精品解析：吉林省吉林市第七中学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学学科期末教学质量调研试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥4 B. x≠4 C. x＜4 D. x＞4 2. 下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（　　） A. 2，3，4 B. ，2， C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 若等式□成立，则□内的运算符号是（ ） A. B. C. D. 4. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. y的值随x值的增大而增大 B. 其图象经过第二、三、四象限 C. 其图象与x轴的交点为 D. 其图象必经过点 5. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接．若，则的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 3 D. 6 6. 若三个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 比较大小：______6． 8. 对于正比例函数，当时，y的最大值等于 _______． 9. 我市6月10日端午节举办的国际龙舟邀请赛中，甲乙两队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是______队． 10. 如图，在一个矩形中放入面积分别为和的两张正方形纸片，两张正方形纸片不重叠，则图中阴影部分的面积为______． 11. 我市某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某志愿者笔试，试讲，面试三轮测试得分分别是90分，94分，92分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为______分． 12. 将一副三角板在平行四边形中按如图所示位置摆放，如果，那么的度数是_________ 13. 如图，在矩形纸片中，，，E为边上一点，将矩形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，若设的长为x，则可列方程为______． 14. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点A，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 为丰富校园生活，某校举办了数学竞赛活动．李老师经调查，选择每个35元的A奖品作为一等奖，每个30元的B奖品作为二等奖．若本次比赛共需购进A、B两种奖品100个，且一等奖奖品的个数超过二等奖奖品个数的一半，请你帮李老师设计花费最小的购买方案，并求出最小花费． 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中画一个三边都为无理数的直角，并写出斜边长为______． （2）在图②中画线段，点E在边上，点F在边上，且． （3）在图③中的线段上找一点O，使． 20. 如图，在四边形中，，，，平分∠BAC交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，则的长为______． 21. 如图，阅读与思考：在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题．现我们对函数（x的取值范围为任意实数）进行探究． x … 0 1 2 3 … … 3 1 0 1 2 4 … （1）请将表格补充完整． （2）请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数图象的性质：______． （3）请在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象，并直接写出不等式的解集． 22. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所点百分比 A 88 b 96 45% B 88 87．5 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 小亮在学习物理后了解到：在弹性限度内，弹簧测力计的拉力与其弹簧长度存在一次函数关系，他想通过实验来验证该结论，他通过悬挂不同质量的物体后，测量对应的弹簧长度，并将所得的几组数据制成如下表格，其中拉力读数为，弹簧长度为． 1 2 3 4 5 … 3.6 5.2 6.8 8.4 10.0 … （1）观察表格中数据的变化规律，在弹性限度内，拉力增加弹簧的长度______（填“增加”或“减少”）； （2）根据表格数据求出y与x之间的函数关系式； （3）若小亮第6次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第7次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，若，则______． 24. 【感知】如图①，四边形均为正方形，由，可知：． 【拓展】如图②，四边形均为菱形，且．求证：． 【应用】如图③，四边形均为菱形，点E在边上，点G在延长线上．若，，的面积是12，则菱形的面积为______． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图①，在中，，．M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，当动点P到达C点时，运动停止．连接，，设运动时间为． （1）当点P在上时，______cm（用含x的式子表示）； （2）设的面积为S，当时，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当为以为腰的等腰三角形时，______； （4）如图②，点Q，N分别为，的中点，连接，，，得到，则周长的最小值为______． 26. 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求n、k的值； （2）已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； （3）如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科期末教学质量调研试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥4 B. x≠4 C. x＜4 D. x＞4 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴x﹣4≥0， ∴x≥4． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数得出不等式． 2. 下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（　　） A. 2，3，4 B. ，2， C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理依次判断各选项，即可进行解答． 【详解】解：A、∵，∴不能组成直角三角形，故A不符合题意； B、∵，∴不能组成直角三角形，故B不符合题意； C、∵，∴能组成直角三角形，故C符合题意； D、∵，∴不能组成直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 3. 若等式□成立，则□内的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别用加、减、乘、除，结果为4的即为正确答案． 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的加、减、乘、除运算．二次根式进行加减运算时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；二次根式的乘除运算，要记住相应的运算法则：，． 4. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. y的值随x值的增大而增大 B. 其图象经过第二、三、四象限 C. 其图象与x轴的交点为 D. 其图象必经过点 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数的性质进行分析即可得出答案． 【详解】解：A、∵k＝−2＜0， ∴y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意； B、∵k＝−2＜0，b＝6＞0， ∴函数y＝−2x＋2的图象经过第一、二、四象限，该选项不符合题意； C、当x＝0时，y＝−2×0＋6＝6， ∴函数y＝−2x＋6的图象经过点（0，6），其图象与y轴的交点为 (0,6),该选项不符合题意； D、当x＝2时，y＝−2×2＋6＝2， ∴函数y＝−2x＋6的图象经过点（2，2），该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 5. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接．若，则的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，掌握直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴点D是的中点， ∴， 故选B． 6. 若三个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中位数和算术平均数，根据平均数和中位数的定义计算即可. 【详解】解：∵个正数的平均数是， ， 的平均数为， 把数据从大到小排列为， ∴中位数为 故选： B. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 比较大小：______6． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的大小比较，先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8. 对于正比例函数，当时，y的最大值等于 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出函数的增减性，然后根据函数的增减性求最值即可． 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，． 故答案为：12． 9. 我市6月10日端午节举办的国际龙舟邀请赛中，甲乙两队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是______队． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查折线统计图以及方差，关键是掌握方差的意义，根据波动情况进行判断即可． 【详解】解：看甲、乙两队队员的身高哪个更整齐，主要是看两组数据的波动大小， 根据折线统计图可知，甲队的波动小，乙队的波动大，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是甲． 故答案为：甲． 10. 如图，在一个矩形中放入面积分别为和的两张正方形纸片，两张正方形纸片不重叠，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，分别得出两个正方形的边长，进而即可求解． 【详解】解：解：依题意，两个正方形的边长分别为：和， 则阴影部分的面积为， 故答案为：． 11. 我市某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某志愿者笔试，试讲，面试三轮测试得分分别是90分，94分，92分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，每个得分乘以对应的权并求和即可． 【详解】解：由题意可得，（分） 故答案为： 12. 将一副三角板在平行四边形中按如图所示位置摆放，如果，那么的度数是_________ 【答案】75度## 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质与平行线性质的综合运用，解题关键是作辅助线构造平行关系，利用平行线性质和三角板角度计算角度． 过点作，利用平行线的性质，结合三角板已知角度，逐步推导求出答案． 【详解】解析：如图，过点作，     ， 由题意得∶， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在矩形纸片中，，，E为边上一点，将矩形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，若设的长为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，矩形与折叠问题，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，先由勾股定理得到，则，设，则，再由勾股定理建立方程，即可得到答案． 【详解】解：由矩形的性质可得，， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为： 14. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点A，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键． 由已知条件得到，，根据勾股定理得到，再根据的长度进而即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，， ， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简二次根式后，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式展开计算即可． 【详解】解： 17. 为丰富校园生活，某校举办了数学竞赛活动．李老师经调查，选择每个35元的A奖品作为一等奖，每个30元的B奖品作为二等奖．若本次比赛共需购进A、B两种奖品100个，且一等奖奖品的个数超过二等奖奖品个数的一半，请你帮李老师设计花费最小的购买方案，并求出最小花费． 【答案】购买种奖品个，B奖品个，花费最小为元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，不等式的应用，设购买A种奖品m个，总费用为w元，，先求出，再由一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，求出，据此利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设购买种奖品个，总费用为元， 则， 又∵一等奖奖品的个数超过二等奖奖品个数的一半， ∴， 解得：， ∵，， ∴w随m的增大而增大， 当时，w最小，最小值为元， 这时李老师购买种奖品个，B奖品个，花费最小为元． 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】略 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中画一个三边都为无理数的直角，并写出斜边长为______． （2）在图②中画线段，点E在边上，点F在边上，且． （3）在图③中的线段上找一点O，使． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图，线段即为所求， （3） 如图所示，点O即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、矩形的性质等知识． （1）根据勾股定理及其逆定理正确作图即可； （2）利用矩形的性质和三角形的中位线定理找到线段即可； （3）利用矩形的性质找到O即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形，满足要求，斜边的长为； 故答案为：； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 20. 如图，在四边形中，，，，平分∠BAC交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，则的长为______． 【答案】（1） 证明： ∵， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键. （1）由等腰三角形的性质得进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）先根据矩形的性质得到，再由含 角的直角三角形的性质得，进而由勾股定理得，解出长， 即可解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵平行四边形是矩形； ∴， 又∵， ∴， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ∴． 21. 如图，阅读与思考：在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题．现我们对函数（x的取值范围为任意实数）进行探究． x … 0 1 2 3 … … 3 1 0 1 2 4 … （1）请将表格补充完整． （2）请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数图象的性质：______． （3）请在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象，并直接写出不等式的解集． 【答案】（1） x … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 3 4 … （2）根据题意，画图象，如图； 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息和一次函数的图象和性质，应用数形结合思想是解答关键． （1）按照函数关系式进行代入计算即可； （2）根据表格画出图象即可，根据图象特征得到函数的增减性即可； （3）按要求画出的图象，观察图象可得不等式的解集即为的图象在上方的部分对应的的范围． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小． 故答案为：当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小． 【小问3详解】 解：当时，，即，解得， 当时，， 当时，，即，解得， 当时，， 即和的交点为和， 如图所示，由图象可知， 当时，直线在的上方， ∴不等式的解集是． 22. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所点百分比 A 88 b 96 45% B 88 87．5 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人． 【答案】（1）15，88．5，98 （2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱．（答案不唯一，合理即可） （3）44人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识 （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， 款的评分非常满意有（个，“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， 众数； 故答案为：； 【小问2详解】 款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱． 款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数为40人． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 小亮在学习物理后了解到：在弹性限度内，弹簧测力计的拉力与其弹簧长度存在一次函数关系，他想通过实验来验证该结论，他通过悬挂不同质量的物体后，测量对应的弹簧长度，并将所得的几组数据制成如下表格，其中拉力读数为，弹簧长度为． 1 2 3 4 5 … 3.6 5.2 6.8 8.4 10.0 … （1）观察表格中数据的变化规律，在弹性限度内，拉力增加弹簧的长度______（填“增加”或“减少”）； （2）根据表格数据求出y与x之间的函数关系式； （3）若小亮第6次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第7次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，若，则______． 【答案】（1）增加 （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，找到数据的变化规律及掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键. （1）根据表格中数据的变化规律：拉力增加，弹簧的长度增加； （2）利用待定系数法求出与之间的关系式； （3）分别将 和 代入关系式，将两式左右对应相减进行计算即可. 【小问1详解】 解：由表格可知，拉力增加，弹簧的长度增加, 故答案为：增加； 【小问2详解】 设与之间的关系式为(为常数, 且. 将, 和, 分别代入, 得 ，解得 ， ∴与之间的关系式为， 经检验，表格中得其它组数据也符合关系式， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 分别将 和 代入, 得 ， ②①, 得 ， ． 故答案为：． 24. 【感知】如图①，四边形均为正方形，由，可知：． 【拓展】如图②，四边形均为菱形，且．求证：． 【应用】如图③，四边形均为菱形，点E在边上，点G在延长线上．若，，的面积是12，则菱形的面积为______． 【答案】感知：； 拓展：证明：∵均为菱形， ∴． ∵， ∴． ∴， 即． 在和中， ∴， ∴． 应用： 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 感知：由四边形均为正方形得到则即可证明，得到答案； 拓展：由菱形的性质得到．由得到．则．即可证明，得到结论； 应用：证明，则．过点E作于点H，，则，得到，由得到 ,则，即可得到答案． 【详解】感知：证明：∵四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为： 拓展：略 应用：∵均为菱形， ∴． ∵， ∴． ∴， 即． 在和中， ∴， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 过点E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴ , ∴ ∴. 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图①，在中，，．M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，当动点P到达C点时，运动停止．连接，，设运动时间为． （1）当点P在上时，______cm（用含x的式子表示）； （2）设的面积为S，当时，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当为以为腰的等腰三角形时，______； （4）如图②，点Q，N分别为，的中点，连接，，，得到，则周长的最小值为______． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）先求出长，然后求出； （2）分和两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到与的函数关系式； （3）分两种情况，根据等腰三角形的概念、勾股定理计算即可； （4）作点N关于直线的对称点，连接交于点P， 根据勾股定理求出， 得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵，点P在上时， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； ∴； 【小问3详解】 当时,, ∴, 解得， 当 时, 解得，， 综上所述，当或时, 是以为腰的等腰三角形； 【小问4详解】 解：∵Q，N分别为，的中点， ∴，，， ∴， 作点N关于直线的对称点，连接交于点P，则的周长最小， 这时周长为， ∵，即， ∴， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、轴对称最短路径问题、等腰三角形的概念，勾股定理，掌握相关的性质定理和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 26. 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求n、k的值； （2）已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； （3）如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 【答案】（1）n、k的值分别为、； （2）①；②或 （3）①；② 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）把点分别代入函数解析式即可得到答案； （2）①由（1）可知，直线：，直线：，设点D的坐标为，得到点P的坐标是，点D，P关于x轴对称，则，解得，即可得到答案；②求出点A的坐标是，点B的坐标是，设点D的坐标为，则，，根据的面积是面积的2倍得到，解得值，即可得到答案； （3）①点C作轴于点F，过点M作于点H，则，证明，则，得到，则，即可得到点M的坐标为；②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点，根据中点坐标公式求出点的坐标是，求出，当时，即时，，此时满足题意，当时，即时，，此时无解，即可得到答案． 【小问1详解】 把点代入得， ， 解得，， 把点代入得，， 解得， 即n、k的值分别为、； 【小问2详解】 ①由（1）可知，直线：，直线：， 设点D的坐标为， ∵过点D作轴，交直线于点P， ∴点P的坐标是， ∵点D，P关于x轴对称， ∴ 解得， ∴， ∴点D的坐标为 故答案为： ②当时， 当时，，解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 设点D的坐标为，则 ， ， ∵的面积是面积的2倍 ∴， 解得， ∴当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或 【小问3详解】 ①点C作轴于点F，过点M作于点H，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 故答案为： ②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点， ∵．点E的坐标为，点M的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴，解得， 当时，即时，，此时满足题意， 当时，即时，，此时无解， 综上可知， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $