13.5 第2课时 线段垂直平分线 课件 2024-2025学年数学华东师大版八年级上册

华东师大版八年级上册 1.线段垂直平分线定理 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_________. 相等 2.线段垂直平分线定理的逆定理 到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的______________上. 垂直平分线 3.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形的三条边的垂直平分线相交于______________，这一点到______________的距离相等. 一点 三个顶点 知识点1 线段垂直平分线的性质 1 如图，AC⊥CD，BD⊥CD，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC=FD.求证：△ABF是等腰直角三角形. 证明：∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF. ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠C=∠D=90°， ∴△ACF、△FDB为直角三角形. 在Rt△ACF与Rt△FDB中， ∴Rt△ACF≌Rt△FDB(H.L.)，∴∠CAF=∠DFB. 又∵∠CAF+∠AFC=90°， ∴∠DFB+∠AFC=90°，∴∠AFB=90°， ∴△ABF是等腰直角三角形. 【规律方法】题目中有垂直平分线这一条件时，常想到线段垂直平分线的性质构造等腰三角形来解题. 1.［遂宁·中考］如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为点E，交AC于点D，则△ABD的周长是_____. 12 2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D.若∠A=40°，则∠DBC=______________. 30° 3.［2023·泰州］如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为点M，且______，_____，则_____. 给出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB=AE；③BC=DE.请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明. 解：且①②，则③.根据题意补全图形并连结AC、AD，如图所示.证明如下： ∵AM垂直平分CD，∴AC=AD，∴∠CAM=∠DAM. ∵AM平分∠BAE，∴∠BAM=∠EAM. 又∵∠CAM=∠DAM， ∴∠BAM－∠CAM=∠EAM－∠DAM，即∠BAC=∠EAD. 在△ABC与△AED中， ∴△ABC≌△AED(S.A.S.)，∴BC=DE. 知识点2 线段垂直平分线的判定 2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且BD=BC，过点D作AB的垂线，交AC于点E，连结BE、CD，CD交BE于点F.求证：BE垂直平分CD. 证明：∵ED⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠EDB=90°，∴△DEB、△CEB为直角三角形， 在Rt△DEB和Rt△CEB中， ∴Rt△DEB≌△Rt△CEB(H.L.)，∴ED=EC. 又∵BD=BC，∴点E、B均在CD的垂直平分线上， ∴BE垂直平分CD. 【规律方法】证明一条线段的垂直平分线常用的方法：①线段垂直平分线的定义；②垂直平分线的判定定理，即证明直线上有两点分别到线段两个端点的距离相等；③等腰三角形的“三线合一”. 4.如图，在△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB=QC，QB=RC，连结PQ、RQ、PR.求证：点Q在PR的垂直平分线上. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. 又∵PB=QC，QB=RC， 在△BPQ和△CQR中， ∴△BPQ≌△CQR(S.A.S.).∴QP=RQ， 即点Q在PR的垂直平分线上. 1.某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在( ) A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 D 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是( ) A.10° B.15° C.20° D.25° A 3.如图，在△ABC中，AB=AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC=6，则DC为( ) A.5 B.8 C.9 D.10 A 4.如图，在△ABC中，∠APC=116°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为( ) A.64° B.52° C.54° D.62° B 5.如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的平分线，l与m相交于P点，若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为( ) A.24° B.30° C.32° D.36° C 6.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=30°，∠PCB=20°，则∠PAB的度数为______________. 40° 7.如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC=______________. 78° 8.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，EF垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点F.G是线段EF上的一动点，若△ABC的面积是6cm2，BC=6cm，则△ADG的周长最小为___cm. 5 9.如图，在△ABC中，∠ABC=25°，∠ACB=55°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，点E、G分别为垂足. (1)∠BAC的度数为_________； (2)求∠DAF的度数； (3)若BC的长为30，求△DAF的周长. 解：(1)100； (2)∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线， ∴DA=DB，FA=FC， ∴∠DAB=∠ABC=25°，∠FAC=∠ACB=55°， ∴∠DAF=∠BAC－∠DAB－∠FAC=20°； (3)△DAF的周长=DA+DF+FA=DB+DF+FC=BC=30. 10.如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC、BC于点D、E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于G点，连结CG. (1)若D是AC的中点，求证：AC=2AB； (2)若∠ACB=30°，求证：△BGC为等边三角形. 证明：(1)如图，连结BD. ∵DE是边BC的垂直平分线， ∴DB=DC. ∵D为AC的中点，∴DA=DC=DB. ∵BF⊥AC，F为AD的中点， ∴AB=BD，∴AB=BD=AD=DC， ∴AC=2AB； (2)∵DB=DC，∠ACB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ADB=60°. ∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形， ∴∠DBF=30°，∴∠CBF=60°. ∵DE垂直平分BC， ∴BG=CG，∴△BCG为等边三角形. 11.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于点F，连结AF.求证：∠B=∠CAF. 证明：∵EF垂直平分AD， ∴AF=DF， ∴∠ADF=∠DAF. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC. ∵∠ADF=∠B+∠BAD， ∠DAF=∠DAC+∠CAF， ∴∠B=∠CAF. 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F.求证：AB垂直平分DF. 证明：如图，连结DF交AB于点O. ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=45°. ∵AC∥BF，∴∠CBF+∠ACB=180°， ∴∠CBF=90°，∴∠OBF=∠OBC=45°， 即OB平分∠DBF.∵∠DAC+∠ACE=90°，∠ACE+∠FCB=90°， ∴∠DAC=∠FCB. 在△ACD和△CBF中， ∴△ACD≌△CBF(A.S.A.)，∴CD=BF. ∵D是BC中点，∴DB=DC，∴DB=BF. 又∵OB平分∠DBF，∴OB垂直平分DF， 即AB垂直平分DF. 13.如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连结AI、BI、AO、BO，若∠AOB=140°，则∠AIB的大小为( ) A.160° B.140° C.130° D.125° D 14.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是_____________. 50° 15.如图，在Rt△ABC和Rt△EFD中，∠ABC=90°，∠EFD=90°，AC=ED，AC⊥ED，垂足为点M，连结EA、EC并交AB的延长线于点G. (1)求证：△ABC≌△EFD； (2)若∠G=45°，求证：EA=ED. 证明：(1)∵AC⊥ED，∠ABC=90°， ∴∠CAD+∠ADM=90°，∠CAD+∠ACB=90°， ∴∠ADM=∠ACB. 在△ABC和△EFD中， ∴△ABC≌△EFD(A.A.S.)； (2)∵△ABC≌△EFD，∴DF=BC，EF=AB. ∵∠ABC=90°，∠G=45°，∠EFD=90°， ∴∠BCG=∠FEG=∠G=45°， ∴AB=EF=FG，DF=BC=BG， ∴AB－BF=FG－BF，即AF=BG=DF. ∵∠EFD=90°， ∴EF垂直平分AD，∴EA=ED. $$