2024年江苏省无锡市梁溪区金桥双语实验学校中考数学一模试卷

2024年江苏省无锡市梁溪区金桥双语实验学校中考数学一模试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.) 1.(3分)﹣7的倒数是( ) A.7 B. C.﹣7 D.﹣ 2.(3分)下列各式中,计算结果等于a9的是( ) A.a3+a6 B.a3•a6 C.a10﹣a D.a18 a2 3.(3分)已知一组数据23,27,20,18,x,12,若它们的中位数是21,那么数据x是( ) A.23 B.22 C.21 D.20 4.(3分)下列各组二次根式中,化简后是同类二次根式的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 5.(3分)下列因式分解正确的是( ) A.4a2﹣1=(4a+1)(4a﹣1) B.﹣a2+25=(5+a)(5﹣a) C.a2﹣6ab﹣9b2=(a﹣3b)2 D.a2﹣8a+16=(a﹣8)2 6.(3分)我国古代数学名著《九章算术》中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”意思是:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.问人数、物价各是多少?若设人数为x人,下列说法错误的是( ) A.每人出8钱,则物价为8x钱 B.每人出7钱,则物价为(7x+4)钱 C.列出关于x的方程:8x﹣3=7x+4 D.物价是53钱 7.(3分)如图,Rt ABC中,∠C=90 ,点D在BC上,∠CDA=∠CAB.若BC=4,tanB=,则AD的长度为( ) A. B. C. D.4 8.(3分)如图,在 ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE交于点G,BF与CE交于点H,下列说法: ①四边形AECF是平行四边形; ②四边形EHFG是平行四边形; ③当AB⊥BC时,四边形EHFG是菱形; ④当AB=BC时,四边形EHFG是矩形. 其中正确的有( ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 9.(3分)如图,在Rt OAB中,OC平分∠BOA交AB于点C,BD平分∠OBA交OA于点D,交OC于点E,反比例函数y=经过点E,若OB=2,=,则k的值为( ) A. B. C. D. 10.(3分)如图,在⊙O中,AC,BD是直径,∠BOC=60 ,点P是劣弧AB上任意一点(不与A、B重合),过点P作AC垂线,交AC、BD所在直线于点E、F,过点P作BD垂线,交BD、AC所在直线于点G、H,下列选项中,正确的是( ) ①;②∠GPE=60 ;③PG+PE最大值为;④当 PEH≌ CBA时,S PGF:S矩形ABCD=1:8. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共计24分。不需要写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卷相应位置。) 11.(3分)实数16的平方根是 . 12.(3分)民之所盼,我之所呼.人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次,其中数据“5810000”用科学记数法可表示为 . 13.(3分)若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120 、弧长为6 的扇形,则该圆锥的母线长为 . 14.(3分)a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式2024﹣2a2+2a的值是 . 15.(3分)命题“如果a2=b2,那么a=b”的逆命题是 命题(填“真”或“假”). 16.(3分)在平面直角坐标系中,一次函数y1=m(x+1)+1和y2=a(x﹣1)+2,无论x取何值始终有y1>y2,则m的取值范围是 . 17.(3分)如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B.已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,则点D的坐标是 ;连接BD,P为抛物线上一点,且∠DBP=135 ,则点P的坐标是 . 18.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,3),N点坐标为(5,0),点P为线段ON上的动点,始终保持∠APM=∠AOP,射线PM交直线x=5于点M,则MN的最大值为 . 三、解答题(本大题共10小题,共96分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(8分)(1)计算:; (2)化简:. 20.(8分)(1)解方程:2x2﹣x﹣6=0; (2)解不等式组:. 21.(10分)如图,在等腰 ABC中,AB=BC,BO平分∠ABC,过点A作AD∥BC交BO的延长线于D,连接CD,过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E. (1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由; (2)若AB=3,∠ABE=120 ,求DE的长. 22.(10分)无锡马拉松是江苏省内第一个全程马拉松赛事,也是世界田联金标赛事、中国田协金牌赛事、中国田协A1类认证赛事.继去年创下赛会最高赛事等级纪录后,今年锡马又成功获得2024全国马拉松锦标赛(第一站)、巴黎奥运会马拉松选拔赛、大运河马拉松系列赛(无锡站)的承办权,实现“四赛合一”.2024年3月24日上午7:00,3万多名马拉松跑友齐聚锡城,在太湖大道隐秀路路口鸣抢起跑.除了努力奔跑的参赛选手,赛场外还有一群默默奉献的志愿者.大学生小宇和小杰报名参加赛会志愿者活动,两人分别从以下四项志愿者活动中随机选择一项: A.赛道指引, B.集结检录, C.物资发放, D.人群疏散. (1)小杰选择“B.集结检录”是 事件.(填“必然”“不可能”或“随机”) (2)请用画树状图法或列表法求小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率. 23.(10分)4月23日是世界读书日.为了解学生的阅读喜好,丰富学校图书资源,某校将课外书籍设置了四类:文学类、科技类、艺术类、其他类,随机抽查了部分学生,要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类,将抽查结果绘制成如图统计图(不完整). 请根据图中信息解答下列问题: (1)求被抽查的学生人数,并求出扇形统计图中m的值. (2)请将条形统计图补充完整.(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上) (3)若该校共有1500名学生,根据抽查结果,试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数. 24.(10分)如图,AB是⊙O的直径,BP是⊙O的切线,OP交⊙O于点C. (1)用无刻度的直尺和圆规在BP边上作点D,使∠BDC=∠AOC;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若DP=2BD=4,求⊙O的半径. 25.(10分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC=CD,点E在AB的延长线上,∠ECB=∠DAC. (1)若AB为⊙O的直径,求证:EC是⊙O的切线; (2)若CE=7,∠ECB=45 ,,求AD的长. 26.(10分)某文具店第一次用2000元购进水笔若干支,第二次又用2000元购进同款水笔,但第二次每支水笔的进价是第一次进价的1.25倍,购进的数量比第一次少200个. (1)求第一次和第二次分别购进的水笔数量为多少? (2)文具店第一次购进水笔后,先以每支3元的价格出售,卖出了a支后购进第二批水笔,由于进价提高了,文具店将水笔的售价也提升至每个3.5元继续销售卖出了b支后,两次共卖了4800元.文具店决定将剩余的水笔全部捐赠给某希望小学.请问文具店捐赠水笔至少有多少支? 27.(10分)如图,射线AM上有一点B,AB=6,点C是射线AM上异于B的一点,过C作CD⊥AM,且CD=AC,过D点作DE⊥AD,交射线AM于E,在射线CD取点F,使得CF=CB,连接AF并延长,交直线DE于点G,设AC=3x. (1)当C在B点右侧时,求AD.DF的长.(用关于x的代数式表示) (2)当x为何值时, AFD是等腰三角形; (3)作点D关于AG的对称点D′,连接FD′,GD′,若四边形DFD′G是平行四边形,求x的值.(直接写出答案) 28.(10分)如图,抛物线y=(x+m)(x﹣2)交x轴于A、B两点,交y轴于C点,D在第三象限内的抛物线上,连CD、BD,BD交y轴于F,CD∥AB时,DF=1.5BF. (1)如图1,求该抛物线的解析式; (2)如图2,P是抛物线第三象限一个动点,过P作y轴的垂线,垂足为H,连接PB交y轴于点E,设P点横坐标为t, CPE的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不要求写自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下,如图3,点M在线段PH上,且∠OCM=2∠PBO,HE:CM=3:5,求P点坐标及相应S的值. 2024年江苏省无锡市梁溪区金桥双语实验学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.) 1.(3分)﹣7的倒数是( ) A.7 B. C.﹣7 D.﹣ 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数,可得答案. 【解答】解:﹣7的倒数是﹣, 故选:D. 2.(3分)下列各式中,计算结果等于a9的是( ) A.a3+a6 B.a3•a6 C.a10﹣a D.a18 a2 【分析】A.应用整式加减法则进行求解即可得出答案; B.应用同底数幂乘法法则进行求解即可得出答案; C.应用整式加减法则进行求解即可出答案; D.应用同底数幂除法法则进行求解即可出答案. 【解答】解:A.因为a3与a6不是同类项,所以不能合并,故A选项不符合题意; B.因为a3•a6=a3+6=a9,所以B选项结果等于a9,故B选项符合题意; C.因为a10与a不是同类项,所以不能合并,故C选项不符合题意; D.因为a18 a2=a18﹣2=a16,所以D选项结果不等于a9,故D选项不符合题意. 故选:B. 3.(3分)已知一组数据23,27,20,18,x,12,若它们的中位数是21,那么数据x是( ) A.23 B.22 C.21 D.20 【分析】讨论x的位置,根据中位数的定义求解. 【解答】解:根据题意,x的位置按从小到大排列只可能是: 12,18,20,x,23,27. 根据中位数是21得(20+x) 2=21. 解得x=22. 故选:B. 4.(3分)下列各组二次根式中,化简后是同类二次根式的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 【分析】先化简成最简二次根式,比较被开方数,相同即可. 【解答】解:A. 与,被开方数不同,不是同类二次根式,不符合题意; B. 与,被开方数不同,不是同类二次根式,不符合题意; C. 与,被开方数不同,不是同类二次根式,不符合题意; D. 与,被开方数相同,是同类二次根式,符合题意; 故选:D. 5.(3分)下列因式分解正确的是( ) A.4a2﹣1=(4a+1)(4a﹣1) B.﹣a2+25=(5+a)(5﹣a) C.a2﹣6ab﹣9b2=(a﹣3b)2 D.a2﹣8a+16=(a﹣8)2 【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可. 【解答】解:A.4a2﹣1=(2a+1)(2a﹣1),故本选项不符合题意; B.﹣a2+25=(5+a)(5﹣a),故本选项符合题意; C.a2﹣6ab+9b2=(a﹣3b)2,故本选项不符合题意; D.a2﹣8a+16=(a﹣4)2,故本选项不符合题意; 故选:B. 6.(3分)我国古代数学名著《九章算术》中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”意思是:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.问人数、物价各是多少?若设人数为x人,下列说法错误的是( ) A.每人出8钱,则物价为8x钱 B.每人出7钱,则物价为(7x+4)钱 C.列出关于x的方程:8x﹣3=7x+4 D.物价是53钱 【分析】设人数为x人,根据每人出8钱,多出3钱可得物价为(8x﹣3)钱,根据每人出7钱,还差4钱可得物价为(7x+4)钱,据此列出方程求出x的值,进而求出物价即可得到答案. 【解答】解:设人数为x人, ∵每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱, ∴物价为(8x﹣3)钱或(7x+4)钱, ∴8x﹣3=7x+4, 解得x=7, ∴8x﹣3=53, ∴物价是53钱, ∴四个选项中只有A选项说法错误,符合题意; 故选:A. 7.(3分)如图,Rt ABC中,∠C=90 ,点D在BC上,∠CDA=∠CAB.若BC=4,tanB=,则AD的长度为( ) A. B. C. D.4 【分析】由勾股定理可求AB的长,通过证明 ACD∽ BCA,可得,即可求解. 【解答】解:∵BC=4,tanB==, ∴AC=3, ∴AB===5, ∵∠CDA=∠CAB,∠C=∠C, ∴ ACD∽ BCA, ∴, ∴, ∴AD=, 故选:C. 8.(3分)如图,在 ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE交于点G,BF与CE交于点H,下列说法: ①四边形AECF是平行四边形; ②四边形EHFG是平行四边形; ③当AB⊥BC时,四边形EHFG是菱形; ④当AB=BC时,四边形EHFG是矩形. 其中正确的有( ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【分析】根据平行四边形、矩形的判定与性质,菱形的判定,结合题中条件证明.解每个小问时,先画出对应图形,再证明. 【解答】解:①如图: ∵四边形是ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, 又∵E、F分别是AB、CD的中点, ∴, ∴AE=CF, 又∵AB∥CD即AE∥CF, ∴四边形AECF是平行四边形; 故①正确. ②如图: 连接EF,由题意得: AD=EF,BC=EF,AD∥EF,BC∥EF, ∴四边形ADFE,EFCB都为平行四边形且两者全等, ∴EC=AF, 又∵平行四边形对角线互相平分, ∴, ∴EH=FG, 又由①可知,四边形AECF是平行四边形, ∴EH∥FG, ∴四边形EHFG是平行四边形; 故②正确. ③如图: ∵AB⊥BC,四边形ABCD是平行四边形, ∴平行四边形ABCD是矩形, ∴四边形EBCF是矩形, ∴EC=BF, 又∵矩形对角线互相平分, ∴EH=HF, 结合②四边形EHFG为平行四边形, ∴四边形EHFG为菱形; 故③正确. ④如图: 由①②可得:EF=BC,,而AB=BC, ∴GH≠EF, ∴四边形EHFG不是矩形, 故④不正确. 故答案为:B. 9.(3分)如图,在Rt OAB中,OC平分∠BOA交AB于点C,BD平分∠OBA交OA于点D,交OC于点E,反比例函数y=经过点E,若OB=2,=,则k的值为( ) A. B. C. D. 【分析】过点E作EG⊥x轴交于点G,过点E作EH⊥OB交于点H,过点C作CF⊥x轴交于点F,根据角平分线的性质可得HE=EG,BC=CF,再由平行线的性质可得===,==,分别求出EG、BC、CF,再由勾股定理求出CO、OG,从而得到E点坐标为(,),由此可求k的值. 【解答】解:过点E作EG⊥x轴交于点G,过点E作EH⊥OB交于点H,过点C作CF⊥x轴交于点F, ∵OC平分∠BOA,BC⊥OB, ∴BC=CF,HE=EG, ∵BD平分∠OBA,∠OBA=90 , ∴∠OBE=45 , ∴HB=HE, ∵OB⊥AB,HE⊥OB, ∴HE∥AB, ∵=, ∴===, ∵OB=2, ∴OH=, ∴BH=HE=, ∴BC=1, ∴CF=1, ∵EG⊥OA,CF⊥OA, ∴GE∥CF, ∴==, ∴EG=, 在Rt OBC中,BC=1,OB=2, ∴OC=, 在Rt EOG中,EG=,OE=, ∴OG=, ∴E(,), ∵E点在反比例函数y=上, ∴k=, 故选:B. 10.(3分)如图,在⊙O中,AC,BD是直径,∠BOC=60 ,点P是劣弧AB上任意一点(不与A、B重合),过点P作AC垂线,交AC、BD所在直线于点E、F,过点P作BD垂线,交BD、AC所在直线于点G、H,下列选项中,正确的是( ) ①;②∠GPE=60 ;③PG+PE最大值为;④当 PEH≌ CBA时,S PGF:S矩形ABCD=1:8. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【分析】①证明 PEH和 PGF相似即可对①进行判断; ②由∠BOC=60 得∠GOE=120 ,再根据PG⊥BD,PE⊥AC及四边形的内角和等于360 可得∠GPE的度数,进而可对②进行判断; ③连接PA,PB,PO,过点P作PM⊥AB于M,则S POB+S POA=S AOB+S PAB,则PG+PE==,其中,为定值,因此只有当PM为最大时,PG+PE为最大,则当点P是劣弧AB的中点时,PM为最大,此时PG+PE为最大,此时OM=OA=OP,则PM=OA,AM=OA,AB=OA,S AOB=OA2,由此可得PG+PE的最大值,进而可对③进行判断; ④当 PEH≌ CBA时,则PE=BC, OBC为等边三角形,此时点E,F均与点O重合,由此得AC=2BO=2OA,AB=OA,则S矩形ABCD=AB•BC=OA2,再根据∠GOP=30 ,得PG=OP=OA,OG=OA,则S PGF=PG•OG=OA2,由此可对④进行判断,综上所述即可得出答案. 【解答】解:①∵PG⊥BD,PE⊥AC, ∴∠PEH=∠PGF=90 , 又∵∠HPE=∠FPG, ∴ PEH∽ PGF, ∴, 故①正确; ②∵∠BOC=60 , ∴∠GOE=180 ﹣∠BOC=120 , ∵PG⊥BD,PE⊥AC, ∴∠PGO=∠PEO=90 , 在四边形PGOE中,∠GPE=360 ﹣(∠PGO+∠PEO+∠GOE)=60 , 故②正确; ③连接PA,PB,PO,过点P作PM⊥AB于M,如图1所示: ∵S POB+S POA=S AOB+S PAB, 又∵AC,BD是⊙O直径,∠AOB=120 , ∴OA=OB为定值,S AOB为定值, ∴OB•PG+OA•PE=S AOB+AB•PM, ∴PG+PE=, ∵,为定值, ∴当PM为最大时,PG+PE为最大, ∵点P是劣弧AB上任意一点(不与A、B重合), ∴当点P是劣弧AB的中点时,PM为最大,此时PG+PE为最大, ∴点M在线段PO上,且PO⊥AB,PA=PB, ∴∠AOP=∠AOB=60 , 在Rt OAM中,∠OAM=90 ﹣∠AOP=30 , ∴OM=OA=OP,则PM=OA, 由勾股定理得:AM==OA, ∴AB=2AM=OA, ∴S AOB=AB•OM= OA OA=OA2, PG+PE的最大最为:==OA, 故③不正确; ④当 PEH≌ CBA时,则PE=BC, ∵OB=OC,∠BOC=60 , ∴ OBC为等边三角形, ∴OB=BC,此时点E,F均与点O重合,如图2所示: ∵AC=BD,OA=OB=OC=OD, ∴四边形ABCD为矩形, ∴∠BAC=∠BOC=30 , ∴AC=2BO=2OA, 由勾股定理得:AB==OA, ∴S矩形ABCD=AB•BC=OA•OA=OA2, 在Rt OPG中,∠GOP=∠AOB﹣∠POG=120 ﹣90 =30 , ∴PG=OP=OA, 由勾股定理得:OG==OA, ∴S PGF=PG•OG= OA OA=OA2, ∴S PGF:S矩形ABCD=1:8, 故④正确, 综上所述:正确的是①②④. 故选:B. 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共计24分。不需要写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卷相应位置。) 11.(3分)实数16的平方根是 4 . 【分析】利用平方根定义计算即可. 【解答】解:∵( 4)2=16, ∴16的平方根是 4. 故答案为: 4 12.(3分)民之所盼,我之所呼.人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次,其中数据“5810000”用科学记数法可表示为 5.81 106 . 【分析】将一个数表示成a 10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,这种记数方法叫做科学记数法,据此即可求答案. 【解答】解:5810000=5.81 106, 故答案为:5.81 106. 13.(3分)若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120 、弧长为6 的扇形,则该圆锥的母线长为 9 . 【分析】直接利用扇形的半径的长等于圆锥的母线长计算即可. 【解答】解:设圆锥的母线长为l,由题意得:=6 , 解得:l=9. 故答案为:9. 14.(3分)a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式2024﹣2a2+2a的值是 2022 . 【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2﹣a﹣1=0,再把2024﹣2a2+2a=2024﹣2(a2﹣a),然后利用整体代入的方法计算. 【解答】解:∵a是方程x2﹣x+1=0的一个根, ∴a2﹣a﹣1=0, ∴a2﹣a=1, ∴2024﹣2a2+2a=2024﹣2(a2﹣a)=2024﹣2 1=2022. 故答案为:2022. 15.(3分)命题“如果a2=b2,那么a=b”的逆命题是 真 命题(填“真”或“假”). 【分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,可得答案. 【解答】解:“如果a2=b2,那么a=b”的逆命题是“如果a=b,那么a2=b2.” “如果a2=b2,那么a=b”的逆命题是 真命题, 故答案为:真. 16.(3分)在平面直角坐标系中,一次函数y1=m(x+1)+1和y2=a(x﹣1)+2,无论x取何值始终有y1>y2,则m的取值范围是 m . 【分析】由题意可知y1∥y2,且y2在y1的下方,则a=m,当y2=a(x+1)+1经过点(﹣1,1)时,a=,此时两直线相交,则m>时,y1>y2. 【解答】解:∵y1=m(x+1)+1(m≠0), ∴直线经过定点(﹣1,1), ∵无论x取何值,始终有y1>y2, ∴y1∥y2,且y2在y1的下方, ∴a=m, 当y2=a(x﹣1)+2经过点(﹣1,1)时, 1=﹣2a+2, ∴a=, 此时两直线相交, ∴a时,y1>y2, 即m. 故答案为:m. 17.(3分)如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B.已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,则点D的坐标是 (1,2) ;连接BD,P为抛物线上一点,且∠DBP=135 ,则点P的坐标是 (﹣4,﹣18) . 【分析】根据函数解析式和点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,可以求得m的值,从而可以得到点D的坐标;根据题意,画出图形,然后作出合适的辅助线,然后根据题目中的条件,可以表示出点P的坐标,再根据点P在抛物线上,即可求得点P的坐标,本题得以解决. 【解答】解:∵抛物线y=﹣x2+x+2,点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上, ∴,得m=1, ∴点D的坐标为(1,2); 过点P作PE⊥DB交DB的延长线于点E,作EF⊥x轴于点F,作PG⊥EF交EF的延长线于点G, ∵∠DBP=135 , ∴∠PBE=45 , ∵∠BEP=90 , ∴∠BPE=∠PBE=45 , ∴BE=PE, ∵∠BEP=90 ,∠EFB=90 , ∴∠PEG+∠BEF=90 ,∠EBF+∠BEF=90 , ∴∠PEG=∠EBF, 又∵∠PGE=∠EFB=90 ,PE=EB, ∴ PGE≌ EFB(AAS), ∴EG=BF,PG=EF, ∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣2)(x+1), ∴当y=0时,x=2或x=﹣1, ∴点B的坐标为(2,0) ∵点D(1,2),点B(2,0), ∴tan∠DBA=2, ∴tan∠EBF=2, 设BF=a,则EF=2a,EG=a,PG=2a, ∴点P的坐标为(2﹣a,﹣3a), ∴﹣3a=﹣(2﹣a)2+(2﹣a)+2 解得,a1=6,a2=0(舍去), ∴点P的坐标为(﹣4,﹣18), 故答案为:(1,2);(﹣4,﹣18). 18.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,3),N点坐标为(5,0),点P为线段ON上的动点,始终保持∠APM=∠AOP,射线PM交直线x=5于点M,则MN的最大值为 . 【分析】在x轴上取点C,使得∠NCM=∠APM=∠AOP,设点P的坐标为(x,0),通过证得 AOP∽ PCM,得到,将相关线段的长度代入整理得到:x2﹣(5+2y)x+13y=0.由根的判别式推知=[﹣(5+2y)]2﹣4 13y=4y2﹣32y+25=4(y﹣4)2﹣9≥0,由此求得最值. 【解答】解:在x轴上取点C,使得∠NCM=∠APM=∠AOP,设点P的坐标为(x,0), ∵∠APM+∠MPC=∠APN=∠AOP+∠A, ∴∠A=∠MPC, ∴ AOP∽ PCM, ∴, ∵点A的坐标为(2,3), ∴AO==,tan∠AOP=, ∴tan∠NCM=tan∠APM=, 在Rt MNC中,设CN=2y,则MN=3y,由勾股定理,得MC==y, ∵OP=x,PC=5+2y﹣x, ∴, 整理,得:x2﹣(5+2y)x+13y=0. ∵x的值是存在的, ∴方程根的判别式 =[﹣(5+2y)]2﹣4 13y=4y2﹣32y+25=4(y﹣4)2﹣9≥0, ∴y≤,y≥(舍去),3y=, 因此,MN的最大值为. 故答案为:. 三、解答题(本大题共10小题,共96分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(8分)(1)计算:; (2)化简:. 【分析】(1)先化简,然后计算加减法即可; (2)先通分括号内的式子,同时将括号外的除法转化为乘法,然后化简即可. 【解答】解:(1) =(﹣2)+2 ﹣(3﹣) =(﹣2)+﹣3+ =﹣5+2; (2) =• = = =2a﹣12. 20.(8分)(1)解方程:2x2﹣x﹣6=0; (2)解不等式组:. 【分析】(1)先因式分解,把方程化为两个一元一次方程即可求解; (2)解出每个不等式的解集,再求公共解集即可. 【解答】解:(1)∵2x2﹣x﹣6=0, ∴(2x+3)(x﹣2)=0, ∴2x+3=0或x﹣2=0, ∴x1=﹣,x2=2; (2), 解不等式①得:x≥﹣1, 解不等式②得:x<3, ∴不等式组的解集为﹣1≤x<3. 21.(10分)如图,在等腰 ABC中,AB=BC,BO平分∠ABC,过点A作AD∥BC交BO的延长线于D,连接CD,过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E. (1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由; (2)若AB=3,∠ABE=120 ,求DE的长. 