=EM， ∵∠AME=∠FMB， ∴△AEM≌△FBM， ∴AE=FB，∠AEM=∠FBM， ∵△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE， ∴AB=AD，AC= AE，∠CAE=∠BAD=90°， ∴AC=BF，∠CAD=90°-∠EAD， ∵∠ABF=∠ABM+∠FBM=∠ABM+∠AEM=180°-∠BAE=180°-（∠BAD+∠EAD）=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD， ∴∠CAD=∠ABF， 在△BFA和△ACD中， ∴△BFA≌△ACD， ∴FA=CD， ∵AM=， ∴CD= FA= 2 AM =2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是延长AM到F，使AM=MF，证△BFA≌△ACD． 三．解答题（共7小题） 19. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式除法，解分式方程，注意解分式方程需要检验． （1）根据分式除法运算法则计算即可； （2）先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 经检验：当是原方程的解 所以原方程的解为． 20. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分解，即可解答； （2）利用十字相乘法进行分解，即可解答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，即可得到，进而得到，然后证得，根据平行四边形判定得到四边形是平行四边形，再由，即可证得平行四边形是菱形； （2）由菱形对角线的性质得到，，，然后证明，可得，根据题意得，，由勾股定理得，进而得到，由代入已知值即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平行四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（1，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）旋转中心为（2，﹣1）； （3）P（﹣2，0）． 【解析】 【分析】（1）利用旋转和平移的性质即可完成； （2）连接旋转前后的对应点即可找出旋转中心； （3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求点，利用待定系数法求出直线A′B的解析式为y＝2x+4，再求出其与x轴交点，即为P点坐标. 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求点， ∵A（﹣3，2）， ∴A′（﹣3，﹣2）． 设直线A′B的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A′（﹣3，﹣2），B（0，4）， ∴ ， 解得 ， ∴直线A′B的解析式为y＝2x+4， ∵当y＝0时，x＝﹣2， ∴P（﹣2，0）． 【点睛】本题考查了旋转、平移以及一次函数的应用，熟练掌握旋转和平移性质是解题关键. 23. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液． （1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？ （2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？ 【答案】（1）甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；（2）甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元． 【解析】 【分析】（1）根据该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价，注意分式方程要检验； （2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果． 【详解】解：（1）设甲种消毒液每桶的单价为x元，乙种消毒液每桶的单价为（x-6）元， 依题意，得： ， 解得：x=30， 经检验，x=30是原方程的解，且符合实际意义，则x-6=24． 答：甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元； （2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据题意得到不等式： m≥(300-m)，解得：m≥75， ∴75≤m≤300， 设总费用为W，根据题意得： W=20m+15(300-m)=5m+4500， ∵k=5>0， ∴W随m的减小而减小， ∴当m=75时，W有最小值， ∴W=5×75+4500=4875元 ∴甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验． 24. 已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接． （1）如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形； （2）当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵点D，E关于直线对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴． ∵点D为线段的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形； （2）解：补全图形如图所示， 线段与的数量关系：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵F为线段的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∵点D，E关于直线对称， ∴． ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由对称性知，由等边三角形的性质得，从而，由等边三角形的判定即可证明结论； （2）按题意补全图形即可；线段与的数量关系：；延长到点G，使，连接，易证明，从而得，得；再证明，得，从而． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年 张店区实验第二学期初三年级数学试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，从左到右变形错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 某班班主任调查了本班学生一周的居家体育锻炼时间，统计数据如下表所示，则该班学生一周的居家体育锻炼时间的中位数和众数分别是（　　） 时间（小时） 7 8 9 10 11 人数（人） 8 5 7 12 8 A. 9，10 B. 9.5，10 C. 10，10 D. 9.5，11 6. 如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 7. 已知一组数据4，，5，，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是（　　） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 8. 如果3x﹣2y＝0，那么代数式（+1）•的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图是五边形的三个外角，若则=（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 12. 如图，在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共6小题） 13. 因式分解：_________． 14. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 15. 如图所示，，则______°． 16. 如图，将沿BC方向平移得到，若，则BC的长为_________． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是_____________． 18. 如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BE，CD，M是BE的中点，若AM=，则CD的长为_______． 三．解答题（共7小题） 19. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程： 20. 分解因式： （1） （2） 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（1，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 23. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液． （1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？ （2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？ 24. 已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接． （1）如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形； （2）当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $