广东省2025届高三久洵杯七月调研测试数学试题

绝密 启⽤前 2025届普通⾼中毕业⽣久洵杯七⽉调研测试 数　学 注意事项： 1．答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。如 需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上⽆效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。 ⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符 合题⽬要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D．   2．已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 的夹⾓为钝⾓”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件   3．已知复数 满⾜ ，则 A． B． C． D．   4．记 的内⾓ ， ， 的对边分别为´ ， ， ，若 ，则 A． B． C． D．   5．记抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，则 的最⼩值为 A． B． C． D． ★ A = {y |y = x2 − 5x + 6} B = {x |x2 − 5x − 6 ≤ 0} A ∩ B = Ø [2,3] [− 1 4 ,3] [− 1 4 ,6] a = (m , − 1) b = (1,2) m < − 1 2 a b z z z + i = 2 + i 4 |z | = 1 4 5 5 2 5 △ A BC A B C a b c a cos C − c cos A = b sin A = 3 − 1 2 1 2 3 2 1 E : y2 = 4x F A E B(2,1) |AF | + |A B | 2 3 4 5 数学试题 第 页（共5页） 1  6．记 ， 为随机事件，已知 ， ， ，则 A． B． C． D．   7．已知 的部分图象如图所 ⽰，点 ， ， 是 与坐标轴的交点，若 是直⾓三 ⾓形，且 ，则 A． B． C． D．   8．已知⾯积为 的锐⾓三⾓形 满⾜ ，将 以 为轴旋转⾄ ， 且 ，则三棱锥 体积的最⼤值为 A． B． C． D． ⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分。在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要 求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。   9．⼀组样本数据为 ， ， ， ， ， ， ，则 A．该组数据的极差为 B．该组数据的 分位数为 C．该组数据的平均数为 D．若该组数据去掉⼀个数得到⼀组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 10．已知 满⾜ ， ，记 的前 项和为 ， 的 前 项和为 ，则下列说法中不⼀定正确的是 A． 是等差数列 B． 的通项公式为 或 C．若 ，则 D．若 ，则 为定值 A B P(B) = 1 2 P(B |A) = 1 3 P(B |A ) = 2 3 P(A + B) = 1 3 1 2 7 12 2 3 f (x) = sin(ωx + φ)(ω > 0,0 < φ < π 2 ) A B C f (x) △ A BC ω sin φ = 2π 3 f ( 3 6 2 ) = 1 2 2 2 3 2 1 3 A BC A B = AC △ A BC BC △ A1BC A1A = BC A1 − A BC 2 2 3 1 3 2 7 12 13 17 18 20 32 25 75 % 19 17 {an} a1 = 1 a2n+1 − (n − 1)anan+1 − n a 2 n = 0 {n an+1} n Tn {Tn} n Sn { an+1 an } {an} an = (n − 1)! an = (−1)n−1 an > 0 Tn = (n + 1)! − 1 anan+1 < 0 S2n 数学试题 第 页（共5页） 2 A B CO x y 11．已知函数 是偶函数，点 ，点 ，点 在 函数 的图象上，且 ，记 边上的⾼为 ，则 A． B．函数 是减函数 C．点 可能在以 为直径的圆上 D． 的最⼤值为 三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分。 12．已知 ，则 ________． 13．写出⼀个同时具有下列性质的函数 ________． a． 是偶函数； b． 不存在对称中⼼； c． 存在最⼩正周期，且最⼩正周期为 ． 14．已知双曲线 ： 的左，右焦点为 ， ，过 的直线 交 的右⽀ 于点 ， （点 在点 上⽅）， ，过点 作直线 ，交 于点 （点 在 第⼆象限），若直线 与直线 的交点在直线 上，则C的离⼼率为________． 四、解答题：本题共5⼩题，共 77 分。解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）        投掷⼀枚硬币 次，正⾯向上与反⾯向上的概率均为 ，记事件 为“ 次抛 掷中既有正⾯向上也有反⾯向上”， 为“ 次抛掷中⾄多⼀次正⾯向上”． （1）若 ，求 ； （2）证明：事件 ， 相互独⽴的充要条件为 ． 16．（15分）        如图，三棱柱 中，侧⾯ 是边 长为 的正⽅形， ， ．   （1）证明： ；   （2）若⼆⾯⾓ 的余弦值为 ，求 的值． f (x) = ln(1 + eax) − x A(x1, f (x1)) B(x2, f (x2)) C(x3, f (x3)) f (x) x3 − x2 = x2 − x1 = 1 AC h a = 2 g(x) = f (x) − x B AC h ln e2 + 1 2e sin(α + π 3 )cos(β + π 6 ) = 1 tan(α − β ) = f (x) f (x) f (x) f (x) 2 C x2 a2 − y2 b2 = 1(a > 0,b > 0) F1 F2 F2 l1 C A B A B |AF2 | = 2 |BF2 | F1 l2 //l1 C E E BE AF1 x = − a2 c n(n ∈ N*, n ≥ 2) 0.5 A n B n n = 3 P(A B) A B n = 3 A BC − A1B1C1 A A1C1C 2 A B = 2 2 ∠BB1A1 = π 4 A A1 ⊥ BC1 A − BC1 − B1 − 2 5 5 BC1 数学试题 第 页（共5页） 3 A B C A1 B1 C1 17．（15分）        已知函数 ， ．   （1）求 的极值；   （2）讨论 的单调性；   （3）若 存在两个极值点 ， （ ），讨论 和 的⼤⼩关系．  18．（17分） 记椭圆 ： 的左，右顶点和左，右焦点分别为 ， ， ， ， 是 上除左 右顶点外⼀点，记 在 处的切线为 ，作直线 交于点 ，作直线 交于点 ，记直线 与 的交点为 ．   （1）求点 的轨迹⽅程；   （2）求 ；   （3）求四边形 ⾯积的最⼤值． 附：椭圆 在点 处的切线为 （ 在椭圆上）． f (x) = x − ln x g(x) = 1 2 e2x−a−1 − ex−1 − aex−a + a x f (x) g(x) g(x) x1 x2 0 < x1 < x2 f (x1) f (x2) E x2 4 + y2 3 = 1 A1 A2 F1 F2 P E P E l A1R1 / / PF1 l R1 A2R2 / / PF2 l R2 A1R1 A2R2 Q Q |Q R1 | A1R1R2 A2 x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) P(m , n) m x a2 + ny b2 = 1 P 数学试题 第 页（共5页） 4 19．（17分） 对于⼀个⾮零整数 和质数 ，我们称 中含的 幂次为 ， 定义为最⼤的⾮负整数 ，使得存在⾮零整数 ，有 ，例如 ， 等等．且补充定义⼀个⾮零 有理数 的 ，如 ， ．且规定 ．现在对于 任意⼀个有理数 ，我们定义其的“ ⽰数”为 ，其中 ，规定 ． 记两个有理数 的“ ⽰数距离”为 ． （1）计算 ， ， ； （2）证明对于⼀个正整数 ，存在⼀列⾮整数的正有理数 使 ； （3）给定质数 ，若⼀个⽆穷集合 中任意⼀数列 ，对于任意 ， ，则我们称集合 是“ —紧致的”．是否存在质数 ，使得整数集是“ —紧致的”？若存在，求 出所有 ；若不存在，请说明理由． n p n p vp(n) vp(n) k m n = pk ⋅ m v2(8) = 3 v3(36) = 2 s t vp( s t ) = vp(s) − vp(t) v2( 1 4 ) = − 2 v5( 250 9 ) = 3 vp(0) = + ∞ s t p | | s t | |p = 1 pu u = vp( s t ) | |0 | |p = 0 x , y p dp(x , y) = | |x − y | |p | |144 | |2 | | 9 128 | |3 d13(9, 11 7 ) α x1, x2 . . . . . . xn 1 > d2(α, x1) > > d2(α, x2) > . . . . . . > d2(α, xn) p A {xn} y ∉ A lim n→∞ dp(xn, y) ≠ 0 A p p p p 数学试题 第 页（共5页） 5 2025届普通⾼中毕业⽣久洵杯七⽉调研测试 参考答案 出卷⼈：久洵 beez 审卷⼈：t 离寒 杨桃 Zing Frozen ⽉⼉兰 Claris 瑾瑜 暄尘 coio 11247 呓⼉ ⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符 合题⽬要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ．解 得 ， ． ，故答案选D．   2．已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 的夹⾓为钝⾓”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 有 ，由 有 ，解得 ， 的取值范围是 ．故则“ ”是“ 与 的夹⾓为钝⾓”的充分不必要条件，故答案选A．   3．已知复数 满⾜ ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 有 ， ， A = {y |y = x2 − 5x + 6} B = {x |x2 − 5x − 6 ≤ 0} A ∩ B = Ø [2,3] [− 1 4 ,3] [− 1 4 ,6] y = x2 − 5x + 6 = (x − 5 2 )2 − 1 4 ≥ − 1 4 ∴ A = [− 1 4 , + ∞) x2 − 5x − 6 ≤ 0 −1 ≤ x ≤ 6 ∴ B = [−1,6] ∴ A ∩ B = [− 1 4 ,6] a = (m , − 1) b = (1,2) m < − 1 2 a b a ⋅ b < 0 m < 2 a = λ b {m = λ−1 = 2λ m = − 12 ∴ m (−∞, − 1 2 ) ∪ (− 1 2 ,2) m < − 1 2 a b z z z + i = 2 + i 4 |z | = 1 4 5 5 2 5 z z + i = 2 + i 4 1 + i z = 4 2 + i = 4(2 − i) (2 + i)(2 − i) = 8 5 − 4i 5 ∴ i z = 3 5 − 4i 5 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 1 ， ，故答案选B．   4．记 的内⾓ ， ， 的对边分别为´ ， ， ，若 ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理得 ，即 ， 或 ．若 ，结合 有 ，故舍去． ． ， ，故答案选D．   5．记抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，则 的最⼩值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点 作 的垂线，垂⾜为 ，则 ，则 ，故答案选B．  6．记 ， 为随机事件，已知 ， ， ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记 ，由全概率公式有 ，带⼊数据有 ，解得 ． ，故答案选D．   7．已知 的部分图象如图所⽰，点 ， ， 是 与坐标 轴的交点，若 是直⾓三⾓形，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】C ∴ z = 5i 3 − 4i = 5i(3 + 4i) (3 − 4i)(3 + 4i) = 3 5 + 4i 5 ∴ |z | = 1 △ A BC A B C a b c a cos C − c cos A = b sin A = 3 − 1 2 1 2 3 2 1 sin A cos C − sin C cos A = sin B sin(A − C ) = sin B ∴ A − C = B A − C + B = π A − C + B = π A + B + C = π C = 0 ∴ A = B + C ∴ A = π 2 ∴ sin A = 1 E : y2 = 4x F A E B(2,1) |AF | + |A B | 2 3 4 5 A x = − 1 D |AF | = |A D | |AF | + |A B | = |A D |+ |A B | ≥ 3 A B P(B) = 1 2 P(B |A) = 1 3 P(B |A ) = 2 3 P(A + B) = 1 3 1 2 7 12 2 3 P(A) = x P(B ) = P(A)P(B |A) + P(A )P(B |A ) 1 2 = 1 3 x + 2 3 (1 − x) x = 1 2 ∴ P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 1 − P(A)P(B |A) = 1 − 1 2 (1 − P(B |A)) = 2 3 f (x) = sin(ωx + φ)(ω > 0,0 < φ < π 2 ) A B C f (x) △ A BC ω sin φ = 2π 3 f ( 3 6 2 ) = 1 2 2 2 3 2 1 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 2 【解析】由正弦函数性质有 ， ， ，由 是直⾓三⾓形可 得 ，结合 有 ， ． ，解得 ， ， ，故答案选 C．   8．已知⾯积为 的锐⾓三⾓形 满⾜ ，将 以 为轴旋转⾄ ， 且 ，则三棱锥 体积的最⼤值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取 中点为 ，则 ， ．过 作 ，垂⾜为 ．记 ， ，则 ， ， ．要使三棱锥 的体积最⼤，则 最⼤． ， ． ，其中 ， 记 ， ， ， 时， ， A(− φ ω ,0) B(0, sin φ) C( π − φ ω ,0) △ A BC A B ⊥ BC BO ⊥ AC |OB |2 = |OA | × |OC | ∴ ( π − φ ω ) φ ω = sin2 φ ∴ (ω sin φ)2 = (π − φ)φ = 2π 9 φ = π 3 ∴ ω = 2 2π 3 3 ∴ f ( 3 6 2 ) = 3 2 3 A BC A B = AC △ A BC BC △ A1BC A1A = BC A1 − A BC 2 2 3 1 3 2 BC D A D ⊥ BC A1D ⊥ BC A1 A1M ⊥ A D D BD = a ∠BA D = θ A D = A1D = a tan θ 3 = a2 tan θ A A1 = BC = 2a A1 − A BC A1M ∴ cos∠A DA1 = A D2 + A1D2 − A A21 2A D × A1D = 1 − 2 tan2 θ sin∠A DA1 = 1 − (1 − 2 tan2 θ )2 = 2 tan2 θ − tan4 θ ∴ A1M = A1D sin∠A DA1 = 2 a2(1 − tan2 θ ) = 2 3(tan θ − tan3 θ ) θ ∈ (0, π 4 ) f (x) = x − x3(0 < x < 1) f ′ (x) = 1 − 3x2 f ′ ( 3 3 ) = 0 x ∈ (0, 3 3 ) f ′ (x) > 0 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 3 A B CO 时， ， ， ， ，故答案选A． ⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分。在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要 求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。   9．⼀组样本数据为 ， ， ， ， ， ， ，则 A．该组数据的极差为 B．该组数据的 分位数为 C．该组数据的平均数为 D．若该组数据去掉⼀个数得到⼀组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 【答案】ACD 【解析】对于A项，极差等于 ，故A正确；对于B项， ，故 分位 数为 ；对于C项，平均数等于 ；故C正确；对于D项， 去掉 后，这两组数据的平均数相等，故D项正确，故答案选ACD． 10．已知 满⾜ ， ，记 的前 项和为 ， 的 前 项和为 ，则下列说法中不⼀定正确的是 A． 是等差数列 B． 的通项公式为 或 C．若 ，则 D．若 ，则 为定值 【答案】AB 【解析】由 因式分解得 ， 或 ．注意到若存在 使得 ，则 ，则对 于C项，只能满⾜ ，累乘得 ， ，当 时也符合， x ∈ ( 3 3 ,1) f ′ (x) < 0 ∴ f (x) ≤ f ( 3 3 ) = 2 3 9 ∴ A1M ≤ 2 3 × 2 3 9 = 2 6 3 ∴ VA1−ABC ≤ 1 3 × 3 × 2 6 3 = 2 2 3 7 12 13 17 18 20 32 25 75 % 19 17 32 − 7 = 25 7 × 75 % = 5.25 75 % 20 7 + 12 + 13 + 17 + 18 + 20 + 32 7 = 17 17 {an} a1 = 1 a2n+1 − (n − 1)anan+1 − n a 2 n = 0 {n an+1} n Tn {Tn} n Sn { an+1 an } {an} an = (n − 1)! an = (−1)n−1 an > 0 Tn = (n + 1)! − 1 anan+1 < 0 S2n a2n+1 − (n − 1)anan+1 − n a 2 n = 0 (an+1 − n an)(an+1 + an) = 0 ∴ an+1 = n an an+1 + an = 0 m ∈ N* am+1 + am = 0 amam+1 < 0 an+1 = n an an+1 = n! ∴ an = (n − 1)!(n ≥ 2) n = 1 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 4 ， ，故C正确，不符合题 意；若 ，则 ，故 ，故 ．奇偶分类讨论有 ，注意到 ，则 为定值 ，故D正确，不符合题意； 对于A，B项，构造数列 ，则该数列满⾜题意且A，B均错误，当 中 的所有项保持同样的递推关系（即同为 或 ），则A，B均正确，故A，B 符合题意，故答案选AB． 11．已知函数 是偶函数，点 ，点 ，点 在 函数 的图象上，且 ，记 边上的⾼为 ，则 A． B．函数 是减函数 C．点 可能在以 为直径的圆上 D． 的最⼤值为 【答案】ABD 【解析】对于A选项，由 是偶函数有 ，则 ，得 ，故A正确；对于B选项， ，由复合函数单 调性判断有 为减函数，故B正确；对于C选项，由B知 ，即 ， 由对称性，可设 ，则 ．若点 在以 为直径的圆上，则有 ，带⼊即 ，即 ．若 ，则 ，不满⾜题意；若 ， ，⽽ ， ，故 不可能在以 为直径的圆上，故C错误；对于D选 项，过点 作 轴的垂线交 于点 ，则 （当且仅当 时取等），⽽ ，记 ，则 ∴ n an+1 = n ⋅ n! = (n + 1 − 1) ⋅ n! = (n + 1)! − n! ∴ Tn = (n + 1)! − 1 anan+1 < 0 an+1 + an = 0 an = (−1)n−1 n an+1 = (−1)nn Tn = − n + 1 2 , n为奇数 n 2 , n为偶数 T2n−1 + T2n = 0 S2n 0 1,1, − 1,1, − 1,1, − 1,... {an} an+1 = n an an+1 + an = 0 f (x) = ln(1 + eax) − x A(x1, f (x1)) B(x2, f (x2)) C(x3, f (x3)) f (x) x3 − x2 = x2 − x1 = 1 AC h a = 2 g(x) = f (x) − x B AC h ln e2 + 1 2e f (x) f (x) = f (−x) ln(1 + eax) − x = ln(1 + e−ax) + x a = 2 g(x) = f (x) − xln(1 + e2x) − 2x = ln(1 + e−2x) g(x) g(x2) > g(x3) f (x3) − f (x2) < 1 x3 > x2 ≥ 0 f (x3) − f (x2) > 0 B AC BA ⋅ BC = 0 ( f (x1) − f (x2))( f (x3) − f (x2)) + (x1 − x2)(x3 − x2) = 0 ( f (x1) − f (x2))( f (x3) − f (x2)) = 1 x3 > x2 > x1 ≥ 0 f (x1) − f (x2) < 0 x3 > x2 > 0 > x1 ≥ − 1 f (x1) − f (x2) ∈ [ln 2 e+ 1 e , ln e+ 1 e 2 ] ln e+ 1 e 2 < 1 ∴( f (x1) − f (x2))( f (x3) − f (x2)) < 1 B AC B x AC D h ≤ A D x2 = 0 A D = f (x2 − 1) + f (x2 + 1) 2 − f (x2) = ln (1 + e2x2−2)(1 + e2x2+2) (1 + e2x2)2 2 ex2 = t 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 5 ，当且仅当 的时候取等， 即 时取等，所以两个不等号能同时取等，故 的最⼤值为 ，故D正确． 故答案选 ABD 三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分。 12．已知 ，则 ________． 【答案】 【解析】由 有 ， 的相位 差为 ，故 ， ， ，故答案为 ． 13．写出⼀个同时具有下列性质的函数 ________． a． 不是常函数； b． 是偶函数； c． 的最⼩正周期为 ； d． 不存在对称中⼼． 【答案】 （满⾜题意即可） 14．已知双曲线 ： 的左，右焦点为 ， ，过 的直线 交 的右⽀ 于点 ， （点 在点 上⽅）， ，过点 作直线 ，交 于点 （点 在 第⼆象限），若直线 与直线 的交点在直线 上，则C的离⼼率为________． 【答案】 【解析】记直线 与直线 的交点为 ，则 ，由对称性有 过坐标原点 且 ．由 有 ， ，又 A D = ln t2 + (e2+ 1 e2 )t + 1 (t + 1)2 2 = ln[1+ (e2+ 1 e2 −2)t (t + 1)2 ] 2 ≤ ln e2 + 1 2e t = 1 x2 = 0 h ln e2 + 1 2e sin(α + π 3 )cos(β + π 6 ) = 1 tan(α − β ) = 3 sin(α + π 3 )cos(β + π 6 ) = 1 sin(α + π 3 )sin(β + 2π 3 ) = 1 ∴α + π 3 与β + 2π 3 2k π (k ∈ Z ) α + π 3 − (β + 2π 3 ) = 2k π (k ∈ Z ) ∴ α − β = π 3 + 2k π (k ∈ Z ) ∴ tan(α − β ) = tan( π 3 + 2k π) = 3(k ∈ Z ) 3 f (x) f (x) f (x) f (x) 2 f (x) |sin( π 2 x) | C x2 a2 − y2 b2 = 1(a > 0,b > 0) F1 F2 F2 l1 C A B A B |AF2 | = 2 |BF2 | F1 l2 //l1 C E E BE AF1 x = − a2 c 21 3 BE AF1 P xP = − a2 c BE O |EF1 | = |BF2 | l1//l2 △ EF1P ∽ △ BA P ∴ |EF1 | |A B | = |EP | |BP | = 1 3 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 6 ， ， ， ， ， ，即 ， ，在 中， ， 在 中， ，解得 ，故答案为 ． 四、解答题：本题共5⼩题，共 77 分。解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 投掷⼀枚硬币 次，正⾯向上与反⾯向上的概率均为 ，记事件 为“ 次抛 掷中既有正⾯向上也有反⾯向上”， 为“ 次抛掷中⾄多⼀次正⾯向上”． （1）若 ，求 ； （2）证明：事件 ， 相互独⽴的充要条件为 ． 【解析】 （1）记 为 次投掷中硬币正⾯朝上的次数，则 ， ； （2） ， ， ．充分性：当 时，带⼊有 ， ， 此时 ， 充分性成⽴；必要性：由 有 ， 记 ， ， ，等号当且仅当 时成⽴， 时， 单调递增， 必要性成⽴．综上所述，事件 ， 相互独⽴的充要条件为 ． ∵ |EO | = |BO | ∴ |EP | = |OP | ∴ xE = 2xP = − 2a2 c ∴ |EF1 | = a |AF2 | = 2a |AF1 | = 4a |BF1 | = 3a |BF2 | = a △ A BF1 cos∠F1A B = 16a2 + 9a2 − 9a2 2 × 4a × 3a △ AF1F2 cos∠F1A B = 16a2 + 4a2 − 4c2 2 × 4a × 2a e = 21 3 21 3 n(n ∈ N*, n ≥ 2) 0.5 A n B n n = 3 P(A B) A B n = 3 X n X ∼ B(n , 1 2 ) P(A B) = P(X = 1) = C1n( 1 2 )1( 1 2 )n−1 = 3 8 P(A B) = P(X = 1) = n 2n P(A) = 1 − P(X = 0) − P(X = n) = 1 − 1 2n−1 P(B) = P(X = 0) + P(X = 1) = n + 1 2n n = 3 P(A) = 3 4 P(B) = 1 2 P(A B) = P(A)P(B) ∴ P(A B) = P(A)P(B) 2n−1 − n − 1 = 0 an = 2n−1 − n − 1 a3 = 0 an+1 − an = 2n−1 − 1 ≥ 0 n = 1 ∴n ≥ 2 {an} ∴ A B n = 3 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 7 16．（15分）        如图，三棱柱 中，侧⾯ 是边长为 的正⽅形， ， ．   （1）证明： ；   （2）若⼆⾯⾓ 的余弦值为 ，求 的值． 【解析】 （1） 侧⾯ 是边长为 的正⽅形， ， ， ． 侧⾯ 是平⾏四边形， ．在 中，由余弦定理有 ，解得 ， 是直⾓三⾓形， ． ， ， 平⾯ ， 平⾯ ，又 平⾯ ， ． （2）取 的中点，记为 ，连接 ， ． ， ， ， ． ， ， 平⾯ ， 平⾯ ， 为⼆⾯⾓ 的平⾯⾓．又 平⾯ ， ， 平⾯ ，记⼆⾯⾓ 为 ，则 ， ， ， ． 平⾯ ， ， ， ， ， 的值为 ． A BC − A1B1C1 A A1C1C 2 A B = 2 2 ∠BB1A1 = π 4 A A1 ⊥ BC1 A − BC1 − B1 − 2 5 5 BC1 ∵ ACC1A1 2 ∴A A1 ⊥ A1C1 A A1 = A1C1 = 2 AC1 = 2 ∵ A A1B1B ∴∠BB1A1 = ∠BA A1 = π 4 △ BA A1 A A21 + A B 2 − A1B2 = 2A A1 ⋅ A B cos∠BA A1 A1B = 2 ∴ △ A A1B ∴A A1 ⊥ A1B ∵A1B ∩ A1C1 = A1 A1B A1C1 ⊂ A1BC1 ∴A A1 ⊥ A1BC1 ∵BC1 ⊂ A1BC1 ∴A A1 ⊥ BC1 BC1 D A D A1D ∵A B = AC1 = 2 2 A1B = A1C1 = 2 ∴A D ⊥ BC1 A1D ⊥ BC1 ∵A D ∩ A1D = D A D A1D ⊂ A DA1 ∴BC1 ⊥ A DA1 ∴∠A DA1 A − BC1 − A1 ∵A A1 ⊥ A1BC1 A A1 / / BB1 ∴BB1 ⊥ A1BC1 A − BC1 − B1 θ θ = π 2 + ∠A DA1 ∴cos θ = − sin∠A DA1 ∴sin∠A DA1 = 2 5 5 ∴tan∠A DA1 = 2 ∵A1D ⊂ A1BC1 ∴A A1 ⊥ A1D ∴ A A1 A1D = 2 ∴A1D = 1 BC1 = 2BD = 2 3 ∴BC1 2 3 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 8 A B C A1 B1 C1 D 17．