【分析】(1)先利用等腰三角形的三线合一性质可得AO=CO,再利用平行线的性质可得∠DAO=∠ACB,∠ADO=∠CBO,从而利用AAS证明 ADO≌ CBO,进而可得DO=BO,再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形,然后利用菱形的定义可得四边形ABCD是菱形,即可解答; (2)先利用角平分线的定义可得∠DBC=60 ,再利用菱形的性质可得BC=CD=AB=3,从而可得 BCD是等边三角形,进而可得BD=BC=3,然后利用垂直定义可得∠BDE=90 ,从而可得∠E=30 ,进而可得BE=2BD=6,再利用勾股定理进行计算,即可解答. 【解答】解:(1)四边形ABCD是菱形, 理由:∵AB=BC,BO平分∠ABC, ∴AO=CO, ∵AD∥BE, ∴∠DAO=∠ACB,∠ADO=∠CBO, ∴ ADO≌ CBO(AAS), ∴DO=BO, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形; (2)∵BO平分∠ABC,∠ABE=120 , ∴∠DBC=∠ABE=60 , ∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=CD=AB=3, ∴ BCD是等边三角形, ∴BD=BC=3, ∵BD⊥DE, ∴∠BDE=90 , ∴∠E=90 ﹣∠DBC=30 , ∴BE=2BD=6, ∴DE===3, ∴DE的长为3. 22.(10分)无锡马拉松是江苏省内第一个全程马拉松赛事,也是世界田联金标赛事、中国田协金牌赛事、中国田协A1类认证赛事.继去年创下赛会最高赛事等级纪录后,今年锡马又成功获得2024全国马拉松锦标赛(第一站)、巴黎奥运会马拉松选拔赛、大运河马拉松系列赛(无锡站)的承办权,实现“四赛合一”.2024年3月24日上午7:00,3万多名马拉松跑友齐聚锡城,在太湖大道隐秀路路口鸣抢起跑.除了努力奔跑的参赛选手,赛场外还有一群默默奉献的志愿者.大学生小宇和小杰报名参加赛会志愿者活动,两人分别从以下四项志愿者活动中随机选择一项: A.赛道指引, B.集结检录, C.物资发放, D.人群疏散. (1)小杰选择“B.集结检录”是 随机 事件.(填“必然”“不可能”或“随机”) (2)请用画树状图法或列表法求小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率. 【分析】(1)根据随机事件的定义可得答案. (2)画树状图可得出所有等可能的结果数以及小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的结果数,再利用概率公式可得出答案. 【解答】解:(1)由题意知,小杰选择“B.集结检录”是随机事件. 故答案为:随机. (2)画树状图如下: 共有16种等可能的结果,其中小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的结果有4种, ∴小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率为=. 23.(10分)4月23日是世界读书日.为了解学生的阅读喜好,丰富学校图书资源,某校将课外书籍设置了四类:文学类、科技类、艺术类、其他类,随机抽查了部分学生,要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类,将抽查结果绘制成如图统计图(不完整). 请根据图中信息解答下列问题: (1)求被抽查的学生人数,并求出扇形统计图中m的值. (2)请将条形统计图补充完整.(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上) (3)若该校共有1500名学生,根据抽查结果,试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数. 【分析】(1)将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数;将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数,即可求出m的值; (2)先求出艺术类人数,再补全条形统计图即可; (3)将1500乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数. 【解答】解:(1)被抽查的学生人数是 40 20%=200(人), ∵, ∴扇形统计图中m的值是40, 答:被抽查的学生人数为200人,扇形统计图中m的值为40; (2)200﹣60﹣80﹣40=20(人), 补全的条形统计图如图所示. (3)∵1500 =450(人), ∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有450人. 24.(10分)如图,AB是⊙O的直径,BP是⊙O的切线,OP交⊙O于点C. (1)用无刻度的直尺和圆规在BP边上作点D,使∠BDC=∠AOC;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若DP=2BD=4,求⊙O的半径. 【分析】(1)过点C作DC⊥OP即可; (2)证明∠P=30,解直角三角形即可. 【解答】解:(1)如图,点3D即为所求; (2)∵DB,DC是⊙O的切线, ∴DB=DC, ∵PD=2BD=4 ∴PD=2DC=4, ∴CD=BD=2,PB=6, ∵∠DCP=∠DCO=90 , ∴∠P=30 , ∴OB=PB•tan30 =2, ∴⊙O的半径为2. 25.(10分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC=CD,点E在AB的延长线上,∠ECB=∠DAC. (1)若AB为⊙O的直径,求证:EC是⊙O的切线; (2)若CE=7,∠ECB=45 ,,求AD的长. 【分析】(1)连接OC,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90 ,从而可得∠ACO+∠BCO=90 ,根据已知可得=,从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠DAC=∠CAO,然后根据等腰三角形的性质和已知可得∠ECB=∠ACO,从而可得∠OCE=90 ,即可解答; (2)过点B作BF⊥CE,垂足为F,根据已知可得BF=CF,设BF=CF=x,则EF=7﹣x,再在Rt BFE中,利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程,从而求出BF,EF的长,进而求出BE,BC的长,然后再利用圆内接四边形对角互补和平角定义可得∠ADC=∠CBE,最后证明 CBE∽ ADC,利用相似三角形的性质进行计算即可解答. 【解答】(1)证明:连接OC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90 , ∴∠ACO+∠BCO=90 , ∵OA=OC, ∴∠ACO=∠CAO, ∵DC=BC, ∴=, ∴∠DAC=∠CAO, ∴∠DAC=∠ACO, ∵∠ECB=∠DAC, ∴∠ECB=∠ACO, ∴∠ECB+∠OCB=90 , ∴∠OCE=90 , ∵OC是⊙O的半径, ∴EC是⊙O的切线; (2)过点B作BF⊥CE,垂足为F, ∴∠BFC=∠BFE=90 , ∵∠ECB=45 , ∴tan45 ==1, ∴BF=CF, 设BF=CF=x, ∵CE=7, ∴EF=CE﹣CF=7﹣x, 在Rt BFE中,, ∴tanE===, ∴x=3, 经检验:x=3是原方程的根据, ∴BF=CF=3,EF=7﹣3=4, ∴CD=BC=BF=3, 在Rt BFE中,BE===5, ∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形, ∴∠ADC+∠ABC=180 , ∵∠ABC+∠CBE=180 , ∴∠ADC=∠CBE, ∵∠ECB=∠DAC, ∴ CBE∽ ADC, ∴=, ∴=, ∴AD=, ∴AD的长为. 26.(10分)某文具店第一次用2000元购进水笔若干支,第二次又用2000元购进同款水笔,但第二次每支水笔的进价是第一次进价的1.25倍,购进的数量比第一次少200个. (1)求第一次和第二次分别购进的水笔数量为多少? (2)文具店第一次购进水笔后,先以每支3元的价格出售,卖出了a支后购进第二批水笔,由于进价提高了,文具店将水笔的售价也提升至每个3.5元继续销售卖出了b支后,两次共卖了4800元.文具店决定将剩余的水笔全部捐赠给某希望小学.请问文具店捐赠水笔至少有多少支? 【分析】(1)设该文具店第一次购进x支水笔,则第二次购进(x﹣200)支水笔,利用单价=总价 数量,结合第二次每支水笔的进价是第一次进价的1.25倍,可列出关于x的分式方程,解之经检验后,可得出x的值(即第一次购进的水笔数量),再将其代入(x﹣200)中,即可求出第二次购进的水笔数量; (2)利用总价=单价 数量,可列出关于a,b的二元一次方程,变形后可得出a=1600﹣b,结合a≤1000,可得出关于b的一元一次不等式,解之可得出b的取值范围,设该文具店捐赠水笔的数量为w支,利用捐赠水笔的数量=第一次购进的水笔数量+第二次购进的水笔数量﹣a﹣b,可找出w关于b的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题. 【解答】解:(1)设该文具店第一次购进x支水笔,则第二次购进(x﹣200)支水笔, 根据题意得:= 1.25, 解得:x=1000, 经检验,x=1000是所列方程的解,且符合题意, ∴x﹣200=1000﹣200=800. 答:该文具店第一次购进1000支水笔,第二次购进800支水笔; (2)根据题意得:3a+3.5b=4800, ∴a=1600﹣b. ∵a≤1000, ∴1600﹣b≤1000, 解得:b≥. 设该文具店捐赠水笔的数量为w支,则w=1000+800﹣a﹣b=1000+800﹣(1600﹣b)﹣b, 即w=b+200, ∵>0, ∴w随b的增大而增大, ∴当b=516时,w取得最小值,最小值为 516+200=286. 答:文具店捐赠水笔至少有286支. 27.(10分)如图,射线AM上有一点B,AB=6,点C是射线AM上异于B的一点,过C作CD⊥AM,且CD=AC,过D点作DE⊥AD,交射线AM于E,在射线CD取点F,使得CF=CB,连接AF并延长,交直线DE于点G,设AC=3x. (1)当C在B点右侧时,求AD.DF的长.(用关于x的代数式表示) (2)当x为何值时, AFD是等腰三角形; (3)作点D关于AG的对称点D′,连接FD′,GD′,若四边形DFD′G是平行四边形,求x的值.(直接写出答案) 【分析】(1)由已知条件可得:CD=4x,根据勾股定理得:AD=5x,由AB=6且C在B点右侧,可以依次表示BC、CF、DF的长; (2)分两种情况: ①当C在B点的右侧时,AF=DF,②当C在线段AB上时,又分两种情况:i)当CF<CD时,如图3,ii)当CF>CD时,如图4,由AF=DF,作等腰三角形的高线FN,由等腰三角形三线合一得:AN=ND=2.5x,利用同角的三角函数列比例式可求得x的值; (3)先根据四边形DFD′G是平行四边形证明它为菱形,由角的关系得:AF平分∠DAC,作辅助线,由角平分线的性质得:FN=FC,根据第2问分两种情况进行计算,根据同角的三角函数列式可求得x的值. 【解答】解:(1)∵CD=,AC=3x, ∴CD=4x, ∵CD⊥AM, ∴∠ACD=90 , 由勾股定理得:AD=5x, ∵AB=6,C在B点右侧, ∴BC=AC﹣AB=3x﹣6, ∵BC=FC=3x﹣6, ∴DF=CD﹣FC=4x﹣(3x﹣6)=x+6; (2)分两种情况: ①当C在B点的右侧时, ∴AC>AB, ∴F必在线段CD上, ∵∠ACD=90 , ∴∠AFD是钝角,若 ADF为等腰三角形,只可能AF=DF,过F作FN⊥AD于N,如图2, ∴AN=ND=2.5x, cos∠ADC==, , x=; ②当C在线段AB上时,同理可知若 ADF为等腰三角形,只可能AF=DF, i)当CF<CD时,过F作FN⊥AD于N,如图3, ∵AB=6,AC=3x, ∴BC=CF=6﹣3x, ∴DF=4x﹣(6﹣3x)=7x﹣6, cos∠ADC=, ∴, x=, ii)当CF>CD时,如图4, BC=CF=6﹣3x, ∴FD=AD=6﹣3x﹣4x=6﹣7x, 则6﹣7x=5x, x=, 综上所述,当x=或或时, AFD是等腰三角形; (3)∵四边形DFD′G是平行四边形,且DF=D′F, ∴ DFD′G是菱形, ∴DF=DG, ∴∠DFG=∠DGF, ∵∠AFC=∠DFG, ∴∠DGF=∠AFC, ∵∠ACD=∠ADG=90 , ∴∠FAC=∠DAG, 即AF平分∠DAC, 过F作FN⊥AD于N, 当C在AB的延长线上时,如图2,FN=FC=3x﹣6,DF=x+6, sin∠CDA=, 解得:x=4, 当C在AB边上时,如图5,FN=FC=6﹣3x, DF=7x﹣6, sin∠CDA==, x=, 综上所述,若四边形DFD′G是平行四边形,x的值是4或. 28.(10分)如图,抛物线y=(x+m)(x﹣2)交x轴于A、B两点,交y轴于C点,D在第三象限内的抛物线上,连CD、BD,BD交y轴于F,CD∥AB时,DF=1.5BF. (1)如图1,求该抛物线的解析式; (2)如图2,P是抛物线第三象限一个动点,过P作y轴的垂线,垂足为H,连接PB交y轴于点E,设P点横坐标为t, CPE的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不要求写自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下,如图3,点M在线段PH上,且∠OCM=2∠PBO,HE:CM=3:5,求P点坐标及相应S的值. 【分析】(1)先根据函数解析式求出A,B,C的坐标,再根据CD∥AB,证明 OBF∽ CDF,由相似三角形的性质得出=,从而求出点D坐标,再把点D坐标代入抛物线解析式求出m; (2)由(1)的解析式求出A,B,C的坐标,再根据P的坐标,用待定系数法求出直线PB的解析式,得出点E坐标,从而求出EC,PH,再由三角形的面积公式求出 CPE的面积为S与t之间的函数关系式; (3)过点E作CE的垂线,作∠OCM的平分线交CE的垂线与F,过点F作EP的平行线交HP的延长线于N点,连接CN,先证明 PHE≌ CEF(ASA),从而得出EF=EH,EP=CF,设EF=EH=3k,CM=5k,则HC=﹣t﹣3k,然后证明四边形EFNP是平行四边形,得出MN=MC=5k,MH=NH﹣MN=﹣t+3k﹣5k=﹣t﹣2k,再根据MH2+HC2=MC2,求出t=﹣6k,然后由tan∠EPH====,tan∠PBO===,tan∠EPH=tan∠PBO列出关于t的方程,求出t的值,然后求点P坐标和S. 【解答】解:(1)当y=0时,(x+m)(x﹣2)=0, 解得x=﹣m或x=2, ∴B(2,0),A(﹣m,0), ∴BO=2, 当x=0时,y=•m•(﹣2)=﹣m, C(0,﹣m), ∵CD∥AB, ∴, ∴ OBF∽ CDF, ∴=, ∴=, ∴CD=3, ∴D(﹣3,﹣m), ∵D点在y=(x+m)(x﹣2)图象上, ∴﹣m=(﹣3+m)(﹣3﹣2), 解得m=5, ∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣5; (2)由y=x2+x﹣5得,A(﹣5,0),B(2,0),C(0,﹣5), ∵P点横坐标为t, ∴P点纵坐标为t2+t﹣5, 设PB的表达式为y=kx+b, 则, 解得, ∴PB的表达式为y=x﹣t﹣5, ∴E(0,﹣t﹣5), ∴EC=﹣t﹣5+5=﹣t, ∵PH=|t|=﹣t, ∴S=EC•PH=•(﹣t)•(﹣t)=t2, ∴S与t之间的函数关系式为S=t2; (3)如图,过点E作CE的垂线,作∠OCM的平分线交CE的垂线与F, 过点F作EP的平行线交HP的延长线于N点,连接CN, ∵HP∥AB, ∴∠HPB=∠PBO, ∵∠OCM=2∠PBO,∠COM=2∠ECF, ∴∠PBO=∠ECF, ∴∠HPB=∠ECF, ∵, ∴ PHE≌ CEF(ASA), ∴EF=EH,EP=CF, 设EF=EH=3k,CM=5k,则HC=﹣t﹣3k, ∵EF∥PN,FN∥EP, ∴四边形EFNP是平行四边形, ∴PN=EF=3k, ∴NH=PH+PN=﹣t+3k, ∵FN=EP,EP=CF, ∴FN=CF, ∴∠FNC=∠FCN, 又∵∠FNM=∠ECF=∠FCM, ∴∠FNC﹣∠FNM=∠FCN﹣∠FCM, 即∠MNC=∠MCN, ∴MN=MC=5k, ∴MH=NH﹣MN=﹣t+3k﹣5k=﹣t﹣2k, ∵MH2+HC2=MC2, ∴(﹣t﹣2k)2+(﹣t﹣3k)2=(5k)2, 解得t1=k(舍去),t2=﹣6k, ∵tan∠EPH====, tan∠PBO===, ∴=, 解得t=4, ∴t2+t﹣5=﹣3, ∴P(﹣4,﹣3), ∴S=t2= (﹣4)2=8. 学科网(北京)股份有限公司 $$