精品解析：内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期高一期中考试（数学）试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若（a，，i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则结合复数相等即可列式求解. 【详解】由于， 所以，解得，，所以． 故选：A． 2. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】即中至少有一个是零；复数为纯虚数，故为小范围，故为必要不充分条件. 3. 若为实数且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知得，所以，解得，故选B． 考点：复数的运算． 4. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得复数，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，所以复数的虚部为. 故选：D. 5. 复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先运用乘方除法进行化简，再根据共轭复数概念，几何意义得解. 【详解】解析　， 则，所以在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B. 6. 复数，分别对应复平面内的点，，则向量对应的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由复数的运算分别求出和对应的点，再得到的坐标即可求得答案. 【详解】因为， ， 所以点，点，向量 所以对应的复数是. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算和几何意义，考查了向量的坐标表示，属于基础题. 7. 复数满足关系式：，则复数在复平面内对应点的轨迹是（ ） A. 两条直线 B. 一条直线和一个圆 C. 两个圆 D. 一个圆 【答案】C 【解析】 【分析】解方程得出或，再由复数的模得出表示的轨迹. 【详解】由，解得或. 当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆. 当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆. 故选：C 8. 若复数，则是成立的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别推导充分性与必要性判定即可. 【详解】因为都是复数,复数成立,则是非零复数, 此时当时,表明两复数是一对共轭复数,故,, 能得出成立； 反之,若成立,则可以是正实数,故不一定得出. 故可得出是成立的必要不充分条件. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数及其模长的辨析,需要找到特例或者根据复数的性质证明.属于基础题. 二、选择题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 任何复数的模都是非负数 B. 如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆 C. |cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0 D. 2＋3i>1＋2i 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的模的定义即可判断A选项，求出各复数的模即可判断B选项，根据即可判断C选项，根据虚数不能比较大小即可判断D选项. 【详解】A正确，因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi（b≠0，a，b∈R），则； B正确，因为，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上； C错误，因为为定值； D错误，因为虚数不能比较大小. 故选：AB. 10. 已知复数，在复平面内对应的点在直线上，且满足是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，设，化简，根据是纯虚数，所求得，得到，再结合复数模公式，共轭复数概念，加法乘法计算法则，依次判定，即可求解. 【详解】由题意可知，因为，可得， 又由在复平面内对应的点在直线上，则可设， 则， 因为是纯虚数，所以，解得，所以， 则，则A错误； 则，则B正确； 则，则C正确； 则，则D错误. 故选:BC. 11. 设，，为复数，.下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B，根据复数的运算法则判断C、D. 【详解】对于A：令，，则，， 满足，而，故A错误； 对于B：，，则，但是，故B错误； 对于C：因为，所以， 又因为，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以， 又因为，所以，所以，故D错误. 故选：ABD. （2023·广东期中） 12. 设复数z＝a＋bi（a，b∈R）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. “z∈R”的充要条件是“z＝” B. 若|z|＝1，则|z－1＋i|的最大值为2 C. 若z3－1＝0，则z＝1 D. 方程z2－5|z|＋6＝0在复数集中有6个解 【答案】AD 【解析】 【分析】A.利用充要条件的定义判断；B.利用复数的模的几何意义判断；C.利用复数的乘方判断；D.设为方程的解，代入方程，结合复数相等求解判断. 【详解】A.若，则成立，若，则由，解得，所以成立，故A正确； B. 若，则表示以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离， 如图所示：， 因为原点到点的距离为2，所以的最大值为2＋1＝3，故B错误； C.当时，，故C错误； D.因为，所以设为方程的解， 代入方程得，即， 若，则，即，即， 解得或，即±i是原方程的解； 若b＝0，则，即，即， 解得或，即2，－2，3，－3也是原方程的解. 综上，原方程有6个解，分别为i，－i，2，－2，3，－3，故D正确. 故选：AD 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若，在复平面上与对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】先写出复平面内对应的两点，再求两点间的距离. 【详解】由知，, 由两点间的距离公式得. 故答案为：. 14. 在复平面内正方形的顶点对应的复数中有三个是1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个复数是______. 【答案】2－i 【解析】 【分析】利用复数与向量的一一对应关系，借助向量的运算来求第四个复数即可. 【详解】设正方形四个顶点对应的复数分别为 O为复平面的原点，则， 所以则， ∴，又四边形ABCD为正方形，∴， 即， ∴， 即第四个复数是. 故答案为：. 15. 若，其中都是实数，是虚数单位，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先进行复数的乘法运算，得到，的值，然后代入求解即可得到结果 【详解】 解得， 故答案为 【点睛】本题是一道关于考查复数概念的题目，熟练掌握复数的四则运算是解题的关键，属于基础题． （2023·江苏南通模拟） 16. 若、是实系数一元二次方程的两虚根，，且，则a的取值范围为______（用区间表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，再由表示出模长并进行化简，即可得到a的取值范围. 【详解】由已知、是实系数一元二次方程的两虚根，则、互为共轭复数，，， ，，，即. 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设复数，其中，当取何值时， （1）； （2）是纯虚数； （3）是零． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】根据实数、纯虚数、零的定义构造方程组求解即可. 【小问1详解】 若，则，解得：或. 【小问2详解】 若是纯虚数，则，解得：. 【小问3详解】 若是零，则，解得：. 18. 已知复数，求满足下列条件的实数m的值或取值范围. （1）复数z与复数相等； （2）复数z与复数互为共轭复数； （3）复数z在复平面内对应的点在实轴上方. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据复数相等的充要条件,共轭复数，几何意义求解即可. 【小问1详解】 根据复数相等的充要条件，得，解得. 【小问2详解】 根据共轭复数的定义，得，解得. 【小问3详解】 由题意，知，解得或， 故实数m的取值范围为. 19. 已知复数满足：，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数相等解得，再根据复数运算法则求解 【详解】设，而 即 则 所以 【点睛】本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. （2023·渝中区校级期中） 20. 已知复数满足. （1）求； （2）若复数，求在复平面内对应点的集合构成的图形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法与除法可求得，进而可得出； （2）设，利用复数的模长公式可得出，确定复数在复平面内的对应点的轨迹，即可得解. 【小问1详解】 解：，， 因此，. 【小问2详解】 解：设，则，， 所以，， 由可得， 所以，在复平面内对应点的形成以点为圆心，半径为的圆及其内部， 因此，在复平面内对应点的集合构成的图形的面积为. 21. 已知. （1）若,求的值； （2）若,求x的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）时，由方程得，根据实部、虚部为零列方程组求解即可； （2）时，，代入方程整理，根据实部、虚部为零列方程组求解即可. 【小问1详解】 时，由方程得，则，得； 【小问2详解】 时，， 代入方程整理得， 则，得或， 故或. （2023·宝山区校级期末） 22. 设是虚数，且满足. （1）求的值及的实部的取值范围； （2）设，求证：为纯虚数； （3）求的最小值. 【答案】（1）， （2） ， ∵，，∴为纯虚数； （3）1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得，根据其为实数可得，从而的实部的取值范围； （2）根据复数的除法可得，从而可证为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值. 【小问1详解】 设，，， 则， ∵，∴是实数，又，∴，即， ∴，，，∴的实部的取值范围是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ∵，∴，故， 当，即时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期高一期中考试（数学）试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若（a，，i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若为实数且，则 A. B. C. D. 4. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 5. 复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 复数，分别对应复平面内的点，，则向量对应的复数是（ ） A. B. C. D. 7. 复数满足关系式：，则复数在复平面内对应点的轨迹是（ ） A. 两条直线 B. 一条直线和一个圆 C. 两个圆 D. 一个圆 8. 若复数，则是成立的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 二、选择题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 任何复数的模都是非负数 B. 如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆 C. |cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0 D. 2＋3i>1＋2i 10. 已知复数，在复平面内对应的点在直线上，且满足是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 11. 设，，为复数，.下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 （2023·广东期中） 12. 设复数z＝a＋bi（a，b∈R）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. “z∈R”的充要条件是“z＝” B. 若|z|＝1，则|z－1＋i|的最大值为2 C. 若z3－1＝0，则z＝1 D. 方程z2－5|z|＋6＝0在复数集中有6个解 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若，在复平面上与对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________. 14. 在复平面内正方形的顶点对应的复数中有三个是1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个复数是______. 15. 若，其中都是实数，是虚数单位，则__________． （2023·江苏南通模拟） 16. 若、是实系数一元二次方程的两虚根，，且，则a的取值范围为______（用区间表示）． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设复数，其中，当取何值时， （1）； （2）是纯虚数； （3）是零． 18. 已知复数，求满足下列条件的实数m的值或取值范围. （1）复数z与复数相等； （2）复数z与复数互为共轭复数； （3）复数z在复平面内对应的点在实轴上方. 19. 已知复数满足：，求的值． （2023·渝中区校级期中） 20. 已知复数满足. （1）求； （2）若复数，求在复平面内对应点的集合构成的图形的面积. 21. 已知. （1）若,求的值； （2）若,求x的值. （2023·宝山区校级期末） 22. 设是虚数，且满足. （1）求的值及的实部的取值范围； （2）设，求证：为纯虚数； （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $