重庆市九龙坡区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年重庆市九龙坡区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1．（4分）下列各数中最小无理数是（　　） A． B．0 C． D．1.010010001… 2．（4分）下列调查中，调查方式最合理的是（　　） A．为了解重庆市初中生每天使用手机的时间，选择全面调查 B．为了解一批护眼灯的使用寿命，选择抽样调查 C．为了解乘坐飞机的乘客是否携带管制刀具，选择抽样调查 D．为了解长江水域被污染的情况，选择全面调查 3．（4分）如图，下列条件不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠4+∠5＝180° D．∠1＝∠3 4．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+c＜b+c B．1﹣a＞1﹣b C．ac2＜bc2 D．|a|＞|b| 5．（4分）下列命题中，真命题是（　　） A．同旁内角互补 B．直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线最短 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．三角形的高必交于一点 6．（4分）将点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B（﹣1，4），则点A的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（2，0） C．（﹣4，0） D．（2，8） 7．（4分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中一道题，原文是：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗：下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”意思是：今有上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷：下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆，一共能打十斗谷．问一捆上禾、一捆下禾各打几斗谷？设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）如图，CD∥AB，点O在AB上，OF平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝130°，则∠BOE的度数为（　　） A．65° B．50° C．30° D．25° 9．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2024 10．（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到点P3（3，﹣1），第四次运动到点P4（4，﹣2），第五次运动到点P5（5，0），第六次运动到点P6（6，2），…，按这样的运动规律，第2024次运动后，则点P2024的坐标是（　　） A．（2024，0） B．（2024，1） C．（2024，﹣2） D．（2024，2） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 11．（4分）＝　 　． 12．（4分）点A（m，1﹣2m）在第一象限，则m的取值范围是 　 　． 13．（4分）为了解我区八年级3000名学生中“15米折返跑”能获得优秀等级的学生人数，区相关部门随机调查了其中150名学生，数据显示有110名学生能获得优秀等级，这个调查的样本容量为 　 　． 14．（4分）实数a在数轴上的取值范围如图所示，化简：＝　 　． 15．（4分）若关于x的不等式组有解，且关于y的方程a+2＝y﹣1的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为 　 　． 16．（4分）如图，四边形ABCD为一个长方形纸片，点E、F分别在AB、DC上，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，折叠后FD与EB交于点N．若∠NEF＝34°，则∠NFC＝　 　度． 17．（4分）如图，将△DEF沿点F到点E的方向平移得到△ABC，DE＝9，DH＝3，平移距离为4，则图中阴影部分的面积为 　 　． 18．（4分）已知对于任意一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），满足百位数字小于十位数字，且个位数字等于十位数字与百位数字之和，那么称m为“九龙数”，将“九龙数”m的个位数字的平方减去百位数字的平方再减去十位数字的平方，得到的结果记为F（m），则357 　 　（填“是”或“不是”）“九龙数”．若“九龙数”n的3倍与其个位数字之和能被7整除，则满足条件的F（n）的最大值为 　 　． 三、解答题：本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题8分，共78分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 19．（8分）计算与化简： （1）； （2）． 20．（10分）（1）解方程组：； （2）解不等式组：，并在数轴上表示出其解集． 21．（10分）重庆智能网联新能源汽车发展水平全国领先，而电池的续航能力对新能源汽车来说是一个考验．重庆某汽车公司从一批电池中随机抽取了40块电池做续航里程（km）测试，将测试结果统计后绘制成如图所示的不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题． 电池续航里程频数分布表 组别 里程x（km） 频数（块） 频率 第1组 420≤x＜460 3 0.075 第2组 460≤x＜500 6 0.15 第3组 500≤x＜540 9 a 第4组 540≤x＜580 10 0.25 第5组 580≤x＜620 b c 合计 d 1 （1）直接写出频数分布表中的a，b，c，d的值； （2）请你补全频数分布直方图； （3）按规定，续航里程不低于540km则为合格，若该批电池共有800块，请你估计该批电池达到合格标准的电池有多少块？ 22．（10分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，点E、F分别在OD、CD上，∠1＝∠A+∠B． （1）求证：EF∥BC； （2）若∠AOB＝78°，∠1+∠C＝142°，求∠D的度数． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，6），B（﹣6，4），C（﹣2，5），把△ABC向下平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A1B1C1． （1）若点P1（a，b）是△A1B1C1内部一点，则点P1（a，b）平移前对应点的坐标为 　 　； （2）在图中画出平移后的△A1B1C1； （3）若点M在坐标轴上，且△MA1C1的面积等于△A1B1C1的面积的，求点M的坐标． 24．（10分）随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． （1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？ （2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 25．（10分）在平面直角坐标系中，已知点B在第四象限内，且到x轴的距离为7，到y轴的距离为8．AB平行于x轴交y轴于点A，将点B向右平移4个单位长度，向上平移7个单位长度，得到点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）如图1，BM平分∠ABC交x轴于点M，CD平分∠BCO交BM于点D，过点M作MN⊥BM交BC的延长线于点N，证明：CD∥MN； （3）若点P、点Q同时从点O出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿O→A→B的方向移动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B的方向移动，当点P到达点B时，两点停止运动（不含起止点）．设移动的时间为t秒，四边形OQBA与△OPB的面积分别记为S1，S2，是否存在t，使S1＜2S2？若存在，求出t的取值范围；若不存在，试说明理由． 26．（10分）如图，AB∥CD，点E、点F分别在直线AB、CD上，点G在直线AB、CD之间，连接EG并延长交CD于点K，EF平分∠BEG． （1）如图1，若∠AEK＝38°，FG平分∠EFC，则∠EGF＝　 　度； （2）如图2，已知点H为GF延长线上一点，连接EH．∠AEG＝∠HEF＝∠H＝m°，请用含m的式子表示∠HFD的度数，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，∠AEG＝28°，将△FHE绕点F逆时针以每秒2°的速度旋转得△FH′E′，将△EFG绕点E逆时针以每秒4°的速度旋转得△EF′G′，当EF′首次旋转到直线AB上时△EF′G′立刻绕点E顺时针以原速旋转；当EG′旋转到直线AB上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出边E′H与△EF′G′的边平行时的旋转时间t的值． 2023-2024学年重庆市九龙坡区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1．（4分）下列各数中最小无理数是（　　） A． B．0 C． D．1.010010001… 【分析】先判断出B、C选项都是有理数，A、D选项是无理数，然后比较和1.010010001…即可． 【解答】解：， B、C选项都是有理数， A、D选项是无理数， ∵， ∴＜1.010010001…， ∴最小的无理数是， 故选：A． 2．（4分）下列调查中，调查方式最合理的是（　　） A．为了解重庆市初中生每天使用手机的时间，选择全面调查 B．为了解一批护眼灯的使用寿命，选择抽样调查 C．为了解乘坐飞机的乘客是否携带管制刀具，选择抽样调查 D．为了解长江水域被污染的情况，选择全面调查 【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、为了解重庆市初中生每天使用手机的时间，选择抽样调查，故A不符合题意； B、为了解一批护眼灯的使用寿命，选择抽样调查，故B符合题意； C、为了解乘坐飞机的乘客是否携带管制刀具，选择全面调查，故C不符合题意； D、为了解长江水域被污染的情况，选择抽样调查，故D不符合题意； 故选：B． 3．（4分）如图，下列条件不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠4+∠5＝180° D．∠1＝∠3 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b， 故A不符合题意； 由∠2＝∠4，不能判断直线a∥b， 故B符合题意； ∵∠4+∠5＝180°， ∴a∥b， 故C不符合题意； ∵∠1＝∠3， ∴a∥b， 故D不符合题意； 故选：B． 4．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+c＜b+c B．1﹣a＞1﹣b C．ac2＜bc2 D．|a|＞|b| 【分析】根据a＜b＜0，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵a＜b， ∴a+c＜b+c， ∴选项A不符合题意； ∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， ∴1﹣a＞1﹣b， ∴选项B不符合题意； ∵a＜b， ∴ac2＜bc2（c≠0）或ac2＝bc2（c＝0）， ∴选项C符合题意； ∵a＜b＜0， ∴|a|＞|b|， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 5．（4分）下列命题中，真命题是（　　） A．同旁内角互补 B．直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线最短 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．三角形的高必交于一点 【分析】根据平行线的性质、垂线段最短、平行公理的推论、三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，符合题意； D、三角形的高所在的直线必交于一点，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 6．（4分）将点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B（﹣1，4），则点A的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（2，0） C．（﹣4，0） D．（2，8） 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加解答． 【解答】解：设点A的坐标为（m，n）， 由题意知m﹣3＝﹣1，n+4＝4， 解得m＝2，n＝0， ∴点A的坐标为（2，0）． 故选：B． 7．（4分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中一道题，原文是：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗：下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”意思是：今有上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷：下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆，一共能打十斗谷．问一捆上禾、一捆下禾各打几斗谷？设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意表示出7捆上等谷﹣1斗谷+2捆下等谷＝10斗谷，8捆下等谷+1斗谷+2捆上等谷＝10，分别得出方程即可． 【解答】解：设一捆上等稻有x斗，一捆下等稻y斗，根据题意，可列方程组为： ． 故选：D． 8．（4分）如图，CD∥AB，点O在AB上，OF平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝130°，则∠BOE的度数为（　　） A．65° B．50° C．30° D．25° 【分析】由平行线的性质推出∠D+∠AOD＝180°，求出∠AOD＝50°，由角平分线定义得到∠AOF＝∠AOD＝25°，由垂直的定义得到∠EOF＝90°，由平角定义得到∠BOE＝180°﹣25°﹣90°＝65°． 【解答】解：∵CD∥AB， ∴∠D+∠AOD＝180°， ∵∠D＝130°， ∴∠AOD＝50°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF＝∠AOD＝25°， ∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOE＝180°﹣25°﹣90°＝65°． 故选：A． 9．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2024 【分析】根据题意得出方程组的解为，求出m、n的值，然后代入计算即可． 【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴的解为， 解得， ∴（m+n）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1， 故选：A． 10．（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到点P3（3，﹣1），第四次运动到点P4（4，﹣2），第五次运动到点P5（5，0），第六次运动到点P6（6，2），…，按这样的运动规律，第2024次运动后，则点P2024的坐标是（　　） A．（2024，0） B．（2024，1） C．（2024，﹣2） D．（2024，2） 【分析】根据点的运动方式，依次求出点Pn的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：根据动点的运动方式可知， 点P1的坐标为（1，1）， 点P2的坐标为（2，0）， 点P3的坐标为（3，﹣1）， 点P4的坐标为（4，﹣2）， 点P5的坐标为（5，0）， 点P6的坐标为（6，2）， 点P7的坐标为（7，0）， 点P8的坐标为（8，1）， …， 由此可见，点Pn的横坐标为n，且纵坐标按1，0，﹣1，﹣2，0，2，0循环出现， 又因为2024÷7＝289余1， 所以点P2024的横坐标为2024，纵坐标为1， 即点P2024的坐标为（2024，1）． 故选：B． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 11．（4分）＝　4　． 【分析】直接利用立方根求解即可． 【解答】解：∵4的立方为64， ∴64的立方根为4 ∴＝4． 12．（4分）点A（m，1﹣2m）在第一象限，则m的取值范围是 　0＜m＜　． 【分析】由点A（m，1﹣2m）在第一象限，知，解之即可得出答案． 【解答】解：∵点A（m，1﹣2m）在第一象限， ∴， 解得0＜m＜， 故答案为：0＜m＜． 13．（4分）为了解我区八年级3000名学生中“15米折返跑”能获得优秀等级的学生人数，区相关部门随机调查了其中150名学生，数据显示有110名学生能获得优秀等级，这个调查的样本容量为 　150　． 【分析】根据样本容量的意义，即可解答． 【解答】解：为了解我区八年级3000名学生中“15米折返跑”能获得优秀等级的学生人数，区相关部门随机调查了其中150名学生，数据显示有110名学生能获得优秀等级，这个调查的样本容量为150， 故答案为：150． 14．（4分）实数a在数轴上的取值范围如图所示，化简：＝　﹣1　． 【分析】根据实数a在数轴上的取值范围确定a﹣2，a﹣3的符号，再根据绝对值，二次根式的性质和化简方法进行计算即可． 【解答】解：由实数a在数轴上的取值范围可知，a﹣2＜0，a﹣3＜0， 所以原式＝﹣（a﹣2）﹣|a﹣3| ＝﹣a+2+a﹣3 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 15．（4分）若关于x的不等式组有解，且关于y的方程a+2＝y﹣1的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为 　﹣6　． 【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据不等式组有解得a的取值范围，解关于y的方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可． 【解答】解：解不等式9﹣2x≥﹣9，得：x≤9， 解不等式﹣＞a，得：x＞12a+3， ∴不等式组有解， ∴12a+3＜9， ∴a＜， 由a+2＝y﹣1，得：y＝a+3， ∵方程的解是非负数， ∴a+3≥0， ∴a≥﹣3， 综上所述，﹣3≤a＜， ∴符合条件的所有整数a的值为：﹣3，﹣2，﹣1，0， ∴﹣3﹣2﹣1+0＝﹣6． 故答案为：﹣6． 16．（4分）如图，四边形ABCD为一个长方形纸片，点E、F分别在AB、DC上，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，折叠后FD与EB交于点N．若∠NEF＝34°，则∠NFC＝　112　度． 【分析】由折叠可知：∠EFH＝∠NFE，然后根据矩形的性质证明BE∥CF，再根据平行线的性质求出∠EFH，最后根据平角定义，求出答案即可． 【解答】解：如图所示： 由折叠可知：∠EFH＝∠NFE， ∵四边形ABCD是长方形， ∴BE∥CF， ∴∠NEF＝∠EFH＝∠NFE＝34°， ∵：∠EFH+∠NFE+∠NFC＝180°， ∴∠NFC＝180°﹣34°﹣34°＝112°， 故答案为：112． 17．（4分）如图，将△DEF沿点F到点E的方向平移得到△ABC，DE＝9，DH＝3，平移距离为4，则图中阴影部分的面积为 　30　． 【分析】根据图形平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形ABEH的面积即可解决问题． 【解答】解：由平移可知， AB＝DE＝9，BE＝4，S△ABC＝S△DEF， ∴S梯形ABEH+S△CEH＝S△CEH+S阴影， ∴S阴影＝S梯形ABEH． 又∵EH＝9﹣3＝6， ∴， ∴S阴影＝30． 故答案为：30． 18．（4分）已知对于任意一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），满足百位数字小于十位数字，且个位数字等于十位数字与百位数字之和，那么称m为“九龙数”，将“九龙数”m的个位数字的平方减去百位数字的平方再减去十位数字的平方，得到的结果记为F（m），则357 　不是　（填“是”或“不是”）“九龙数”．若“九龙数”n的3倍与其个位数字之和能被7整除，则满足条件的F（n）的最大值为 　15　． 【分析】根据题意列出式子，分情况讨论即可． 【解答】解：∵3+5＝8， ∴357不是“九龙数”． 设n＝abc，则a+b＝c， ∴3n+c＝3（100a+10b+c）+c ＝300a+30b+4c ＝300a+30b+4（a+b） ＝304a+34b， ∵3n+c能被7整除， ∴304a+34b能被7整除， 当a＝1时，b＝2，c＝3，304a+34b＝374，不能被7整除． 当a＝2时，b＝3，c＝5，304a+34b＝774，不能被7整除． 当a＝3时，b＝1，c＝4，304a+34b＝1042，不能被7整除． 当a＝4时，b＝5，c＝9，304a+34b＝1554，能被7整除． 当a＝5时，b＝6，c＝11，不符合题意． 当a＝6时，b＝2，c＝8，304a+34b＝2052，不能被7整除． 当a＝7时，b＝4，c＝11，不符合题意． 当a＝8时，b＝6，c＝14，不符合题意． 当a＝9时，b＝7，c＝16，不符合题意． ∴则满足条件的F（n）的最大值为15． 故答案为：不是，15． 三、解答题：本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题8分，共78分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 19．（8分）计算与化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算平方根和立方根，最后计算加减； （2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算乘法，最后计算加减． 【解答】解：（1） ＝6﹣9﹣2 ＝﹣5； （2） ＝4﹣3﹣2+ ＝． 20．（10分）（1）解方程组：； （2）解不等式组：，并在数轴上表示出其解集． 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）， ①﹣②×2，得：x＝﹣3， 将x＝﹣3代入①，得：﹣21+8y＝27， 解得y＝6， 所以方程组的解为； （2）由5（x﹣1）＜9x+11得：x＞﹣4， 由≥x﹣3得：x≤4， 则不等式组的解集为﹣4＜x≤4． 将解集表示在数轴上如下： 21．（10分）重庆智能网联新能源汽车发展水平全国领先，而电池的续航能力对新能源汽车来说是一个考验．重庆某汽车公司从一批电池中随机抽取了40块电池做续航里程（km）测试，将测试结果统计后绘制成如图所示的不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题． 电池续航里程频数分布表 组别 里程x（km） 频数（块） 频率 第1组 420≤x＜460 3 0.075 第2组 460≤x＜500 6 0.15 第3组 500≤x＜540 9 a 第4组 540≤x＜580 10 0.25 第5组 580≤x＜620 b c 合计 d 1 （1）直接写出频数分布表中的a，b，c，d的值； （2）请你补全频数分布直方图； （3）按规定，续航里程不低于540km则为合格，若该批电池共有800块，请你估计该批电池达到合格标准的电池有多少块？ 【分析】（1）由第2组的频数及频率，依据总数＝频数÷频率计算可得d的值，用频数除以总数即可得出a、c的值，再根据题目所给具体数据可得b的值； （2）根据b的值即可补全图形； （3）用总数乘以样本中第4、5组频数和占总数的比例即可得． 【解答】解：（1）d＝6÷0.15＝40， a＝9÷40＝0.225， b＝40﹣3﹣6﹣9﹣10＝12， c＝12÷40＝0.3； （2）补全图形如下： （3）估计该批电池达到合格标准的电池有800×＝440（块）． 22．（10分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，点E、F分别在OD、CD上，∠1＝∠A+∠B． （1）求证：EF∥BC； （2）若∠AOB＝78°，∠1+∠C＝142°，求∠D的度数． 【分析】（1）先利用三角形的外角性质可得∠AOC＝∠A+∠B，从而可得∠1＝∠AOC，然后根据同位角相等，两直线平行可得BC∥EF，即可解答； （2）先利用平角定义可得∠AOC＝102°，从而可得∠1＝102°，进而可得∠C＝40°，然后利用三角形的外角性质可得∠D＝∠AOC﹣∠C＝62°，即可解答． 【解答】（1）证明：∵∠AOC是△AOB的一个外角， ∴∠AOC＝∠A+∠B， ∵∠1＝∠A+∠B， ∴∠1＝∠AOC， ∴BC∥EF； （2）解：∵∠AOB＝78°， ∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝102°， ∵∠1＝∠AOC， ∴∠1＝102°， ∵∠1+∠C＝142°， ∴∠C＝142°﹣∠1＝40°， ∵∠AOC是△OCD的一个外角， ∴∠D＝∠AOC﹣∠C＝102°﹣40°＝62°， ∴∠D的度数为62°． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，6），B（﹣6，4），C（﹣2，5），把△ABC向下平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A1B1C1． （1）若点P1（a，b）是△A1B1C1内部一点，则点P1（a，b）平移前对应点的坐标为 　（a﹣4，b+5）　； （2）在图中画出平移后的△A1B1C1； （3）若点M在坐标轴上，且△MA1C1的面积等于△A1B1C1的面积的，求点M的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质可得答案． （2）根据平移的性质作图即可． （3）利用割补法可求得△A1B1C1的面积为3，当点M在x轴上时，设M（m，0），可列方程为＝，求出m的值，即可得点M的坐标；当点M在y轴上时，设M（0，n），可列方程为＝，求出n的值，即可得点M的坐标，进而可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC向下平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A1B1C1， ∴点P1（a，b）平移前对应点的坐标为（a﹣4，b+5）． 故答案为：（a﹣4，b+5）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． （3）△A1B1C1的面积为﹣﹣＝6﹣2﹣1＝3． 当点M在x轴上时，设M（m，0）， ∵△MA1C1的面积等于△A1B1C1的面积的， ∴＝， 解得m＝4或0， ∴点M的坐标为（4，0）或（0，0）． 当点M在y轴上时，设M（0，n）， ∵△MA1C1的面积等于△A1B1C1的面积的， ∴＝， 解得n＝2或0， ∴点M的坐标为（0，2）或（0，0）． 综上所述，点M的坐标为（4，0）或（0，0）或（0，2）． 24．（10分）随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． （1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？ （2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【分析】（1）设10月初购进x件A商品，则购进（500﹣x）件B商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即购进A商品的数量），再将其代入（500﹣x）中，即可求出购进B商品的数量； （2）利用销售利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设10月初购进x件A商品，则购进（500﹣x）件B商品， 根据题意得：40x+10（500﹣x）＝11000， 解得：x＝200， ∴500﹣x＝500﹣200＝300． 答：10月初购进200件A商品，300件B商品； （2）根据题意得：40×（1+50%）×200+30×300×+30××300×（1﹣）﹣11000＝9400， 解得：m＝9． 答：m的值为9． 25．（10分）在平面直角坐标系中，已知点B在第四象限内，且到x轴的距离为7，到y轴的距离为8．AB平行于x轴交y轴于点A，将点B向右平移4个单位长度，向上平移7个单位长度，得到点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）如图1，BM平分∠ABC交x轴于点M，CD平分∠BCO交BM于点D，过点M作MN⊥BM交BC的延长线于点N，证明：CD∥MN； （3）若点P、点Q同时从点O出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿O→A→B的方向移动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B的方向移动，当点P到达点B时，两点停止运动（不含起止点）．设移动的时间为t秒，四边形OQBA与△OPB的面积分别记为S1，S2，是否存在t，使S1＜2S2？若存在，求出t的取值范围；若不存在，试说明理由． 【分析】（1）根据题意求出点A、点B、点C坐标即可； （2）根据AB平行于x轴得出∠ABC+∠BCO＝180°，再根据BM平分∠ABC，CD平分∠BCO，得出∠BCD+∠CBD＝90°，从而得到∠BDC＝90°，得出CD∥MN； （3）分点P在OA上和点P在AB上两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）∵点B在第四象限内，且到x轴的距离为7，到y轴的距离为8， ∴B（8，﹣7）， ∵AB平行于x轴交y轴于点A， ∴A（0，﹣7）， ∵将点B向右平移4个单位长度，向上平移7个单位长度，得到点C， ∴C（12，0）； （2）∵AB平行于x轴， ∴∠ABC+∠BCO＝180°， ∵BM平分∠ABC，CD平分∠BCO， ∴＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∴CD⊥BM， ∵MN⊥BM， ∴CD∥MN； （3）由（1）得：OA＝7，AB＝8，OC＝12， ∴0≤t≤， ∴点Q一直在OC上，OQ＝t， ∴＝， ①当点P在OA上，OP＝2t，（0≤t≤） ∴， ∵S1＜2S2， ∴， ∴， ∴； ②当点P在AB上，AP＝2t﹣7，（） ∴PB＝8﹣（2t﹣7）＝15﹣2t， ∴， ∵S1＜2S2， ∴， ∴t＜， ∴； 综上：． 26．（10分）如图，AB∥CD，点E、点F分别在直线AB、CD上，点G在直线AB、CD之间，连接EG并延长交CD于点K，EF平分∠BEG． （1）如图1，若∠AEK＝38°，FG平分∠EFC，则∠EGF＝　65　度； （2）如图2，已知点H为GF延长线上一点，连接EH．∠AEG＝∠HEF＝∠H＝m°，请用含m的式子表示∠HFD的度数，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，∠AEG＝28°，将△FHE绕点F逆时针以每秒2°的速度旋转得△FH′E′，将△EFG绕点E逆时针以每秒4°的速度旋转得△EF′G′，当EF′首次旋转到直线AB上时△EF′G′立刻绕点E顺时针以原速旋转；当EG′旋转到直线AB上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出边E′H与△EF′G′的边平行时的旋转时间t的值． 【分析】（1）由平行线的性质得∠CFE＝130°，由角平分线的定义得∠CFG＝∠EFG＝65°，进而可求出∠EGF的度数； （2）过点H作HK∥CD，由平行线的性质得∠1＝∠KHG，∠2＝∠3，从而∠GHE＝∠KHG﹣∠2＝∠1﹣∠3，进而可得∠GHE＝∠1﹣∠4，由角平分线的定义得∠EFD＝2∠1，∠AEM＝2∠4，然后根据∠MEF＝∠AEF﹣∠AEM＝2∠1﹣2∠4可得结论； （3）分当GA与FE共线前和当GA与FE共线后两种情况求解即可． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠BEF＝130°， ∴∠CFE＝∠BEF＝130°， ∵FG平分∠EFC， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠EGF＝∠CFG＝65°； 故答案为：65； （2）∠MEF＝2∠GHE，理由如下： 过点H作HK∥CD， ∴∠1＝∠KHG， ∵AB∥CD， ∴AB∥HK． ∵∠2＝∠3， ∴∠GHE＝∠KHG﹣∠2＝∠1﹣∠3， ∵∠3＝∠4， ∴∠GHE＝∠1﹣∠4， ∵FH平分∠EFD，EN平分∠AEM， ∴∠EFD＝2∠1，∠AEM＝2∠4， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF， ∴∠MEF＝∠AEF﹣∠AEM＝2∠1﹣2∠4， ∴∠MEF＝2∠GHE； （3）由（1）知∠EGF＝65°，∠EFG＝65°， ∴∠AGF＝180°﹣65°＝115°， 如图1，当GA与FE共线前， ∵GA∥FE， ∴∠FGA＝∠GFE， ∴115﹣3t＝65﹣t， 解得t＝25； 如图2，当GA与FE共线后， ∵GA∥FE， ∴∠HGA＝∠GFE， ∴3t﹣115﹣180＝t﹣65， 解得t＝115； 综上可知，t的值为25或115． 学科网（北京）股份有限公司 $$