（15分）        已知函数 ， ．   （1）求 的极值；   （2）讨论 的单调性；   （3）若 存在两个极值点 ， （ ），讨论 和 的⼤⼩关系． 【解析】 （1） ， 时， ， 时， ， 在 上单调递 减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取到极⼩值 ，没有极⼤值． （2） 情形⼀ 若 ，则 ， ， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增； 情形⼆ 若 ，由（1）知 ， 时取等， ，此时 ， ， 单调递增； 情形三 若 ，则 ， 时， ， 单调递 减； 和 时， ， 单调递增． 综上所述，若 ， 时， 单调递减， 时， 单调递增；若 ， 单调递增；若 ， 时， 单调递减； 和 时， 单调递增． （3）由（2）知，只能是 ， ，由 有 且 ， 时， ， 在 上单调递减可知 ； 时， ， 在 上单调递增可知 ． 综上所述， 时， ； 时， ．   f (x) = x − ln x g(x) = 1 2 e2x−a−1 − ex−1 − aex−a + a x f (x) g(x) g(x) x1 x2 0 < x1 < x2 f (x1) f (x2) f ′ (x) = 1 − 1 x x ∈ (0,1) f ′ (x) < 0 x ∈ (1, + ∞) f ′ (x) > 0 ∴f (x) (0,1) (1, + ∞) ∴f (x) (0,1) (1, + ∞) ∴ f (x) x = 1 f (1) = 1 g′ (x) = e2x−a−1 − aex−a − ex−1 + a = (ex−a − 1)(ex−1 − a) a ≤ 0 ex−1 − a > 0 g′ (a) = 0 x ∈ (−∞, a) g′ (x) < 0 g(x) x ∈ (a , + ∞) g′ (x) > 0 g(x) a = 1 x − ln x ≥ 1 x = 1 g′ (a) = g′ (ln a + 1) = 0 a = ln a + 1 = 1 g′ (x) ≥ 0 ∴g(x) a ∈ (0,1) ∪ (1, + ∞) a > ln a + 1 x ∈ (ln a + 1,a) g′ (x) < 0 g(x) x ∈ (−∞, ln a + 1) x ∈ (a , + ∞) g′ (x) > 0 g(x) a ≤ 0 x ∈ (−∞, a) g(x) x ∈ (a , + ∞) g(x) a = 1 g(x) a ∈ (0,1) ∪ (1, + ∞) x ∈ (ln a + 1,a) g(x) x ∈ (−∞, ln a + 1) x ∈ (a , + ∞) g(x) x1 = ln a + 1 x2 = a x2 > x1 > 0 a > 1 e a ≠ 1 a ∈ ( 1 e ,1) x1, x2 ∈ (0,1) f (x) (0,1) f (x1) > f (x2) a ∈ (1, + ∞) x1, x2 > 1 f (x) (1, + ∞) f (x1) < f (x2) a ∈ ( 1 e ,1) f (x1) > f (x2) a ∈ (1, + ∞) f (x1) < f (x2) 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 9 18．（17分） 记椭圆 ： 的左，右顶点和左，右焦点分别为 ， ， ， ， 是 上除左 右顶点外⼀点，记 在 处的切线为 ，作直线 交 于点 ，作直线 交 于点 ，记直线 与 的交点为 ．   （1）求点 的轨迹⽅程；   （2）求 ；   （3）求四边形 ⾯积的最⼤值． 附：椭圆 在点 处的切线为 （ 在椭圆上）． 【解析】 （1）设点 ，则 ，由题知，直线 的⽅程为 ，直线 的⽅ 程为 ，联⽴直线 和 的⽅程有 ， 点 的轨迹⽅程为 ． （2） ，同理可得 ， ， ，由对称性，可设 ， 时，则 ， ： ；所以 ，此时 ； 时，由对称 性可设 ，设与 轴交于点 ，则 由初中⼏何有， ，带⼊有 ，此时 ．