精品解析：广东省广州市天河区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

天河区2023学年第二学期期末考试 高一数学 本试卷共6页，19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，若，则（ ） A B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示求出值. 【详解】向量，，由，得，解得. 故选：A 2. 已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图是菱形可得答案. 【详解】如图，是矩形的直观图，则，，， 所以高为， 则直观图的面积为. 故选：A. 3. 将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象与的图象重合，得即可求得答案. 【详解】将的图象向左平移个单位长度， 得，其图象与的图象重合， 则，解得，的值不可能为1，3，4，可以为2. 故选：B 4. 已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，则下列推理正确的是（ ） A. ， B. C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面、面面位置关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，则在内存在直线垂直于直线，又，于是可以在内，A错误； 对于B，，则与可以平行，也可以相交，B错误； 对于C，由于，则存在过直线的平面分别与相交，令交线分别为， 于是，，则，又，，因此， 所以，C正确； 对于D，，，则或，D错误. 故选：C 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（ ） A. 与独立 B. 与互斥 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出样本空间及事件，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD. 【详解】样本空间{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件{(正,正),(正,反)}， 事件{(正,反),(反,反)}，事件{(正,正)}，事件{(正,反),(反,正),(反,反)}， 对于A，，而，，与不独立，A错误； 对于B，事件可以同时发生，与不互斥，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，{(正,正),(正,反),(反,反)}，，D正确. 故选：D 6. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用方差计算公式即可得解. 【详解】令样本数据的平均数为，则，而， 因此，又样本数据均为正数，所以. 故选：C 7. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理按角为锐角、直角分类求解即得. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C 8. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知一组数据6，13，14，15，18，13，则特征量为13的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 中位数 D. 第40百分位数 【答案】BD 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再根据极差、众数、中位数与百分位的定义判断即可. 【详解】将数据从小到大排列为、、、、、， 所以极差为，众数为，中位数为，故A、C错误，B正确； 又，所以第40百分位数为，故D正确. 故选：BD 10. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 若是复数，满足，则在复平面内对应点位于第一象限 C. 若、是非零复数，且，则 D. 若、是非零复数，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数运算计算判断AB；举例说明判断C；分解因式判断D. 【详解】对于A，依题意，，的虚部为，A正确； 对于B，，在复平面内对应的点位于第二象限，B错误； 对于C，取，，满足，而，，C错误； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：AD 11. 如图,在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点为的中点，则平面 B. 连接，则直线与平面成角正弦值为 C. 若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为 D. 若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；求出线面角的正弦判断B；把正方形与正方形置于同一平面内，求出线段长判断C；求出点的轨迹判断D. 【详解】对于A，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形， ，由点、分别为、的中点，得，平面， 平面，因此平面，A正确； 对于B，连接，则，由平面，平面， 得，又平面，则平面， 过作交于，连接，于是平面， 是直线与平面所成的角，，， ，B错误； 对于C，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线两侧， 连接，则的最小值为，C正确； 对于D，延长与的延长线交于，由，得为平行四边形， ，取中点，连接交于，连接， 由，得四边形是平行四边形，，为的中点， 由平面，平面，得，又， 平面，则平面，而平面， 则，同理，因此，而， 平面，于是平面，又，则平面， 又平面，因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段， 而，所以点的轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复数范围内方程的一个根为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】在复数范围内解方程即可. 【详解】在复数范围内方程的一个根为， 所以， 则. 故答案为：. 13. 在中，已知，则向量在向量上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，再由，得，则得，然后根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 14. 已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】把圆台还原成圆锥，求出圆锥轴截面等腰三角形的边长及内切圆半径，圆台轴截面等腰梯形的高，并确定圆台内放置的最大球半径即可求解. 【详解】圆台轴截面等腰梯形的两腰延长线交于点， 等腰即为圆台母线延长线交点为顶点，圆台下底面为底的圆锥的轴截面， 由，而，解得，则，即为正三角形， 正的高为，正的高为，因此等腰梯形的高为， 正的内切圆半径，显然， 因此等腰梯形内的最大圆为正的内切圆， 此圆即为圆台内部放置的半径最大的球被平面所截的大圆， 则在圆台内部放置半径最大的球的半径为，表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘. 笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题； 面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是，两道题能否答对相互独立. （1）李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率； （2）求李明被录用的概率. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）写出样本空间，利用古典概率求出概率. （2）利用相互独立事件的概率公式求解即得. 【小问1详解】 样本空间，有6个样本点， 李明通过笔试关的事件，共3个样本点， 所以李明通过笔试关的概率. 【小问2详解】 依题意，李明通过面试关的事件为，则， 李明被录用的事件为，， 所以李明被录用的概率为. 16. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，为线段的中点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简，可得，即可求得答案； （2）利用向量的加法法则可得，平方并结合数量积的运算律，可得关于的方程，求得，根据三角形面积公式即得答案. 【小问1详解】 因为，且，则，即， 又因，则， 因为，所以. 【小问2详解】 因为为线段的中点，所以，则， 即，解得或(舍)， 因为，且，则 所以. 17. 为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； （2）估计该校学生每周课外阅读的平均时间； （3）若样本数据在与内的方差分别为，，计样本数据在内的方差. 【答案】（1），1200人； （2）68分钟； （3）91. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出；求出阅读时间达标的频率即可得解. （2）利用频率分布直方图求出平均时间. （3）利用分层抽样的方差公式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，所以； 阅读时间达标的频率为， 估计该校阅读时间达标的人数为. 【小问2详解】 一周的课外阅读时间在 内的频率依次为：， ， 所以估计该校学生每周课外阅读的平均时间为68分钟. 【小问3详解】 样本数据在与内的平均数分别为， 则样本数据在内的平均数为， 所以样本数据在内的方差. 18. 如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得. （2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解. （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【小问1详解】 在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由棱台性质知：延长交于一点， 由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 19. 如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）. （1）求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； （2）若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 【答案】（1），是定值，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，变形可得，根据三点共线，即可得的值； （2）根据题意可得，，故得的表达式，根据的范围，利用函数性质，即可得答案. 【小问1详解】 已知，，所以， 所以， 因为，，则，， 因为点是的重心，所以， 因为在直线上，所以. 【小问2详解】 ， 所以， 设，由（1）得，所以 所以 因为，，又因为，则， 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为：，当或时，的最大值为：，所以， 因为的对称轴为，所以在上单调递增，又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为 【点睛】本题的关键在于利用小问（1）所得的结论，结合根据三点共线确定，将双变量函数化为单变量函数，结合函数的定义域求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天河区2023学年第二学期期末考试 高一数学 本试卷共6页，19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设,向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，则下列推理正确的是（ ） A. ， B. C. ，， D. ， 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（ ） A. 与独立 B. 与互斥 C. D. 6. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知一组数据6，13，14，15，18，13，则特征量为13的是（ ） A 极差 B. 众数 C. 中位数 D. 第40百分位数 10. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 若是复数，满足，则在复平面内对应的点位于第一象限 C. 若、是非零复数，且，则 D. 若、是非零复数，且，则 11. 如图,在棱长为2正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点为的中点，则平面 B. 连接，则直线与平面成角正弦值为 C. 若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为 D. 若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复数范围内方程的一个根为，则______. 13. 在中，已知，则向量在向量上投影向量为______. 14. 已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘. 笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题； 面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题概率都是，两道题能否答对相互独立. （1）李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率； （2）求李明被录用的概率. 16. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，为线段的中点，且，求的面积. 17. 为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； （2）估计该校学生每周课外阅读的平均时间； （3）若样本数据在与内的方差分别为，，计样本数据在内的方差. 18. 如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 19. 如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）. （1）求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； （2）若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$