专题09 指、对、幂比大小问题-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题09 指、对、幂比大小问题 直接法比大小 例1 (1)(2023 天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c (2)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 指、对、幂大小比较的常用方法 (1)底数相同,指数不同时,如ax1和ax2,利用指数函数y=ax的单调性比较大小; (2)指数相同,底数不同,如x和x,利用幂函数y=xa的单调性比较大小; (3)底数相同,真数不同,如logax1和logax2,利用对数函数logax的单调性比较大小; (4)底数、指数、真数都不同,寻找中间变量0,1或者其他能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大小关系的判定. 先分离常数再比大小 例2 设a=log26,b=log515,c=log721,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 充分挖掘底数和真数的关系,当出现相同的倍数关系时,往往先分离常数. 变式 设a=log23,b=log812,c=lg 15,则a,b,c的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 作商法比大小 例3 已知7p=8,8q=9,pr=q,则p,q,r的大小关系为( ) A.r>p>q B.q>p>r C.q>r>p D.p>q>r 作商法,有时可借助基本不等式ab≤进行变形. 变式 已知3a=4b=5c=0.3-,则a,2b,c的大小关系是( ) A.a>2b>c B.a>c>2b C.2b>a>c D.c>a>2b 零点法比大小 例4 设正实数a,b,c分别满足a 2a=b log3b=c log2c=1,则a,b,c的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 借助函数之间的图象交点以及函数与坐标轴的交点、函数的区间值域,来寻找特殊值之间的位置关系,从而比较大小. 变式 已知f(x)=-x-2,g(x)=logx-x-2,h(x)=x3-x-2的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小关系是( ) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 同构函数比大小 例5 已知x∈(0,1),若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 常见的构造函数求导思维:在于转化过程中,“分参” “构造”,得新函数,求其导函数确定单调性. 变式 若ln a=-1,eb=,3c=ln 3,则a,b,c的大小关系为( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.a>b>c 配套练习 1.已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是( ) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 2.设a=ln ,b=log3,c=3-2,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 3.(2022 天津卷)已知a=20.7,b=,c=log2,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b 4.设a=lg ,b=,c=lg 6,则( ) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a 5.已知a=,b=log,c=40.3,则a,b,c的大小关系是( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 6.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 7.已知2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1),则a,b,c从小到大的关系是( ) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 8.已知a=log63,b=log84,c=lg 5,则( ) A.b<a<c B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c 9.已知2a=3,3b=4,ac=b,则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 10.已知log4m=,log12n=,0.9p=0.8,则正数m,n,p的大小关系为( ) A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m 学科网(北京)股份有限公司 $$ 专题09　指、对、幂比大小问题 直接法比大小 例1　(1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　D　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 【解析】 由y＝1.01x在R上单调递增，知a＝1.010.5＜1.010.6＝b，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，知a＝1.010.5＞0.60.5＝c，所以b＞a＞c． (2)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　A　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【解析】 由于a＝log52＜log5＜，b＝log0.50.2＞log0.50.25＝2，0.51＜0.50.2＜0.50，故＜c＜1，所以a＜c＜b． 指、对、幂大小比较的常用方法 (1)底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小； (2)指数相同，底数不同，如x和x，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小； (3)底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数logax的单调性比较大小； (4)底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其他能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． 先分离常数再比大小 例2　设a＝log26，b＝log515，c＝log721，则(　A　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【解析】 由对数的运算性质，可得a＝log26＝log2(2×3)＝1＋log23＝1＋，b＝log515＝log5(5×3)＝1＋log53＝1＋，c＝log721＝log7(7×3)＝1＋log73＝1＋．因为0＜log32＜log35＜log37，则＞＞，所以a＞b＞c． 充分挖掘底数和真数的关系，当出现相同的倍数关系时，往往先分离常数． 变式　设a＝log23，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为(　A　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b 【解析】 log23＝log2＝1＋log2＝1＋，log812＝log8＝1＋log8＝1＋，lg 15＝lg ＝1＋lg ＝1＋．因为0＜log2＜log8＜log10，所以log23＞log812＞lg 15，即a＞b＞c． 作商法比大小 例3　已知7p＝8，8q＝9，pr＝q，则p，q，r的大小关系为(　D　) A．r＞p＞q B．q＞p＞r C．q＞r＞p D．p＞q＞r 【解析】 由题意可得p＝log78＞1，q＝log89＞1，r＝logpq＞0，因为ln 7·ln 9＜＝＜＝(ln 8)2，即ln 7·ln 9＜(ln 8)2，所以p－q＝log78－log89＝－＝＞0，即p＞q．又因为r＝logpq＜logpp＝1，所以p＞q＞r． 作商法，有时可借助基本不等式ab≤进行变形． 变式　已知3a＝4b＝5c＝0.3－，则a，2b，c的大小关系是(　C　) A．a＞2b＞c B．a＞c＞2b C．2b＞a＞c D．c＞a＞2b 【解析】 因为0.3－＞1，设3a＝4b＝5c＝0.3－＝t＞1，所以a＝log3t，b＝log4t，c＝log5t．因为t＞1，所以a＞0，b＞0，c＞0．因为＝＝＞1，所以a＞c．因为＝＝＝＜1，所以2b＞a．综上，2b＞a＞c． 零点法比大小 例4　设正实数a，b，c分别满足a·2a＝b·log3b＝c·log2c＝1，则a，b，c的大小关系为(　B　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b 【解析】 由已知可得＝2a，＝log3b，＝log2c，作出y＝2x，y＝log2x，y＝log3x的图象如图所示，则它们与y＝的图象交点的横坐标分别为a，b，c，由图象可得b＞c＞a． (例4) 借助函数之间的图象交点以及函数与坐标轴的交点、函数的区间值域，来寻找特殊值之间的位置关系，从而比较大小． 变式　已知f(x)＝－x－2，g(x)＝logx－x－2，h(x)＝x3－x－2的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　B　) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【解析】 函数f(x)＝－x－2，g(x)＝logx－x－2，h(x)＝x3－x－2的零点即为函数y＝x＋2与函数y＝，y＝logx，y＝x3的图象交点的横坐标，作出图象如图所示，由图可得a＜b＜c． (变式) 同构函数比大小 例5　已知x∈(0，1)，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　A　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【解析】 构造函数f(x)＝，x∈(0，1)，则f′(x)＝＝－＜0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减．因为x∈(0，1)，所以0＜x3＜x2＜＜1，所以a＜b＜c． 常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”→“构造”，得新函数，求其导函数确定单调性． 变式　若ln a＝－1，eb＝，3c＝ln 3，则a，b，c的大小关系为(　A　) A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c 【解析】 由题设知a＝，b＝＝，c＝．令f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝，易知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，即f(e)＞f(3)＞f(4)＝f(2)，所以a＞c＞b． 配套练习 1．已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　C　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【解析】 a＝log52＜log5＝＝log82＜log83＝b，即a＜c＜b． 2．设a＝ln π，b＝log3，c＝3-2，则(　C　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【解析】 因为a＝ln π＞ln e＝1，b＝log3＜log1＝0，且c＝3-2＝，所以a＞c＞b． 3．(2022·天津卷)已知a＝20.7，b＝，c＝log2，则(　C　) A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b 【解析】 因为20.7＞＞0＝log21＞log2，故a＞b＞c． 4．设a＝lg ，b＝，c＝lg 6，则(　A　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 【解析】 因为a＝lg ＜lg 1＝0，c＝lg 6＝(lg 2＋lg3)，又lg 3＞0，lg 2＞0，所以c＞0，b＝＞0，且lg 2＋lg 3＞2，所以c＞b＞0，所以c＞b＞a． 5．已知a＝，b＝log，c＝40.3，则a，b，c的大小关系是(　C　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【解析】 由题设，a＝＝20.8，b＝log＝－log2＝log23－1，c＝40.3＝20.6，所以b＝log23－1＜1＜c＝20.6＜a＝20.8． 6．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　C　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【解析】 令f(x)＝，所以f′(x)＝，所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)＝单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)＝单调递减．因为a＝＝＝＝f(4)，b＝＝＝f(e)，c＝＝＝f(9)，所以f(e)＞f(4)＞f(9)，即b＞a＞c． 7．已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，则a，b，c从小到大的关系是(　C　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【解析】 由2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，可得2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，且k＜1，分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象如图所示，由图可知a＜c＜b． 8．已知a＝log63，b＝log84，c＝lg 5，则(　D　) A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【解析】 由题意得a＝log63＝log6＝1－log62＝1－，b＝log84＝log8＝1－log82＝1－，a＝log105＝log10＝1－log102＝1－．因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log26＜log28＜log210，则＞＞，所以a＜b＜c． 9．已知2a＝3，3b＝4，ac＝b，则a，b，c的大小关系为(　D　) A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【解析】 由题可知a＝log23，b＝log34，易知a，b∈(1，＋∞)．因为＝＝log34·log32＜＝＜＝1，所以b＜a．另一方面，c＝logab＜logaa＝1＜b，所以a＞b＞c． 10．已知log4m＝，log12n＝，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　A　) A．p＞m＞n B．m＞n＞p C．m＞p＞n D．p＞n＞m 【解析】 由log4m＝，得m＝4＝2＜2，由log12n＝，得n＝12，＝＝＝＝＝＝＞1，因此，n＜m＜2．由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8＞log0.90.81＝2，于是p＞m＞n． 学科网（北京）股份有限公司 $$