综上所述， ． （3）由（2）同理可证明 ，记四边形 ， ， 的⾯积分别 为 ， ， ，则 ，由前⾯知， ， ，当且仅当 E x2 4 + y2 3 = 1 A1 A2 F1 F2 P E P E l A1R1 / / PF1 l R1 A2R2 / / PF2 l R2 A1R1 A2R2 Q Q |Q R1 | A1R1R2 A2 x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) P(m , n) m x a2 + ny b2 = 1 P P(x0, y0) x0 ≠ ± 2 A1R1 x = x0 + 1 y0 y − 2 A2R2 x = x0 − 1 y0 y + 2 A1R1 A2R2 Q(2x0,2y0) ∴ Q x2 16 + y2 12 = 1(x ≠ ± 4) |PF1 | = (x0 + 1)2 + y20 = x 2 0 + 2x0 + 1 + 3 − 3 4 x 20 = 1 2 (x0 + 4) |PF2 | = 1 2 (4 − x0) |Q A1 | = 4 + x0 |Q A2 | = 4 − x0 y0 > 0 x0 = 0 Q(0,2 3) A1Q y = 3x + 2 3 R1(−1, 3) |Q R1 | = 2 x0 ≠ 0 x0 > 0 l x M M( 4 x0 ,0) |PF1 | |A1R1 | = |MF1 | |M A1 | |A1R1 | = 2 + x0 |Q R1 | = 2 |Q R1 | = 2 |Q R2 | = 2 A1R1R2 A2 △ Q A1A2 △ Q R1R2 S0 S1 S2 S0 = S1 − S2 = 1 2 ( |Q A1 | |Q A2 | − |Q R1 | |Q R2 | )sin∠A1Q A2 S0 = 1 2 ( |Q A1 | |Q A2 | − 4)sin∠A1R A2 |Q A1 | |Q A2 | ≤ ( |Q A1 | + |Q A2 | )2 4 = 16 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 10 时取等；在 中，有 ，带⼊数据有 ， ，当且仅当 时取等， ，当且仅当 时取等．综上所述，四边形 ⾯积的最⼤值为 ． x0 = 0 △ Q A1A2 cos∠A1Q A2 = |A1Q | 2 + |A2Q | 2 − |A1A2 | 2 2 |A1Q | |A2Q | cos A1Q A2 = 24 16 − x20 − 1 ≥ 1 2 ∴ sin∠A1Q A2 ≤ 3 2 x0 = 0 ∴ S0 = 1 2 ( |Q A1 | |Q A2 | − 4)sin∠A1Q A2 ≤ 3 3 x0 = 0 A1R1R2 A2 3 3 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 11 19．（17分） 对于⼀个⾮零整数 和质数 ，我们称 中含的 幂次为 ， 定义为最⼤的⾮负整数 ，使得存在⾮零整数 ，有 ，例如 ， 等等．且补充定义⼀个⾮零 有理数 的 ，如 ， ．且规定 ．现在对于 任意⼀个有理数 ，我们定义其的“ ⽰数”为 ，其中 ，规定 ． 记两个有理数 的“ ⽰数距离”为 ． （1）计算 ， ， ； （2）证明对于⼀个正整数 ，存在⼀列⾮整数的正有理数 使 ； （3）给定质数 ，若⼀个⽆穷集合 中任意⼀数列 ，对于任意 ， ，则我们称集合 是“ —紧致的”．是否存在质数 ，使得整数集是“ —紧致的”？若存在，求 出所有 ；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）计算知 ， ， ． （2）我们取 ，则 为⾮整数的正有理数， ， 故 成⽴． （3）取 ， ，则 ， ，故 ，⽽ ，所以不存在质数 ，使得整数集是“ —紧致的” ． n p n p vp(n) vp(n) k m n = pk ⋅ m v2(8) = 3 v3(36) = 2 s t vp( s t ) = vp(s) − vp(t) v2( 1 4 ) = − 2 v5( 250 9 ) = 3 vp(0) = + ∞ s t p | | s t | |p = 1 pu u = vp( s t ) | |0 | |p = 0 x , y p dp(x , y) = | |x − y | |p | |144 | |2 | | 9 128 | |3 d13(9, 11 7 ) α x1, x2 . . . . . . xn 1 > d2(α, x1) > > d2(α, x2) > . . . . . . > d2(α, xn) p A {xn} y ∉ A lim n→∞ dp(xn, y) ≠ 0 A p p p p | |144 | |2 = 1 16 | | 9 128 | |3 = 1 9 d13(9, 11 7 ) = 1 13 xi = α+ 2i 3 xi d2(α, xi) = | |α − xi | |2 = | | 2n 3 | |2 = 1 2n 1 > d2(α, x1) > d2(α, x2) > . . . . . . > d2(α, xn) xi = p2i − 1 p + 1 y = − 1 p + 1 y ∉ Z xi = (p2i − 1)(p − 1) p2 − 1 = (p − 1)(p2i−2 + p2i−4 + . . . . . . + p2 + 1) xi ∈ Z lim n→+∞ dp(xn, y) = lim n→+∞ | |xn − y | |p = limn→+∞ | | p2n p + 1 | | = lim n→+∞ 1 p2n = 0 p p 久洵杯参考答案 第 页（共12页） 12