精品解析：西藏自治区拉萨市第三高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2024年春季学期拉萨市第三高级中学期中考试 高二年级数学试卷 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.作答非选择题时，将答案用黑色签字笔写在答题卡上.写在试卷上无效. 3、试卷共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集和补集的定义求解即可. 【详解】因为， 故，所以. 故选：D. 2. 已知i是虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算及复数模的计算公式即可求解. 【详解】, 所以. 故选：C. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】可借助得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，再计算，亦可借助所给条件逐步计算出. 【详解】法一： 因为，所以， 又， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即， 故. 法二： 由，，故， ，. 故选：C. 4. 平面向量，满足，，向量与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积定义结合模的性质求解即可. 【详解】易知， 而向量与的夹角为，故， 故，故D正确. 故选：D 5. 已知等差数列满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得，然后由下标和性质可得. 【详解】， . 故选：B． 6. 已知函数，则从1到的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的概念即可求解. 【详解】由可得：，. 所以从1到的平均变化率为. 故选：A. 7. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，成等比数列，可解出. 【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为， 所以成等比数列，则， 即，解得或. 设等比数列公比为，则， ，则，得. 故选：B 8. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断. 【详解】因为，所以， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD， 又，， 设，，则，. 所以在上为增函数，又， 所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B. 故选：A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 数列的通项公式可能等于（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用选项所给通项公式一一求出前若干项即可求解. 【详解】对于A，数列的前若干项为故A错误； 对于B，数列的前若干项为，故B正确； 对于C，数列的前若干项为，故C正确； 对于D，数列的前若干项为，故D错误； 故选：BC. 10. 以下求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可得答案. 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B不正确； 对于C，因为，所以C正确； 对于D，因为，所以D正确. 故选：CD. 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案. 【详解】根据题意，， 则有， 当时， ， 也满足，所以. ，A选项错误； ，B选项正确； ，， C选项正确； ， ，D选项正确. 故选：BCD 12. 已知是函数的导函数， 其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 在处取得极小值 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 的单调递增区间是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性和极值点. 【详解】由题意，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 仅在处取得极值，且为极大值，无极小值. 故选：BD 第Ⅱ卷（90分） 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13. 北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板________块． 【答案】 【解析】 【分析】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差为，，设每层有环，则，，根据等差数列前项和公式求出，再求出即可. 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差，， 设每层有环，则，， 所以，即， 即，解得或（舍去）， 所以，则， 即上层有扇形石板块. 故答案为：． 14. 若函数在处有极小值，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的导数可得，解出的值之后，验证函数在处取得极小值即可. 【详解】由已知可得， 又函数在处有极小值，所以， 解得，所以， 当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值. 故答案为：. 15. 已知数列是等差数列，且，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质，结合对数运算法则可求得结果. 【详解】由等差数列性质知：， 所以， 故答案为：9. 16. 已知函数，则函数的图象在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】对求导，求出切线的斜率，然后利用点斜式求解即可. 【详解】因为， 所以， 的图象在处的切线斜率为， 又，所以切点为， 所以的图象在处的切线方程为： ，即． 故答案为：. 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（共6题，17题10分，其余每题12分，共70分） 17. 在等比数列中， （1）已知，，求； （2）已知，，求. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由等比数列的通项公式与前项和公式可求解； （2）先求出等比数列的公比与,进而可求数列的通项与前项和公式可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，； 【小问2详解】 因为，， 所以，解得，所以， 所以，. 18. 已知数列的前n项和满足. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义与通项公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合错位相减法求得，再将问题转化为能成立问题，进而求得不等式右式的最大值，从而得解. 【小问1详解】 因为，当时，，得， 当，时，，， 两式相减，得，即， 而，则，， 所以是以1为首项，公比的等比数列， 故； 【小问2详解】 ， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以， 由，得，， 即存在使成立， 因为随着增大，在减小， 所以当时，， 故求的取值范围是. 19. 已知数列．求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和的最大值． 【答案】（1）； （2）28 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式； （2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案. 【小问1详解】 由，可知， 所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，解得， 令，解得， 即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大， 最大值为． 20. 已知函数 （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）8； （2）. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据求出，则，在区间上单调递增，即可得到答案. （2）根据题意知，分参得，即可得到答案. 【小问1详解】 ，因为，所以，所以 在上恒成立，所以函数在区间上单调递增 所以 【小问2详解】 因为函数在区间上为增函数， 所以在上恒成立 所以在上恒成立，所以 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）当时在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时， 则，所以， 因为，即切点为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，则当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上可得：当时在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减. 22. 已知函数． （1）求的最大值； （2）证明：当时，． 【答案】（1）0； （2）证明：令函数，求导得，即函数在上单调递增， 因此，，由（1）知，恒成立， 所以，即当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的最大值. （2）构造函数，利用导数求出函数值集合即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数递增，当时，，函数递减， 所以当时，函数取得最大值. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季学期拉萨市第三高级中学期中考试 高二年级数学试卷 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.作答非选择题时，将答案用黑色签字笔写在答题卡上.写在试卷上无效. 3、试卷共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 4. 平面向量，满足，，向量与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 5. 已知等差数列满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知函数，则从1到的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 7. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 数列的通项公式可能等于（　　） A. B. C. D. 10. 以下求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 12. 已知是函数的导函数， 其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 在处取得极小值 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 的单调递增区间是 第Ⅱ卷（90分） 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13. 北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板________块． 14. 若函数在处有极小值，则实数的值为______. 15. 已知数列是等差数列，且，则______. 16. 已知函数，则函数的图象在处的切线方程为______． 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（共6题，17题10分，其余每题12分，共70分） 17. 在等比数列中， （1）已知，，求； （2）已知，，求. 18. 已知数列的前n项和满足. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 19. 已知数列．求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和的最大值． 20. 已知函数 （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围． 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 22. 已知函数． （1）求的最大值； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $