精品解析：江苏省宿迁市泗阳县桃源路中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

2023-2024学年第二学期第二次学情调研高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 已知平面向量，，若向量与共线，则（ ） A. B. 2 C. 5 D. 2. 复数虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 4. 在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 5. 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（ ） A. 24 B. 9 C. 36 D. 18 7. 已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形；侧面是正方形，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ） ①a的值为0.005 ②估计这组数据众数为75 ③估计这组数据的下四分位数为60 ④估计成绩高于80分的有300人 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 10. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 向量与向量夹角是 D. 向量在向量上的投影向量坐标是 11. 设、为复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，且，则在复平面对应点在一条直线上 三、填空题 12. 某连锁超市在三地的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A地被抽取了4家，则地被抽取的数量是__________. 13. 已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为3的扇形，则该圆锥的侧面积为______． 14. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 15. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为______，异面直线与所成角的余弦值为______． 四、解答题 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，使得关于不等式成立，求实数的取值范围． 17. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 18. 如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，. （1）证明：. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 20. 如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面． （1）证明：； （2）若，分别为，的中点，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期第二次学情调研高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 已知平面向量，，若向量与共线，则（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解． 【详解】因为向量与共线，所以， 解得． 故选：D． 2. 复数的虚部为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解. 【详解】， 所以复数. 故选： 3. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 故选：B 4. 在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得到，再求解即可. 【详解】在中，已知 由正弦定理得， 所以即 又，则，则， 所以所以该三角形为等腰三角形. 故选：B. 5. 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质得到答案. 【详解】已知样本数据的平均数为，方差为， 记数据的平均数为，方差为， 则， ， 由题意可得，. 故选：C 6. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（ ） A. 24 B. 9 C. 36 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】直接依据分层抽样按比例抽取即可. 【详解】依题意应从丙种型号的产品中抽取件. 故选：D. 7. 已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形；侧面是正方形，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面角定义，找到与平面所成角，根据正弦值求解即可. 【详解】 因为平面是正方形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 取的中点为的中点为，如图所示，连结， 则. 因为平面，所以. 因为底面是等边三角形，所以. 因为，所以平面. 因为，所以，所以，即四点共面. 因为平面，所以平面平面， 过点作交于点，连结，则因为平面平面， 所以平面，故就是与平面所成角， 由题中边长关系可得，所以， 所以. 故选：D. 8. 某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ） ①a的值为0.005 ②估计这组数据的众数为75 ③估计这组数据的下四分位数为60 ④估计成绩高于80分的有300人 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质判断①，利用众数、百分位数的求法判断②③，根据频率分布直方图计算可估计总体判断④. 【详解】由频率分布直方图可知，解得，①正确； 根据频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数，即众数为75，②正确； 前两组频率之和为，所以这组数据的下四分位数为60，③正确； 成绩高于80分的频率为，所以估计总体成绩高于80分的有人，④正确； 综上①②③④正确， 故选：D 二、多选题 9. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面之间的基本关系判断A，根据面面平行的判定定理判断BCD. 【详解】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，与也可能相交，故B错误； 选项C中，与也可能相交，故C错误； 选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确． 故选：ABC． 10. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角是 D. 向量在向量上的投影向量坐标是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用垂直关系的坐标表示求出，再结合模的坐标表示、向量夹角计算及投影向量的意义逐项判断即得. 【详解】由，得，由，得，解得， 对于A，，A错误； 对于B，，因此，B错误； 对于C，， 则，而，所以，C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：CD 11. 设、为复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则或 C. 若，则 D. 若，且，则在复平面对应的点在一条直线上 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；设，，根据模长运算和复数乘法运算可判断B选项；设，，，根据模长运算和复数乘法运算可判断D选项. 【详解】对于A，令，，则，此时，A错误； 对于B，设，，则， 所以，，即，则； 若，则成立，此时； 若，，由知；由知：，此时； 同理可知：当，时，； 若，，由得：，则，此时； 综上所述：若，则或，B正确； 对于，令，，则，此时，C错误； 对于D，设，，， 则，， 由，可得， 所以， 又、不全为零， 所以表示一条直线， 即在复平面对应的点在一条直线上，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 某连锁超市在三地的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A地被抽取了4家，则地被抽取的数量是__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念计算即可. 【详解】由题意可得，解得， 则B地被抽取的数量是. 故答案为：6 13. 已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为3的扇形，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求解，或者根据弧长公式可得，即可由侧面积公式求解. 【详解】方法一：扇形的面积为，故圆锥的侧面积为， 方法二：设此圆锥的底面半径为，母线为， 圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形， ，得，解得， 因此，此圆锥的侧面积为； 故答案为： 14. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案. 【详解】由余弦定理得，， 而由，得， 因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或， 当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意， 故答案为： 15. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为______，异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】取中点，连接，为直线EF与平面所成角，求解即可；取中点，连接，所以异面直线与所成角的余弦值为，利用余弦定理求值. 【详解】取中点，连接， 由题意可知，平面，所以为直线EF与平面所成角， 在中，， 所以； 取中点，连接， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 在中，，， ， 由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：；. 四、解答题 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围求出的范围，即可求出在上的最大值，依题意，即可得解. 小问1详解】 因为 ， 故函数的最小正周期； 【小问2详解】 当时，， 故当，即时，， 若，使得关于的不等式成立， 则，即， 故实数的取值范围为． 17. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一是把已知的虚根代入实系数一元二次方程，从而得到一个虚数为0，即实部为0和虚部分0，来求出待定系数的值即可； 解法二是利用实系数一元二次方程如果有虚根，一定是共轭虚根，从而知道了这个方程的两个根，然后用韦达定理来求出系数的值即可; （2）代入已知的共轭复数进行除法运算后,再求模即可. 【小问1详解】 解法一：由题意得:， 即， 所以， 所以，， 解得：，即； 解法二：由已知得，这个方程的另一个根是，再用韦达定理可知： ，解得：，所以； 【小问2详解】 ，，则， 所以. 18. 如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，. （1）证明：. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，将转换为线面平面，通过线面垂直的判断定理证明即可； （2）先通过线面证明平面，并求出，，直线与平面所成角正弦值为. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示. 因为为的中点，所以 又，所以， 因为，所以， 所以四点共面， 因为 且都在面， 所以平面，又因为平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，面，所以. 又，由，即， 因为， 所以，则 由题设知，因为，且都在内， 所以平面，面，所以，且 设到平面的距离为， 由，且都在面内，故面， 因为，平面，平面，所以平面， 综上， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】（1），63 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解； （2）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差的性质即可列式求解. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为， 设第25百分位数为，则，则， 解得，故第25百分位数为63． 【小问2详解】 设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 20. 如下图，四棱锥体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面． （1）证明：； （2）若，分别为，的中点，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判断定理证明即可证明； （2）根据二面角定义即可求出二面角的平面角. 【小问1详解】 连接， ∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面， 因为平面，所以， 由题意可知，等腰梯形的高为1， 故等腰梯形的面积为：， ∴， ∴， 在中，，． ∴，即， ∴为的三等分点， ∴． 又∵，面，面， ∴平面， ∵平面，∴． 【小问2详解】 取中点，连接，则四边形为平行四边形， ∴． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴四点共面． 连接交于，连接，则二面角即二面角． ∵平面，平面， ∴， 易知四边形为正方形，则， ∵，∴， 又，平面，平面， ∴平面． ∵，∴平面， ∵平面，平面， ∴，． ∴是二面角的平面角， 在中，，， ∴，∴， ∴二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$