精品解析：山东省济宁市邹城市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

邹城一中高一下学期5月份月考 数学试题 2024.05 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 2. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 直角梯形中，，现采用斜二测画法，若平面直角坐标系的x轴平行于上、下底边，则直角梯形的直观图的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 6. 如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是（） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为 D. 过点、、的平面截正方体所得的截面周长为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D. 为纯虚数 10. 在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则是在的投影向量 D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 11. 如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面与棱交于点F，下列命题中真命题是（ ） A. 四棱锥的体积恒为定值； B. 四边形是平行四边形； C. 当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点E至少有两个； D. 若，则P、B、Q三点共线． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设为实数，若向量，，且与共线，则__________. 13. 已知的内角，，的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为______. 14. 意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，C、D为半圆弧上的点，，阴影部分为弦与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．该几何体的体积为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示； （2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值. 16. 已知复数，． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 17. 某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20． （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 18. 已知顶点在单位圆上的，角所对的边分别是，，，且． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：平面PCG∥平面AEF； （3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邹城一中高一下学期5月份月考 数学试题 2024.05 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算及复数模的计算公式即可求解. 【详解】, 所以. 故选：C. 2. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析题意，利用三角形内角和定理求A，再用正弦定理求边长即可. 【详解】易知，由正弦定理得， 化简得. 故选：B 3. 直角梯形中，，现采用斜二测画法，若平面直角坐标系的x轴平行于上、下底边，则直角梯形的直观图的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由原图与直观图的关系即可求解. 【详解】 如图，由直观图的画法可知直角梯形的直观图是梯形，且高为， 所以梯形的面积为. 故选：C. 4. 如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先表示出，联立，反解出即可 【详解】点分别为的中点， ， ， ， ， ， 故选：C 5. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解. 【详解】因为，则， 因为，则，所以，则， 又因为，，则， 则，即， 即，又因为，则， 所以，即. 即一定是等边三角形，故D正确. 故选：D. 6. 如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，证明出，所以，与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求，推导出，即可计算出的正弦值，即为所求. 【详解】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，如下图所示： 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 又因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则且， 又因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求． 在中，，，． 因为，所以为直角三角形，且， 所以． 故选：B． 7. 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径,利用勾股定理可求得球的半径,再利用球的体积公式即可求得结果. 【详解】由题意可得,球心到截面圆所在的平面的距离, 设截面圆的半径为,球的半径为,则解得, 所以, 所以该球的体积为, 故选：A 8. 在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为 D. 过点、、的平面截正方体所得的截面周长为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：转化为长方体的外接球分析运算；对于B：根据异面直线夹角分析运算；对于C：根据面面平行分析判断；对于D：根据平行关系求截面，进而可得周长. 【详解】对于A：三棱锥的外接球即为以、、为邻边的长方体的外接球， 因为，， 可得外接球的半径， 所以外接球的表面积，故A正确； 对于B：因为，则异面直线与所成角为，且，， 可得，所以， 所以，异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：取、、的中点、、，连接、、、，， 由题意可得：，，则为平行四边形，所以， 因为四边形为正方形，、分别为、的中点，则，， 所以，四边形为平行四边形，所以，，， 又因为，，可得，， 则为平行四边形，所以，可得， 因为平面，平面，则平面， 因为，，则四边形为平行四边形，则， 因为、分别为、的中点，则，同理可得，则，可得， 因为平面，平面，则平面， 因为，、平面，所以平面平面， 则点P在线段上，可得， ， 所以当点P为线段的中点时，， 取到最小值，且最小值为，故C正确； 对于D：连接、， 因为、为、的中点，则， 又因为，，则为平行四边形，可得， 则， 过作，设，，则， 可得，， 连接、，设，，连接、， 可得过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为，则，， 可得，，， 所以截面周长为，故D错误； 故选：D. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D. 为纯虚数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项. 【详解】对A，，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第象限，故A错误； 对B，根据复数模的公式，，故B正确； 对C，，而，故C错误； 对D，，，故D正确. 故选：BD. 10. 在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则是在的投影向量 D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对选项A，B，用平面向量的加减法即可；对C，首先根据已知得到AD为的平分线，即，再利用平面向量投影的概念判断即可；对D，首先根据A，P，D三点共线，设，再根据已知得到，从而得到，再利用二次函数的性质即可. 【详解】 如图所示：对选项A，， 故A错误； 对选项B， ， 故B正确； 对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量， 由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量. 因为， 所以为的平分线， 又因为为的中线，所以， 如上图所示：在的投影为， 所以是在的投影向量，故选项C正确； 对选项D， 如上图所示： 因为在上，即三点共线， 设，. 又因为，所以. 因为，则，. 令， 当时，取得最大值为.故选项D正确； 故选：BCD 11. 如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面与棱交于点F，下列命题中真命题是（ ） A. 四棱锥的体积恒为定值； B. 四边形是平行四边形； C. 当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点E至少有两个； D. 若，则P、B、Q三点共线． 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用割补法判断四棱锥的体积是否为定值，即可判断A；利用面面平行性质定理证明四边形是平行四边形，即可判断B；利用侧面展开图求得截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点个数，即可判断C；利用两平面有且仅有1条通过其公共点的直线证明、、三点共线，即可判断D. 【详解】对于D：四棱锥的体积等于三棱锥的体积与三棱锥的体积之和， 又长方体中，平面，平面， 则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 所以三棱锥的体积与三棱锥的体积为定值， 所以四棱锥的体积恒为定值，故A正确； 对于B：由平面与棱交于点， 可得平面平面，平面平面， 又平面平面，则； 又平面平面，平面平面， 又平面平面，则， 所以四边形是平行四边形，故B正确； 对于C：由B可得，截面四边形是平行四边形， 当的值最小时，四边形的周长取得最小值， 将侧面与侧面展开在同一平面（如下平面图形所示）， 当且仅当为直线与交点时的值最小， 则当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点仅有1个，故C错误； 对于D：直线与直线交于点，直线与直线交于点， 则、、三点均为平面与平面的公共点， 由平面与平面有且仅有一条交线可得、、三点共线，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设为实数，若向量，，且与共线，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标公式，可得答案. 【详解】，，与共线， 则，则. 故答案为：. 13. 已知的内角，，的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为______. 【答案】6 【解析】 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【详解】∵，∴ ∴，∴ ∴ ∵，∴， ∵ ∴，∵，， 又， ∴是边长为2的等边三角形， ∴的周长为6. 故答案为：6 14. 意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，C、D为半圆弧上的点，，阴影部分为弦与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．该几何体的体积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，分别过、作的垂线，垂足分别为、，分析可知该几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积，计算出圆锥的底面半径和高、圆柱的底面半径和高，利用球体、锥体以及柱体的体积公式可求得该几何体的体积. 【详解】连接，则，分别过、作的垂线，垂足分别为、． 因为，则， 因为，则，，． 同理，，，则， 因为，，，则四边形为矩形，故， 所以，该几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积， 故该几何体的体积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示； （2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标； （2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值． 【详解】（1）设，由，可得， 由题意可得，解得或. 因此，或； （2）， 化简得， 即，解得 16. 已知复数，． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由复数的类型得到方程和不等式，得到m的值； （2）由题意得到方程，求出m的值； （3）由复数对应的点所在象限得到不等式组，求出m的取值范围. 【小问1详解】 若z是纯虚数，则， ∴，则m的值为1； 【小问2详解】 若z在复平面内对应的点在直线上， 则，解得 【小问3详解】 若z在复平面内对应的点在第四象限，则， ∴，则m的取值范围为． 17. 某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20． （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合圆锥和圆柱的体积公式，即可求解； （2）根据题意，求得该组合体的表面积，结合题意，即可求解. 【小问1详解】 设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 则，可得，且， 所以笼具的体积. 【小问2详解】 圆柱的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的侧面积为， 故笼具的表面积． 故制造50个这样的笼具总造价为：元， 答：这种笼具的体积约为，生产50个笼具需要元． 18. 已知顶点在单位圆上的，角所对的边分别是，，，且． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，化为三角函数，利用两角和正弦定理求解； （2）根据正弦定理化为三角函数，利用辅助角公式化简三角函数求求其值域即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 所以． 因为，且，所以． 【小问2详解】 由，,得， 由，得，， 所以 ． 因为，所以，即， 所以． 19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：平面PCG∥平面AEF； （3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由． 【答案】（1）∵E、F分别是BC，BP中点，∴， ∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC． （2）∵E、G分别是BC、AD中点，∴AE∥CG， ∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AE∥平面PCG， 又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG， ∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF， ∴平面AEF∥平面PCG． （3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点， ∴， ∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC， ∴FN∥平面PGC， 即N点为所找的H点． 【解析】 【分析】（1）证明，EF∥平面PAC即得证；（2）证明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得证；（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，证明N点为所找的H点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $