精品解析：天津市嘉诚中学2023-2024学年高二下学期期中质量调查数学试卷

天津市嘉诚中学2023-2024学年度第二学期期中质量调查 高二年级 数学学科 （考试时长：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 2. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书4本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ） A. 21种 B. 252种 C. 143种 D. 127种 3. 已知某地市场上供应一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，丙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 设曲线在点处的切线斜率为3，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 5. 将5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 240种 D. 360种 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列是．若，则（ ） 1 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（ ） A. B. C. D. 3 9. 2024年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由3名男生和3名女生共6名同学组成，这6名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ） A. 720种 B. 144种 C. 240种 D. 432种 10. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 11. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个． A. 600 B. 300 C. 360 D. 180 12. 若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. [－5,1) B. (－5,1) C. [－2,1) D. (－2,1) 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 13. 的展开式中所有二项式系数的最大值是______（用数字作答）． 14. 已知（为常数）在处取极值，则的值为______________. 15. 已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______. 16. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________． 17. 下列说法正确的有______． ①已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 ②已知随机变量服从正态分布，且，则 ③已知随机变量服从二项分布，则 ④已知随机变量服从两点分布，且，，令，则 18. 已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步橾． 19. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 20. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． （1）求甲至少有1次未击中目标的概率； （2）记甲击中目标次数为，求的概率分布列； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 21. 一个袋子里装有大小形状完全相同的9个小球，其中有红球5个，编号分别为1，2，3，4，5；白球4个，编号分别为1，2，3，4；现从袋子中任取3个球（假设取到任何一个球的可能性相同）． （1）求取出3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （2）求取出的3个球中恰好有2个球编号相同的概率； （3）记为取出的三个球中编号的最大值，求随机变量的分布列和数学期望． 22. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 23. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）令，过点做曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点一定在第一象限内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市嘉诚中学2023-2024学年度第二学期期中质量调查 高二年级 数学学科 （考试时长：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用函数在某点处的导数的定义，即可求解. 【详解】因为， 又函数在处的导数为，所以， 故选：A. 2. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书4本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ） A. 21种 B. 252种 C. 143种 D. 127种 【答案】D 【解析】 【分析】根据两本书的各类分类讨论，由分类计数原理和分步计数原理计算． 【详解】由题意不同选法有． 故选：D． 3. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，丙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用对立事件的概率公式及全概率公式，即可求出结果. 【详解】由题知，产品是次品的概率是， 故选：D. 4. 设曲线在点处的切线斜率为3，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数主，然后由求得切点横坐标，得切点坐标． 【详解】，由得，时，，所以． 故选：B． 5. 将5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 240种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】先把5个不同的球按照（3,1,1）和（2,2,1）的方式分成3组，求出分组的方法种数，然后再全排列即可. 【详解】若每个盒子中球的个数分别为2、2、1，则有 种方法， 再把这3组分别装入3个盒子中，有 装法，共有 种方法， 若每个盒子中球的个数分别为3、1、1，则有种方法， 再把这3组分别装入3个盒子中，有 装法，共有种方法，总共有 种方法， 故选：B. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解. 【详解】， 令可得解得， 所以，所以， 故选:B. 7. 随机变量的分布列是．若，则（ ） 1 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步列的性质及条件得到，再利用方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以，又，得到， 故选：A. 8. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得随机变量服从超几何分布，进而根据超几何分布求概率，进而求期望. 【详解】解：由题知8个数对中有，，，共4对孪生素数对， 所以的可能取值为 故，， ，， 所以 故选：C 9. 2024年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由3名男生和3名女生共6名同学组成，这6名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ） A. 720种 B. 144种 C. 240种 D. 432种 【答案】D 【解析】 【分析】将3名女生中的两位捆绑在一起，利用捆绑法与插空法可得出结果. 【详解】根据题意，把3位女生中的两位捆绑在一起看做一个复合元素有种方法，再和剩下的一位女生，插入到3位男生全排列后形成的4个空的其中2个空中，故有种， 故选：D. 10. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解． 【详解】因为， 由图象知，时，，又，所以当时，， 即在上单调递减， 当时，，又，所以当时，， 即在上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确， 故选：B． 11. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个． A. 600 B. 300 C. 360 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】分最后一位为1、不为1两种情况，结合特殊位置法、插空法、捆绑法及排列组合数对不同情况计数，即可得答案. 【详解】当最后一位为1时，共有种； 当最后一位不为1时，在3、4、5任选一个放最后有种， 把余下2个数字与9全排有种， 将两个1插入4个空中的2个有种，或两个1捆绑插入4个空中的1个有种， 共有种； 综上，共有种. 故选：B 12. 若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. [－5,1) B. (－5,1) C. [－2,1) D. (－2,1) 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值． 【详解】由，令，可得或， 由得：或，由得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 令，解得或， 若函数在(,)内存在最小值，则，得． 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 13. 的展开式中所有二项式系数的最大值是______（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，即可求出结果. 【详解】因为，所以的展开式中所有二项式系数的最大项为第项， 所以的展开式中所有二项式系数的最大值是， 故答案为：. 14. 已知（为常数）在处取极值，则的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导得到函数的导函数，求出导函数的零点即可得到极值点. 【详解】，因在处取得极值，所以，所以，，当时，无极值，时满足题意，所以. 故答案0. 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念． 15. 已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______. 【答案】1215 【解析】 【分析】根据已知条件，利用赋值法求出的值，然后写出展开式的通项公式，进而得该二项展开式的常数项. 【详解】∵二项式的展开式中，所有项的系数之和为64， ∴令，得，. 的展开式的通项公式为， 令，可得， 的展开式的常数项为. 故答案为：1215. 16. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设表示事件“恰有一名女生参加学习”，表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设表示事件“都是女生参加劳动学习”,结合组合数公式和条件概率公式，可分别求得. 【详解】设表示事件“恰有一名女生参加学习”，表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设表示事件“都是女生参加劳动学习”， 则 所以 故答案：；. 17. 下列说法正确的有______． ①已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 ②已知随机变量服从正态分布，且，则 ③已知随机变量服从二项分布，则 ④已知随机变量服从两点分布，且，，令，则 【答案】①②④ 【解析】 【分析】命题①，根据条件，利用期望的运算性质，即可求解；命题②，根据条件，利用正态分布的对称性，即可求解；命题③，根据条件，利用二项分布的概率计算公式，即可求解；命题④，根据条件，利用，即可求解. 【详解】对于命题①，因为服从正态分布，所以， 又，即，所以，故命题①正确， 对于命题②，因为随机变量服从正态分布，且， 所以，故命题②正确， 对于命题③，因为随机变量服从二项分布，所以，故命题③错误， 对于命题④，因为，由，得到，所以，故命题④正确， 故答案为：①②④. 18. 已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，求导，分离参数得到在上恒成立，再构造函数，求的最值即可求解. 【详解】不等式等价于， 令， 根据题意对任意的，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 所以当时，，即在区间单调递增， 当时，，即在区间上单调递减， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 三、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步橾． 19. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系即得； （2）根据导数与函数的最值的关系可得函数的最大值，可得，结合条件进而即得. 【小问1详解】 由，求导可得, 由，可得或， 所以函数的单调减区间为，； 【小问2详解】 因为， 令，解得或可得下表： 则，分别是在区间上的最大值和最小值， 所以，解得， 从而得函数在上的最小值为. 20. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． （1）求甲至少有1次未击中目标的概率； （2）记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果． （2）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列． （3）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果． 【小问1详解】 记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件， 由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响， 射击3次，相当于3次独立重复试验，故； 【小问2详解】 依题可知的可能取值为0，1，2，3， 并且， 即，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件， 则，、为互斥事件，， ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为. 21. 一个袋子里装有大小形状完全相同的9个小球，其中有红球5个，编号分别为1，2，3，4，5；白球4个，编号分别为1，2，3，4；现从袋子中任取3个球（假设取到任何一个球的可能性相同）． （1）求取出3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （2）求取出的3个球中恰好有2个球编号相同的概率； （3）记为取出的三个球中编号的最大值，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设“取出的个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件 ，由此能求出取出的个球的编号恰好是 个连续的整数，且颜色相同的概率； （2）设“取出的个球中恰有两个球编号相同”为事件 ，由此能求出取出的个球中恰有两个球编号相同的概率； （3） 的取值为，分别求出的值，由此能求出的分布列和的数学期望． 【小问1详解】 设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则， 即取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为. 【小问2详解】 设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则 . 即取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为. 【小问3详解】 X的取值为2,3,4,5. ，， ， . 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P X的数学期望. 22. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值是； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数在闭区间上的最值； （2）利用导数分类讨论函数的单调性； （3）利用导数的几何意义确定的值，接着分离参数得在上恒成立，令，利用导数求函数的最小值，实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 令时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ，所以在取得极小值，也是最小值， ， 又 . 在上的最大值为，最小值是； 【小问2详解】 当时，令，解得：， 令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立， 所以在上为减函数， 当时，在恒成立， 所以在上单调递减. 综上，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在上单调递减. 【小问3详解】 ，依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令， 当时，函数单调递减， 当时 函数单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 23. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）令，过点做曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点一定在第一象限内． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，可得，由，得，再由函数极值的定义，即可求解； （2）对求导，得到，对进行分类讨论，求出函数单调区间，即可求解； （3），设两切点为，，进而得，两点处的切线方程分别为，，令，解得，，利用分析法可证得点一定在第一象限内． 【小问1详解】 当时，定义域为，， 令，得到，当时，，当时，， 由函数极值的定义知，在处取到极大值，极大值为，无极小值. 【小问2详解】 易知函数的定义域为，因为， 当时，在区间上恒成立，此时在区间上单调递增， 最多有个零点，不合题意， 当时，由，得到，当时，， 当时，，即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又当时，，时，，且有两个零点， 所以，得到，所以， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，设两切点为，,，不妨设在的右边，则，， 所以，两点处的切线方程分别为，， 令，解得，， 因为，所以， 要证明，即证明，因为，即证， 设，则， 所以在上是增函数，所以，则， 所以，故点一定在第一象限内. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$