精品解析：辽宁省葫芦岛市东北师范大学连山实验高中2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

东北师范大学连山实验高中2023-2024学年度下学期朝中考试 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第I卷（进择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班叙填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，进出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答聚标号涂黑．如需改动，用粮皮擦干净后，再进涂其他答案标号．写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无放. 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只蒋一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得. 【详解】在数列中，由，，得，，， 因此数列是周期性数列，周期为3， 所以. 故选：A 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，令运算即可. 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故选：B. 3. 随机变量，函数没有零点的概率是，则μ的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数没有零点，求得，结合题意可得出，继而由正态分布的对称性，可得答案. 【详解】由函数没有零点，得， 函数没有零点的概率是，即, 结合，可知， 故选：D 4. 设是数列的前项和，,，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的运算性质可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用等比数列求和公式可求得的值. 【详解】因为是数列的前项和，，， 所以，，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为， 则，解得. 故选：A. 5. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设，定义域为： 对求导可得： 令 解得：（其中舍去） 当时，，则此时该点到直线的距离为最小 根据点到直线的距离公式可得： 解得： 故选：A 6. 中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，， 则第层的小球个数： ． 故选：. 7. 已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极小值点，可得出，再利用诱导公式可求得的值. 【详解】因为，则， 由，即，可得， 由，即，可得， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数的极小值点为， 将函数所有极小值点从小到大排列成数列， 则，，易知数列为等差数列， 且数列的公差为，则， 因此，. 故选：D . 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，，，令，利用导数说明函数的单调性，结合函数的单调性比较大小. 【详解】依题意可得，，， 设，则，当时，，单调递减， 又，所以，即，即. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 在区间上是增函数 B. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 C. 是的极大值点 D. 是的极小值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解. 【详解】根据图象知，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当时，取得是极大值，是的极大值点，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确. 故选：BCD. 10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D. 【详解】A：由，得， 由，得，所以，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B错误； C：因为，，，所以数列是递减数列， 其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； D：由选项A的分析知，，，， 所以，且，即，所以，故D正确. 故选：CD 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数只有极大值没有极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】由，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B错误；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确； 对于B中，由， 令时，可得，当时，或， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B错误； 对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是， 可得函数的大致图象， 所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误. 故选：BD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数值恒大于或等于0来研究原函数单调性，即可解决问题. 【详解】由得：， 因为在区间上单调递增，所以， 即，又因为，所以， 即， 故答案为：. 13. 已知变量y关于x的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与x线性相关，现有一组数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 则当时，预测y的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】取对数后分别计算，代入线性回归方程，求出，最后计算时的结果即可. 【详解】对两边取对数，得，令，则． x 1 2 3 4 5 y z 1 3 4 6 7 ，， 代入得故． 故，． 当时，． 故答案为：． 14. 已知，对于数列，有，若存在常数使得对于任意的，都有，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，所以为单调递增函数，由，得到，根据题意得到，根据题意转化为在上有解，令，求得，得到函数的单调区间和极大值，即可求解. 【详解】解：因为函数，可得，所以为单调递增函数， 由，可得， 因为对于任意的，都有且，所以， 要使得存在常数 使得对于任意的，都有， 则满足在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，即为最大值， 要使得在上有解，可得， 即实数的取值范围. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解； （2）由（1）可知，，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意，得 解得或（舍） ∴ ； 【小问2详解】 ，， 此时； ， ， ， ， 所以. 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程； （2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解. 【小问1详解】 ，，， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 17. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500名老年人，结果如下表所示： 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例． （2）能否有的把握认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助的情况与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2） 有 （3）能，理由如下： 由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关， 并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异， 因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例， 再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算可得答案； （2）求出可得答案； （3）由（2）的结论知，把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好. 【小问1详解】 在所调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助， 因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为； 【小问2详解】 ．由于， 所以有的把握认为该地区的老年人需要帮助的情况与性别有关； 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，若存在零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，分和讨论与的大小，即可得出函数的单调性； （2）将题意转化为方程有实数根，令，对求导，得出的单调性与最值，即可得出答案. 【小问1详解】 由， 当时，，函数在上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 令，得， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值， 因为存在零点，即方程有实数根， 所以． 即实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于将题意转化为方程有实数根，令，即与的图象有交点，对求导，得出的单调性与最值，即可得出答案. 19. 雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下： 将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②； 将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③； …… 按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Koch snowflake）． 现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设a1＝1，并作了如下探究： P1 P2 P3 P4 … Pn 边数 3 12 48 192 … 从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数 3 12 48 … 从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积 … 根据小明的假设与思路，解答下列问题． （1）填写表格最后一列，并写出与的关系式； （2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式； （3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于． 参考数据（，） 【答案】（1）填表见解析； （2） （3）第7个 【解析】 【分析】（1）根据题中数据的规律及等比数列的通项公式填写表格最后一列，进而得出与的关系式； （2）利用累加法求解； （3）由题意，利用指数函数的性质及对数的运算性质求解． 【小问1详解】 图形、、…、、…的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形的边数为； 从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列，则比前一个图形多出的三角形的个数为； 从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，为公比的等比数列，则比前一个图形多出的每一个三角形的面积是． P1 P2 P3 P4 … Pn 边数 3 12 48 192 … 从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数 3 12 48 … 从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积 … 所以，即． 【小问2详解】 当时， ， 又因为，符合上式， 所以． 【小问3详解】 由，得，则， 所以，故， 由，，故，又因为，所以， 所以从第7个图形开始雪花曲线所围成的面积大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学连山实验高中2023-2024学年度下学期朝中考试 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第I卷（进择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班叙填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，进出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答聚标号涂黑．如需改动，用粮皮擦干净后，再进涂其他答案标号．写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无放. 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只蒋一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 随机变量，函数没有零点的概率是，则μ的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设是数列的前项和，,，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 在区间上是增函数 B. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 C. 是的极大值点 D. 是的极小值点 10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 中最大 D. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数只有极大值没有极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______． 13. 已知变量y关于x的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与x线性相关，现有一组数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 则当时，预测y的值为____________． 14. 已知，对于数列，有，若存在常数使得对于任意的，都有，则a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 17. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500名老年人，结果如下表所示： 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例． （2）能否有的把握认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助的情况与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，若存在零点，求实数的取值范围． 19. 雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下： 将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②； 将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③； …… 按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Koch snowflake）． 现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设a1＝1，并作了如下探究： P1 P2 P3 P4 … Pn 边数 3 12 48 192 … 从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数 3 12 48 … 从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积 … 根据小明的假设与思路，解答下列问题． （1）填写表格最后一列，并写出与的关系式； （2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式； （3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于． 参考数据（，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $