精品解析：辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

葫芦岛市普通高中2023-2024学年下学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷､第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分；考试时间：120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目､试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上. 3.用铅笔把第I卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上. 4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知为整数集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 4. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 5. “城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（ ） A. 230万元 B. 234万元 C. 245万元 D. 260万元 6. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3 7. 已知函数，数列满足，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（ ）（精确到0.01元，参考数据） A. 733.21元 B. 757.37元 C. 760.33元 D. 770.66元 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 10. 为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时（ ） A. 四支球队的积分总和可能为15分 B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D. 丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.两空题第一空2分，第二空3分） 12. 已知线性回归方程的样本中心为，则当时，_______． 13. 一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表： 男性 女性 合计 满意 560 540 1100 不满意 40 60 100 合计 600 600 1200 根据列联表中的数据，经计算得到__________（精确到0.001）；依据数据可作出的判断是__________. 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 14. 已知实数满足，则的最小值为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 设函数. （1）求曲线的单调区间； （2）已知在区间上的最大值为13，求的值. 16. 已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项. （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）求数列的通项公式及其前项和； （3）若数列，证明：数列前项和. 17. ChatGPT，是OpenAI研发的一款聊天机器人程序.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的9个问题中随机抽取8个作答，已知在这9个问题中，小张能正确作答8个问题，答错1个问题. （1）求小张能全部回答正确概率； （2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； （3）比较小张和ChatGPT答对题数的数学期望. 18. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）若函数有两个零点 ①求实数取值范围； ②证明：. 19. 甲､乙､丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. （1）设传球三次后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； （3）在第（2）问条件下，设.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 葫芦岛市普通高中2023-2024学年下学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷､第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分；考试时间：120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目､试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上. 3.用铅笔把第I卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上. 4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知为整数集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】特称量词的否定是只否定结论，特称全称互换即可. 【详解】运用特称量词的否定，只否定结论，特称全称互换.则命题“”的否定是“”. 故选：D 3. 在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论. 【详解】解：， 当时，， 所以数列单调递减，故充分性成立， 若数列单调递减，则，即，故必要性成立， 所以是数列单调递减的充要条件. 故选：C. 4. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数图象可得的单调性，即可结合选项求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 结合选项可知，只有C中函数符合要求， 故选：C 5. “城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（ ） A. 230万元 B. 234万元 C. 245万元 D. 260万元 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列， 这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，利用数列的求和公式即可求解. 【详解】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列， 所以这五年投入的资金总额是（万元）； 由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列， 所以这五年的旅游总收入是（万元）， 所以这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（万元）， 故选：C. 6. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性，即可求解. 【详解】由条件可知，, 而. 故选：A 7. 已知函数，数列满足，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先结合的奇偶性和单调性，由可得，又知数列是4项以循环的周期数列，故求出. 【详解】由，则，可得. 由函数的性质，知在上单调递增. 因为，所以. 又，可得，，，， . 故选：B. 8. 李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（ ）（精确到0.01元，参考数据） A. 733.21元 B. 757.37元 C. 760.33元 D. 770.66元 【答案】B 【解析】 【分析】首先可设每一期所还款数为元，然后结合题意列出每期所还款本金，并根据贷款元列出方程，最后借助等比数列前项和公式进行计算即可得出结果. 【详解】设每一期所还款数为元， 因为贷款的月利率为， 所以每期所还款本金依次为， 则， 即， ， ， ， 即李华每个月所要还款约元. 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断A，利用特殊值判断B、D，利用基本不等式判断C. 【详解】对于A：，所以当时函数取得最小值，故A正确； 对于B：当时，所以，故B错误； 对于C：因为，，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 对于D：当时，则，故D错误. 故选：AC 10. 为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据古典概型求概率公式得到A正确；B选项，根据得到答案；C选项，在AB选项基础上，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出，，从而利用条件概率公式得到答案. 【详解】A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题， 每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故，A正确； B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故，B正确； C选项，，C错误； D选项，因为，所以， 又，故，D错误. 故选：AB. 11. 在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时（ ） A. 四支球队的积分总和可能为15分 B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D. 丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断C；由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断BD． 【详解】四支球队共6场比赛，有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁. 对于A，四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分，故A正确； 对于B，每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 ，故B正确； 对于C，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平， 则甲、乙、丙各得4分，丁得3分，出现三支球队积分相同且和第 四支球队积分不同的情况，故C正确； 对于D，丙队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与丙比赛， 丙输，，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分， 这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意， 在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分， 这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若甲一平一输，概率是 ，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是； ②若甲两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查独立的概率与互斥事件的概率公式，D选项关键点在于分析丙在输第一场的情况下如何才能使得分超过其他三人，方法是结合列举法对六场比赛结果分步分析，确定每人的得分使之合乎题意． 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.两空题第一空2分，第二空3分） 12. 已知线性回归方程的样本中心为，则当时，_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据线性回归方程过样本中心求出，代入求解即可. 【详解】因为线性回归方程的样本中心为， 所以，解得， 即线性回归方程为， 当时，， 故答案为：16 13. 一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表： 男性 女性 合计 满意 560 540 1100 不满意 40 60 100 合计 600 600 1200 根据列联表中的数据，经计算得到__________（精确到0.001）；依据数据可作出的判断是__________. 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】 ①. ②. 满意度与性别有关联，推断犯错误的概率不大于0.05（或：有的把握认为满意度与性别有关）. 【解析】 【分析】代入的计算公式，再和临界值比较，得到结论. 【详解】, 所以满意度与性别有关联，推断犯错误的概率不大于（或：有的把握认为满意度与性别有关） 故答案为：；满意度与性别有关联，推断犯错误的概率不大于（或：有的把握认为满意度与性别有关） 14. 已知实数满足，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】表示距离的平方，借助求导得到与直线平行且与相切的直线，后用平行线间距离公式求解即可. 【详解】由于，可得；，可得. 可将看作曲线任一点，看作直线任一点． 表示距离的平方. 由求导得，令，即. 令，则，则在上增函数， 又，则的解为. 则与相切，且与平行的直线方程为.  可知的最小值为. 故答案为：2． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 设函数. （1）求曲线的单调区间； （2）已知在区间上的最大值为13，求的值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数导数判断函数单调区间； （2）根据函数的最大值，结合（1）中函数单调性，在处取得极大值，也为最大值，代入计算的出的值. 【小问1详解】 已知的定义域为，所以， 当时，解得，当时，解得， 所以，的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得. 16. 已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项. （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）求数列的通项公式及其前项和； （3）若数列，证明：数列前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据公式，求通项公式，再根据定义证明数列是等差数列； （2）首先根据（1）结果，计算数列的第2项和第3项，再根据等比数列基本量计算求数列的通项公式和前项和； （3）根据前2问可知，，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为数列的前项和为，且， 当时，； 当时，， 经验证，当时也满足； 所以； 又， 所以是公差为2的等差数列，通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，于是 又因为数列为等比数列，且分别为数列第二项和第三项， 所以， 则，，则， 所以. 【小问3详解】 由已知， 于是. 17. ChatGPT，是OpenAI研发的一款聊天机器人程序.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的9个问题中随机抽取8个作答，已知在这9个问题中，小张能正确作答8个问题，答错1个问题. （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； （3）比较小张和ChatGPT答对题数的数学期望. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解即可； （2）利用全概率公式求解即可； （3）利用期望公式分布求出期望，即可得解. 【小问1详解】 设小张答对的题数为，则； 【小问2详解】 设事件A表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”， 由题意知， 则， ； 【小问3详解】 设小张答对的题数为，则的可能取值是7，8， 且， 则， 设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布， 则， ，， 显然，即. 18. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数先求导，结合是的极值点计算出结果，再进行验证； （2）①由题意得函数的零点即方程的实根，对进行分类讨论，利用导数判断函数单调性求得最值，进而计算出实数的取值范围； ②构造函数利用函数导数判断函数单调性，根据函数单调性证明：. 【小问1详解】 ，当时即解得 检验：当在递减；在递增 则是极小值点成立，所以. 【小问2详解】 由题意得函数的零点即方程的实根， ①（i）当时不成立. （ii）当时，令， 的减区间增区间. 当时..当时， 若有两个零点.即有两个实根， 则的取值范围. ②方法一： ， 令， 于是， ， 令，则， ， 则在单调递减，所以， ， 则在单调递减， 又因为， 方法二： ，令 ，令， 在单调递减，又因为，所以， 即，在单调递减， ， 又因为， 又因为在单调递增， 所以所以. 19. 甲､乙､丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. （1）设传球三次后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； （3）在第（2）问的条件下，设.求证：. 【答案】（1）分布列见解析，1 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望； （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，求，并利用放缩法证明不等式. 小问1详解】 由题意知，， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望为； 【小问2详解】 由于传次球后不在乙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙， 故有， 变形为， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式； 【小问3详解】 由（2）可得， 则 所以. 又因为， ， 所以， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到关于数列的递推公式，从而可以利用数列的知识解决问题，第三问的关键是对通项合理的放缩，从而可以求和，证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$